자유 격자

수학에서 순서론 영역에서 자유 격자는 격자에 해당하는 자유 물체다.자유로운 개체로서, 그들은 보편적인 속성을 가지고 있다.

형식 정의

임의의 세트 X를 사용하여 자유 반매트 FX를 생성할 수 있다.자유 세미라티스는 X의 모든 유한 서브셋으로 정의되며, 일반 세트 유니언에 의해 주어진 세미라티션으로 구성된다.자유 반월세는 보편적인 속성을 가지고 있다.범용 형태론은 (FX, η)이며, 여기서 η은 단일톤 집합 {x}에 x is X를 가져가는 단위 지도 to: X → FX이다.그 다음 범용 속성은 다음과 같다:X에서 L까지의 모든 지도 f:X → L을 임의의 반모형 $L$로 볼 때 f${\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$: F ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\tilde{f}}$ 독특한 반모형 동형성이 존재한다.${\displaystyle FX\stackrel{}{}}$$\to L}$에 f${\displaystyle }$= f ~${\displaystyle \stackrel{}{}\circ }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle$ f$={\tilde{f}\circle \eta$ $지도{\displaystyle \stackrel{}{}}$f ~ ${\${\$tilde}$은(는) 명시적으로 기록될$$ 수 있으며, 다음과 같이 지정된다.

$\displaystyle S\in FX\mapsto \bigvee \left\{f(s)\mid s\in S\right\}}$

여기서 $\bigvee {\displaystyle }$ ${\displaystyle \bigvee }$은(는) L의 반자동 작업을 나타낸다.이 시공은 반밀도에서 격자로^{[clarification needed]} 승격될 수 있으며, 시공에 의해 지도 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$는 격자와 동일한 특성을 가질 것이다$$.

시공 X fx FX는 집합 범주에서 격자 범주로의 펑터가 된다.functor F는 선반에서 밑줄까지 망각하는 functor에 맞춰져 있다.자유 격자는 자유 물체다.

단어 문제

자유 래티스와 자유 경계 래티스의 단어 문제는 귀납적 관계를 사용하여 해독할 수 있다.그 해결책에는 몇 가지 흥미로운 관점이 있다.하나는 발전기 3단 세트의 자유 격자가 무한하다는 것이다.사실, 세 개의 발전기의 모든 자유 격자는 네 개의 발전기 세트에 대해 자유로운 하위 격자를 포함하고 있다는 것을 보여줄 수 있다.유도에 의해, 이것은 결국 셀 수 없이 많은 발전기에서 부레이트를 자유롭게 한다.^[1]이 속성은 그룹에서의 SQ-범용성을 연상시킨다.

3개 발전기의 자유 격자가 유도적으로 정의함으로써 무한 수익임을 증명한다.

p_n+1 = x ∨ (z ∨)(x ∧ (y ∨ (z ∨ p_n)))))

여기서 x, y, z는 세 개의 생성자이고, p₀ = x. 그 다음 하나는 단어 문제의 귀납적 관계를 이용하여_n+1 p가 p보다_n 절대적으로 크다는^[2] 것을 보여주고, 따라서 모든 무한히 많은 단어_n p는 자유 격자 FX에서 다른 값으로 평가한다.

완전 자유 격자

또 다른 관점은 완전한 자유 격자(발전기 3대 이상)가 "존재하지 않는다"는 점인데, 이는 적절한 등급이라는 것이다.이것의 증거는 단어 문제에서도 나타난다.관계 측면에서 완전한 격자를 정의하기 위해서는, 만남과 결합이라는 미세한 관계를 이용하는 것만으로는 충분하지 않다; 또한 무한 하위 집합의 만남과 가입을 정의하는 비위생적인 관계를 가져야 한다.예를 들어, "조인"에 해당하는 비위생적인 관계는 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {sup} _{N}:(f:N\to FX)}$

여기서 f는 추기경 N의 요소에서 FX까지의 지도인데, 연산자 ${\displaystyle {\mathrm{supp}}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\$은 f의 이미지를 결합에 가져간다는 점에서 우월성을 나타낸다$$.이것은 물론, N이 유한한 숫자일 때 "조인"과 동일하다. 이 정의의 요점은, N이 무한 추기경일 때 조인을 관계로서 정의하는 것이다.

단어 문제의 사전 순서의 공리는 만나 합류하는 두 개의 비위생적 운영자에 의해 결합될 수 있다.그런 다음 p ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 정의를 통상적으로 인덱스된 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$에 의해$$ 확장한다.

${\displaystyle p_{\put }=\supname {sup} \{p_{\put }\mid \put <\put \put \put \}}}}}}$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이(가) 한계 서수일 때.그렇다면 아까와 같이 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$이 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$보다 엄격히 크다는 것을 보여줄 수 있을 것이다$.$ 따라서 완전한 자유 격자에는 최소한 서수가 있는 만큼 많은 원소가 있으므로 세트로서 존재할 수 없으며, 따라서 적절한 등급이어야 한다.

참조

• Peter T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, Cambridge University Press, 1982.( ISBN0-521-23893-5)(1장 참조)