형식개념분석

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정보과학에서, 형식 개념 분석(FCA)은 개념 계층 또는 형식 온톨로지(ontology)를 대상과 그 속성의 집합으로부터 도출하는 원칙적인 방법이다.계층의 각 개념은 어떤 속성 집합을 공유하는 개체를 나타내고, 계층의 각 하위 개념은 그 위에 있는 개념에서 개체의 부분 집합(특성의 상위 집합)을 나타낸다.1981년 루돌프 윌레(Rudolf Wille)에 의해 도입된 용어로, 1930년대 개럿 비르코프 등이 개발한 수학적 선반 이론과 주문 세트를 바탕으로 만들어졌다.null

형식 개념 분석은 데이터 마이닝, 텍스트 마이닝, 머신러닝, 지식 관리, 의미 웹, 소프트웨어 개발, 화학, 생물학 등의 분야에서 실질적인 응용 분야를 찾아낸다.null

개요 및 기록

형식 개념 분석의 원래 동기는 수학적 질서 이론의 실세계적 의미에 대한 탐색이었다.매우 일반적인 성격의 한 가지 가능성은 데이터 테이블이 완전한 격자라 불리는 대수 구조로 변환될 수 있고, 이러한 구조들은 데이터 시각화와 해석에 활용될 수 있다는 것이다.개체와 속성 간의 이질적인 관계를 나타내는 데이터 테이블, "개체 g에는 속성 m이 있다" 형태의 쌍을 표로 나타낸 데이터 테이블은 기본 데이터 유형으로 간주된다.그것은 형식적인 맥락이라고 일컬어진다.이 이론에서 형식적인 개념은 쌍(A, B)으로 정의되는데, 여기서 A는 물체의 집합(범위라고 함)이고 B는 다음과 같은 속성 집합(의도)이다.

• 범위 A는 B의 속성을 공유하는 모든 개체로 구성되며, 한 달에 한 번씩
• 의도 B는 A의 객체에 의해 공유되는 모든 속성으로 구성된다.

이와 같이 형식 개념 분석은 확장과 억양의 의미 개념을 공식화한다.null

어떤 형식적인 문맥의 형식적인 개념은 아래에서 설명하듯이 문맥의 "개념 격자"라고 불리는 계층 구조로 정렬될 수 있다.개념 격자는 "라인 다이어그램"으로 그래픽으로 시각화할 수 있으며, 데이터를 이해하는 데 도움이 될 수 있다.그러나 이러한 격자는 시각화를 위해 너무 커진다.그러면 격자를 정보 손실 없이 더 작은 조각으로 분해하거나, 해석하기 쉬운 다른 구조에 내장하는 등 형식 개념 분석의 수학적 이론이 도움이 될 수 있다.null

현재 형태의 이론은 1980년대 초로 거슬러 올라가며, 테크니셰 우니베르시테트 다르슈타트의 루돌프 윌레, 베른하르트 간터, 피터 버마이스터가 이끄는 연구그룹이다.그러나 그것의 기본적인 수학적 정의는 개럿 비르코프에 의해 일반 격자 이론의 일부로 이미 1930년대에 도입되었다.같은 사상에 대한 다른 이전의 접근법들은 여러 프랑스 연구 단체로부터 생겨났지만, 다름슈타트 집단은 그 분야를 정상화시켰고, 그 수학적 이론과 철학적 토대를 모두 체계적으로 풀어나갔다.후자는 특히 찰스 S를 가리킨다. Peirce, 그러나 Port-Royal Logic에 대해서도.null

동기부여와 철학적 배경

수학적 학문으로서 형식 개념 분석을 개시하는 ^[1]그의 글 "격자 이론 재구성"(1982년)에서 윌레는 현재의 격자 이론과 순수 수학에 대한 불만에서 출발한다.종종 "정신적 체조"에 의해 달성되는 이론적 결과의 생산은 인상적이지만, 이웃 영역들, 심지어 이론의 일부들 사이의 연결은 점점 약해지고 있었다.null

구조 조정 격자 이론은 그 이론을 가능한 한 구체적으로 해석함으로써 우리 일반 문화와의 관계를 다시 활성화시키고, 이런 방법으로 격자 이론가들과 격자 이론의 잠재적 사용자들 사이의 더 나은 의사소통을 촉진하기 위한 시도다.

— Rudolf Wille, ^[1]

이 목표는 1972년 더 나은 교수법을 위해 그리고 과학을 상호 이용가능하고 더 일반적인 (즉, 전문지식이 없는) 비평이 가능하도록 하기 위해 과학 구조조정을 주장한 교육학자 하르트무트 폰 헨티그에게 거슬러 올라간다.^[2]따라서, 그것의 기원에 의해 공식적인 개념 분석은 학제간 통합성과 연구의 민주적 통제를 목표로 한다.^[3]null

19세기 형식논리의 발달 과정에서 격자이론의 출발점을 바로잡는다.그 후—그리고 나중에 모델 이론에서—단일 술어로서의 개념은 그 정도까지 축소되었다.이제 다시, 개념의 철학은 그 의도를 고려함으로써 덜 추상적이 되어야 한다.따라서 형식 개념 분석은 언어학 및 고전적 개념 논리의 범주 확장 및 억양을 지향한다.^[4]null

형식 개념 분석은 찰스 S에 따른 개념의 명확성을 목표로 한다.Peirce의 실용적 격언은 관측할 수 있고 기본적인 하위 사물의 특성을 표현했다.^[3]그의 후기 철학에서, Peirce는 논리적인 사고가 3가지 개념, 판단력, 결론에 의해 현실을 인식하는 것을 목표로 한다고 가정했다.수학은 논리의 추상화이고, 가능한 현실의 패턴을 발전시키며, 따라서 이성적인 의사소통을 지지할 수도 있다.이러한 배경에서 Wille은 다음을 정의한다.

개념과 개념 계층의 수학적 이론으로서의 형식 개념 분석의 목적과 의미는 논리적으로 활성화될 수 있는 적절한 개념 구조를 수학적으로 개발함으로써 인간의 합리적인 의사소통을 지원하는 것이다.

— Rudolf Wille, ^[5]

예

이 예에 있는 데이터는 다른 종류의 물체가 그들의 속성에 따라 체계적으로 분류된 의미론적 현장 연구로부터 얻어진다.^[6]여기서의 목적을 위해 그것은 단순화되었다.null

데이터 표는 형식적인 문맥을 나타내고, 그 옆에 있는 선 도표는 그것의 개념 격자를 보여준다.공식적 정의는 다음과 같다.null

공식 컨텍스트의 예: "물의 형태"

수역		특성
		일시적	러닝의	천연의	정체된	상수의	해상의
물건들	운하
	채널을 돌리다
	석호를 바르다
	호수를
	마아
	웅덩이가 되다
	연못에 넣다
	포켓볼을 치다
	저수지
	강을
	리불렛
	룬넬
	바다
	물줄기가 흐르다
	타르를 칠하다
	급류하다
	꼬르륵 소리가 나다

위의 선 다이어그램은 원, 연결 선 세그먼트, 라벨로 구성되어 있다.원은 형식적인 개념을 나타낸다.이 선은 하위 개념-수퍼 개념 계층 구조를 읽을 수 있도록 허용한다.각 개체와 속성 이름은 다이어그램에서 정확히 한 번 라벨로 사용되며, 아래 개체와 개념원 위의 속성이 있다.이는 개체가 속성을 가지고 있는 경우에만 상승 경로를 통해 개체에서 속성에 도달할 수 있는 방식으로 수행된다.null

표시된 다이어그램에서 예를 들어, 물체 저장소의 속성은 정체되고 일정하지만 임시, 실행, 자연, 해양 속성은 없다.따라서 웅덩이는 일시적, 정체적, 자연적 특성을 정확히 가지고 있다.null

원래 형식 컨텍스트는 형식 개념뿐만 아니라 레이블로 표시된 도표에서 재구성할 수 있다.개념의 범위는 상승 경로가 개념을 나타내는 원으로 이어지는 개체들로 구성된다.목적은 (도표에서) 그 개념원으로부터 상승 경로가 있는 속성으로 구성된다.이 다이어그램에서 라벨 저장소의 바로 왼쪽에 있는 개념은 의도가 정체되고 자연적이며 범위 웅덩이, 마어, 호수, 연못, 방수, 수영장, 석호, 바다 등이 있다.null

공식 컨텍스트 및 개념

형식적인 맥락은 삼중 K = (G, M, I)이며, 여기서 G는 객체 집합이고, M은 속성 집합이며, I × G × M은 어떤 객체가 어떤 속성을 가지고 있는지를 나타내는 발생이라고 불리는 이항 관계다.^[4]하위 집합 A ⊆ G 오브젝트 및 하위 집합 B attributes M 속성의 경우, 하나는 다음과 같이 두 개의 파생 연산자를 정의한다.

A′ = 모든 g ∈ A}에 대해 {m ∈ M (g,m) }, I, 즉, A의 모든 객체가 공유하는 모든 속성 집합, 그리고 dolly

B′ = 모든 m ∈ B}에 대해 {g ∈ G (g,m) ∈ I, 즉, B로부터 모든 속성을 공유하는 모든 개체의 집합.

파생 연산자와 다른 파생 연산자를 적용하면 다음과 같은 두 개의 폐쇄 연산자가 된다.

A ↦ A′ G (확장 폐쇄)에 대한 A g Aext = (A′)′ 및

B ↦ B′ = (B′)′ B ⊆ M (intent Closure)의 경우.

파생 연산자는 개체 집합과 속성 사이의 Galois 연결을 정의한다.그래서 프랑스어에서는 개념 격자를 때때로 트레일리스 데 갈루아(갈루아 격자)라고 부르기도 한다.null

Wille은 이러한 파생 연산자를 통해 형식 개념의 우아한 정의를 내렸다: 쌍(A,B)은 다음과 같은 경우 문맥의 형식 개념(G, M, I)이다.

A ⊆ G, B ⊆ M, A′ = B, B′ = A.

동등하고 보다 직관적으로 (A,B)는 다음과 같은 경우에 정확하게 형식적인 개념이다.

• A의 모든 물체는 B의 모든 속성을 가지고 있다.
• A에 없는 G의 모든 물체에 대해 B에는 그 물체가 가지고 있지 않은 속성이 있다.
• B에 없는 M의 모든 속성에 대해, A에는 그 속성이 없는 어떤 개체가 있다.

계산을 위해 형식적인 문맥은 자연스럽게 행이 객체에 대응하고, 열은 속성에 대응하며, 각 항목 k는_i,j "객체 i가 속성 j를 가지고 있다"면 1과 같은 (0.1)-매트릭스 K로 나타낼 수 있다.이 행렬 표현에서, 각 형식 개념은 1과 같은 원소를 가진 최대 하위 계층(필수적으로 연속되는 것은 아님)에 해당한다.그러나 부정발생률("객체 g에는 속성 m이 없다")은 위에서 정의한 것과 같은 방식으로 형성되는 개념이 아니기 때문에 형식적인 문맥을 부울로 간주하는 것은 오해의 소지가 있다.이 때문에 형식적인 문맥을 나타낼 때는 대개 값 1과 0 또는 TRUE와 FALSE를 피하며, 발생을 나타내는 데 ×와 같은 기호를 사용한다.null

형식 컨텍스트의 개념 격자

컨텍스트 K의 개념(A_i, B_i)은 익스텐트를 포함하거나, 인텐트를 이중으로 포함함으로써 (부분적으로) 정렬될 수 있다.개념에 대한 순서 ≤은 다음과 같이 정의된다: K의 두 개념(A₁₁₁, B)과 (A₂₂, B₂₁)에 대해, 우리는₁ B ⊇ B가₂₂ 있을 때마다 A₁ ⊆ A. 동등하게, (A₁, B₁) ≤ (A₂₂₂, B) ≤ ≤을 정확하게 말한다.

이 순서에 따라, 모든 형식 개념은 가장 큰 공통 하위 개념 또는 충족을 가진다.그것의 범위는 집합의 모든 범위에 공통되는 물체로 구성된다.일반적으로 모든 형식 개념 집합은 최소 공통의 슈퍼 개념을 가지고 있으며, 그 목적은 해당 개념 집합의 모든 개체가 가지는 모든 속성을 포함한다.null

이러한 충족 및 결합 연산은 격자를 정의하는 공리, 사실상 완전한 격자를 만족시킨다.반대로, 모든 완전한 격자는 어떤 형식적인 맥락의 개념 격자(이소모르프까지)임을 보여줄 수 있다.null

속성 값 및 부정

실제 데이터는 종종 속성이 "값"을 갖는 개체 속성 표의 형태로 주어진다.형식 개념 분석은 이러한 데이터를 a("하나의 값") 형식 컨텍스트의 기본 유형으로 변환하여 처리한다.그 방법을 개념적 스케일링이라고 한다.null

속성 m의 부정은 속성 ¬m이며, 그 범위는 m의 범위, 즉 (¬m)′ = G \ m′의 보완에 불과하다.일반적으로 부정된 속성이 개념 형성에 이용 가능하다고 가정하지 않는다.그러나 서로의 부정인 속성 쌍은 예를 들어 개념적 스케일링에서 도출된 맥락에서 자연적으로 발생하는 경우가 많다.null

형식 개념의 가능한 부정에 대해서는 아래의 섹션 개념 알헤브라를 참조하십시오.null

시사점

시사 A → B는 두 세트의 속성 A와 B를 연관시키고, A에서 각 속성을 소유하는 모든 물체도 B에서 각 속성을 가지고 있다는 것을 나타낸다.(G,M,I)가 형식적인 맥락이고 A,B가 속성(즉, A,B ⊆ M)의 집합인 경우, A when implication B이면 시사 A → B가 유효하다.각각의 유한한 형식적 맥락에서, 모든 유효한 함축의 집합은 표준적인 근거를 가지고 있으며,^[7] 모든 유효한 함축이 자연적 추론(Armstrong rules)에 의해 도출될 수 있는 과도한 함축의 집합이다.이것은 함축에 기초한 지식 습득 방법인 속성 탐사에 사용된다.^[8]null

애로우 관계

형식 개념 분석은 정교한 수학적 기초를 가지고 ^[4]있어 분야를 다용도로 만든다.기본적인 예로서 우리는 간단하고 계산하기 쉽지만 매우 유용한 화살표 관계를 언급한다.그것들은 다음과 같이 정의된다.g ∈ G와 m ∈ M let에 대하여

g ↗ m ⇔ (g, m) ∉ I과 m⊆n′과 m′ n′, 그 다음에 (g, n) ∈ I,

그리고 몇달에 걸쳐서

g ↙ m ⇔ (g, m) ∉ I과 만약 g′h′과 g′ h′ , (h, m) ∈ I.

비사건 객체-속성 쌍만이 관련될 수 있기 때문에 이러한 관계는 형식적인 문맥을 나타내는 표에 편리하게 기록될 수 있다.많은 격자 속성은 분배성과 그것의 일반화를 포함하여 화살표 관계에서 읽을 수 있다.또한 구조 정보를 공개하며 격자의 결합 관계를 결정하는 데 사용할 수 있다.null

이론의 확장

• 삼차 개념 분석은 물체와 속성 사이의 이항 발생 관계를 물체, 속성 및 조건 간의 3차 관계로 대체한다.발생률$$$({\displaystyle g}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle c}$) ${\displaystyle(g,m,c)}$은 객체 g가 조건 c 아래에 속성 m을 가지고 있음을 나타낸다.삼차개념은 위의 형식개념과 유사하게 정의할 수 있지만, 그것들에 의해 형성된 삼차개념의 이론은 개념 격자의 이론보다 훨씬 덜 발전되어 있으며, 어려워 보인다.^[9]보타다키스는 n-arry 사례를 연구해왔다.^[10]
• 퍼지 개념 분석:형식 개념 분석의 모호한 버전에 대한 광범위한 작업이 수행되었다.^[11]
• 개념 알헤브라스:형식 개념(A, B)의 보완(G \ A, M \ B)은 일반적으로 개념이 아니기 때문에 형식 개념의 모델링 부정은 다소 문제가 있다.단, 개념 격자가 완성되었으므로 C ⊆ G \ A를 만족시키는 모든 개념(C, D)의 결합(A, B)^Δ이나 D ⊆ M \ B를 만족하는 모든 개념의 만남(A, B)^𝛁을 동시에 고려할 수 있다.이 두 작전은 각각 약한 부정과 약한 반대로 알려져 있다.이것은 파생 연산자의 관점에서 표현될 수 있다.약한 부정은 (A, B)^Δ = (G \ A)′′, (G \ A')로 쓸 수 있고, 약한 반대는 (A, B)^𝛁 = (M \ B), (M \ B)′로 쓸 수 있다.두 개의 추가 연산 Δ와 Δ가 장착된 개념 격자는 맥락의 개념 대수라고 알려져 있다.개념 알헤브라는 파워셋을 일반화한다.개념 격자 L에 대한 약한 부정은 약한 보완, 즉 공리 x^ΔΔ ≤ x 및 (x⋀y) ⋁ (x⋀y^Δ) = x. 약한 반대는 이중 약한 보완이다.개념 대수학 같은 (경계) 격자는 약한 보완과 이중 약한 보완을 갖추고 있는데, 이를 약하게 변형된 격자라 한다.약하게 변형된 래티들은 분배적인 정형화된 래티들, 즉 부울 알헤브라스들을 일반화한다.^[12][13]

시간 개념 분석

시간 개념 분석(TCA)은 시간 현상에 대한 개념적 설명을 목표로 하는 공식 개념 분석(FCA)의 확장이다.객체 변경에 관한 데이터에서 얻은 개념 격자로 애니메이션을 제공한다.연속적, 이산적 또는 복합적 공간과 시간에 있어서 콘크리트 또는 추상적 물체의 변화를 이해하는 일반적인 방법을 제공한다.TCA는 시간 데이터 베이스에 개념적 확장을 적용한다.^[14]null

가장 간단한 경우 TCA는 물리학의 입자처럼 시간에 따라 변하는 물체를 고려하는데, 이때마다 정확히 한 곳에 있다.그것은 '임시 객체'와 '시간' 속성이 데이터 베이스의 키를 형성하는 시간적 데이터에서 발생한다.그러면 상태(보기의 한 번에 시간적 객체의 상태)는 선택된 관점을 기술하는 형식적 맥락의 특정 객체 개념으로 공식화된다.이 간단한 경우, 시간적 시스템의 전형적인 시각화는 시간적 물체의 궤적이 내장된 관점의 개념 격자의 선 다이어그램이다.^[15]

TCA는 임의의 키로 시간적 데이터 베이스를 고려하여 위에서 언급한 경우를 일반화한다.그것은 날씨 지도상의 고기압 구역과 같이, 주어진 시간에 가능한 많은 장소에서 분산된 물체의 개념으로 이어진다.'임시 오브젝트', '시간', '장소'의 개념은 척도로 형식적인 개념으로 표현된다.국가는 객체 개념의 집합으로 공식화된다.그것은 물리학의 입자와 파동 사상에 대한 개념적 해석으로 이어진다.^[16]null

알고리즘 및 도구

형식 개념을 생성하고 개념 격자를 구성 및 탐색하기 위한 수많은 간단하고 빠른 알고리즘이 있다.설문조사는 쿠즈넷소프와 오비드코프^[17] 또는 간터와 오비드코프의 책을 참고하십시오.^[8] 여기서 일부 사이비 코드를 찾을 수도 있다.형식 개념의 수는 형식 맥락의 크기가 기하급수적일 수 있기 때문에 알고리즘의 복잡성은 대개 출력 크기에 관해서 주어진다.몇 백만 개의 요소가 있는 개념 격자는 문제없이 처리될 수 있다.null

오늘날 많은 FCA 소프트웨어 어플리케이션을 이용할 수 있다.^[18]이러한 도구의 주요 목적은 형식적인 맥락 생성에서 형식 개념 마이닝 및 주어진 형식 맥락의 개념 격자 생성과 그에 상응하는 함축 및 연관 규칙까지 다양하다.이러한 도구의 대부분은 다음과 같은 학술적 오픈 소스 애플리케이션이다.

• 콘익스펙스^[19]
• 토스카나J^[20]
• 격자 광부^[21]
• 검시관^[22]
• FCaBedrocaBedrock^[23]
• 은하계^[24]

관련 분석 기법

빅리케스

형식적인 문맥은 당연히 초당적인 그래프로 해석될 수 있다.공식 개념은 그 그래프의 최대 빅키와 일치한다.따라서 형식 개념 분석의 수학적 및 알고리즘 결과는 최대 바이클릭 이론에 사용될 수 있다.(보완된 초당적 그래프의) 초당적 차원 개념은 (공식적인 맥락의) Ferrers 차원 및 (개념 격자의) 순서 차원 개념으로 해석되며^[4], 부울 행렬 인자화 등에 응용된다.^[25]null

바이클러스터링 및 다차원 클러스터링

개체 속성 수치 데이터 테이블의 경우, 바이클러스터링의 목표는 일부 속성의 유사한 값을 갖는 일부 개체를 그룹화하는 것이다.예를 들어, 유전자 표현 데이터에서, 유전자(개체)는 생물학적 상황의 일부에 대해서만 공통적인 행동을 공유할 수 있다고 알려져 있다. 따라서 생물학적 과정을 특성화하기 위해 국부적 패턴을 생성해야 하며, 유전자는 여러 과정에 관여할 수 있기 때문에, 후자는 중복될 수 있다.항목 일부에 대해 거의 동일한 취향을 공유하는 사용자 그룹을 특징짓는 현지 패턴에 관심이 있는 추천자 시스템에도 같은 말이 적용된다.^[26]null

이진 객체 속성 데이터 테이블의 바이클러스터는 A의 거의 모든 객체가 B로부터 거의 모든 속성을 가질 수 있도록 A의 포함 최대 개체 집합과 B의 포함 최대 속성 집합으로 구성된 쌍(A,B)이다.null

물론 형식적인 개념은 모든 물체가 모든 속성을 갖는 "강력한" 바이클러스터로 간주될 수 있으며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.따라서 실천에서^[27] 나오는 일부 바이클러스터 정의가 형식적인 개념의 정의에 불과하다는 것은 놀라운 일이 아니다.^[28]null

숫자 객체 속성 데이터 테이블에서 유사한 값의 바이클러스터는 일반적으로 객체에 대해 유사한 값을 갖는 포함 최대 개체 집합과 포함 최대 속성 집합으로 구성된 쌍으로 정의된다^[29][30][31].그러한 쌍은 숫자 테이블, 모듈로 행 및 열 순열에서 포함 최대 직사각형으로 나타낼 수 있다.그것은 유사한^[28] 값의 바이클러스터가 이항 속성에 의한 숫자 속성 값을 나타내는 척도로 세 번째 차원이 주어지는 삼차원의 삼차원에 해당한다는 것을 보여주었다.null

이러한 사실은 n차원 데이터에서 유사한 값의 n차원 군집이 n+1차원 개념으로 표현되는 n차원 사례로 일반화될 수 있다.이러한 감소는 다차원 클러스터 계산을 위해 다차원 개념 분석의^[31][10] 표준 정의와 알고리즘을 사용할 수 있게 한다.null

지식 공간

지식 공간 이론에서 지식 상태의 가족은 어떤 지식 공간에서도 결합-폐쇄되어 있다고 가정한다.따라서 지식의 보완은 폐쇄 시스템을 형성하며, 어떤 공식적인 문맥의 범위로서 표현될 수 있다.null

정식 개념 분석을 통한 실제 경험

형식 개념 분석은 데이터 분석의 정성적 방법으로 사용할 수 있다.1980년대 초 FBA가 시작된 이래 TU Darmstadt의 FBA 연구단은 FBA(2005년 기준)를 활용한 200여 개 프로젝트에서 경험을 쌓았다.^[32]의학 및 세포 생물학,^[33][34] 유전학,^[35][36] 생태학,^[37] 소프트웨어 공학,^[38] 온톨로지,^[39] 정보 및 도서관 과학,^[40][41][42] 사무 관리,^[43] 법률,^[44][45] 언어학,^[46] 정치학 등의 분야를 포함한다.^[47]null

더 많은 예시들이 예: 공식 개념 분석에서 설명된다. 기초 및 응용 프로그램,^[32] ICFCA(정식 개념 분석 국제 회의),^[48] 개념 래티스와 그 응용 프로그램(CLA)^[49][50] 또는 개념 구조에 관한 국제 회의(ICCS)와 같은 정기 회의의 회의 문서.null

참고 항목

메모들

참조

외부 링크

• 형식 개념 분석 홈페이지
• 데모
• 제11차 국제공식개념분석회의.ICFCA 2013 – 독일 드레스덴 – 2013년 5월 21-24일