거짓말 이론

수학에서 수학자 소푸스 리(/ˈliː/ LE)는 리 이론이라고 불리게 된 미분 방정식의 통합, 변환 집단, 구들의 접촉과 관련된 연구 라인을 개시했다.^[1] 예를 들어, 후자의 주제는 리구 기하학이다. 이 기사는 수학의 한 분야 중 하나인 변혁 그룹에 대한 그의 접근법을 다루고 있으며, 빌헬름 킬링과 에일리 카탄이 이 문제를 풀었다.

Lie 이론의 기초는 Lie group-Lie 대수적 대응이라고 불리는 Lie groups와 Lie greatory contacts라고 불리는 Lie groups와 Lie groups를 연관시킨 지수 지도다. Lie groups는 구별할 수 있는 다지관이기 때문에 피사체는 미분 기하학의 일부분이다. 거짓말 그룹은 정체성(1)에서 벗어나 진화하며, 접선 벡터는 하나의 매개변수 하위그룹에 의해 리 대수학을 생성된다. Lie 그룹의 구조는 그 대수학에서 함축되어 있으며, Lie 대수학의 구조는 뿌리 시스템과 뿌리 데이터에 의해 표현된다.

거짓말 이론은 표준 변환 그룹인 갈릴레이 그룹, 로렌츠 그룹, 푸앵카레 그룹, 그리고 스페이스타임의 등정 그룹들을 기술한 이후 수학 물리학에서 특히 유용했다.

기본 거짓말 이론

일변수 집단은 거짓말 이론의 첫 번째 예다. 콤팩트 케이스는 복합 평면 내의 오일러의 공식을 통해 발생한다. 다른 1-모수 그룹은 분할 복합 숫자 평면에서 단위 하이퍼볼라로 발생한다.

\displaystyle \lbrace \exp(it)=\cosh(t)+i\sinh(t):t\in R\rbrace ,}

그리고 선 { $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ exp $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ ( $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ ) $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ = $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ + $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ t $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ : $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ } $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ } } } . $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ 이 경우 $\lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace .$ Lie 대수 매개변수에는 각도와 같은 이름이 있다.^[2] 이 각도는 2 x 2 실제 행렬의 하위 앨지브라를 설명하는 극 분해물을 제공하는 데 유용하다.^[3]

고전적인 3-모수 Lie 그룹과 대수 쌍: 3-sphere로 식별할 수 있는 단위 길이의 쿼터가 있다. 그것의 Lie 대수학은 쿼터니온 벡터의 하위 공간이다. 정류자 ij - ji = 2k이기 때문에 이 대수에서 Lie 괄호는 일반 벡터 분석의 교차 산물의 두 배다.

또 다른 기본적인 3-모수 예는 하이젠베르크 그룹과 그것의 리 대수학에서 주어진다. 거짓말 이론의 표준 치료는 종종 고전적인 집단에서 시작된다.

역사와 범위

초기 거짓말 이론의 표현은 1888년부터 1896년까지 소푸스 리가 프리드리히 엥겔과 게오르크 셰퍼스와 함께 작곡한 책에서 찾아볼 수 있다.

리의 초기 작품에서는, 모듈형식의 이론으로 발전해 온 이산형 집단의 이론을 펠릭스 클라인과 앙리 푸앵카레의 손에 보완하기 위한 아이디어였다. 리이가 처음 염두에 둔 적용은 미분방정식 이론이었다. 갈루아 이론과 다항식의 모델에서, 운전 개념은 일반적인 미분 방정식의 전체 영역인 대칭에 대한 연구에 의해 통일될 수 있는 이론이었다.

역사학자 토마스 W에 따르면. 호킨스, 거짓말 이론을 만든 건 엘리 카탄이야

Lie는 많은 비옥한 사상을 가지고 있었지만, Cartan은 그것을 현대 수학의 기본 요소로 만든 그의 이론의 확대와 적용에 주로 책임이 있었다. 웨일의 도움을 받아 킬링의 정석적인 대수학적 사상을 오늘날의 거짓말 이론에서 그러한 근본적인 역할을 하는 반실현적 리 알헤브라의 구조와 대표 이론으로 발전시킨 것은 바로 그였다. 그리고 비록 Lie가 자신의 이론을 기하학에 응용하는 것을 구상했지만, 실제로 그것을 창조한 것은 카르탄이었다, 예를 들어 모든 수행기구(움직이는 프레임, 외부 차동형 등)를 포함한 대칭적이고 일반화된 공간에 대한 그의 이론을 통해서였다.^[4]

거짓말의 세 가지 정리

소푸스 리는 변신 그룹에 대한 그의 연구에서 자신의 이름을 가진 그룹과 알헤브라와 관련된 세 가지 이론들을 증명했다. 첫 번째 정리는 극소수의 변형을 통해 대수학의 기초를 보여주었다.^[5]^{: 96} 두 번째 정리는 대수에서 정류자 생산물의 결과로서 대수학의 구조 상수를 보여 주었다.^[5]^{: 100} 세 번째 정리는 이러한 상수가 반대칭적이며 자코비 정체성을 만족시킨다는 것을 보여주었다.^[5]^{: 106} 로버트 길모어는 다음과 같이 썼다.

리의 세 가지 이론은 어떤 리 그룹과 연관된 리 대수학을 구성하기 위한 메커니즘을 제공한다. 그들은 또한 Lie 대수학의 성질을 특징짓는다. Lie의 세 가지 이론에 대한 대화는 정반대의 역할을 한다: 그들은 Lie 그룹을 어떤 유한 치수 Lie 대수학과 연관시키는 메커니즘을 제공한다. 테일러의 정리는 리 대수에서 표준 분석 구조물 함수 φ(β,α)의 구성을 허용한다. 이 일곱 가지 정리 - 리와 그들의 대화, 테일러의 정리 - 이 일곱 가지 정리 - 리 그룹과 알헤브라스 사이에 필수적인 동등성을 제공한다.^[5]