반지의 스펙트럼

가환 대수에서는 R의 모든 총리 이상의, 반지 R읜 프라임 주파수(또는 단순히 스펙트럼)집합, 그리고 보통 Spec ⁡ R({R}}에 의해 표시됩니다;[1]대수 기하학에서 동시에 위상 공간은 반지가 곡식단 O{\displaystyle{{O\mathcal}}가 장착된}다 2.]

자리스키 위상

R의 모든 이상적인 I에 대해 V ${\displaystyle I_{}}$ ${\$를 정의하십시오.$I}}$을(를) 포함하는 프라임 이상 집합이 된다$$. 닫힌 집합의 컬렉션을 다음과 같이 정의하여$$ ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle R}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$에 토폴로지를 배치할 수 있다.

${\displaystyle \{V_}{I}\colon I{\text{}는 }}}}의 이상형이다.$

이 위상은 자리스키 위상이라고 불린다.

자리스키 위상의 기초는 다음과 같이 구성할 수 있다. f ∈ R의 경우, D를_f f를 포함하지 않는 R의 주요 이상 집합으로 정의한다. 그런 다음 각_f D는 ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle (R}$)$${\$displaystyle \operatorname {Spec}(R$의 공개 하위 집합이며$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle D_{}}$: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$} ${\displaystyle \{D_{f}f:f\in$ R$\}}$는 Zariski 위상의 기본이다.

${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$은(는) 콤팩트한 공간이지만$$, Hausdorff는 거의 없다: 사실 R의 최대 이상은 이 위상에서 정확히 닫힌 지점이다. 같은 추리에 의해, 그것은 일반적으로₁ T 공간이 아니다.^[3] 그러나 ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle R}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec}(R)}$은 항상 Kolmogorov 공간이며(T₀ 공리를 만족함) 또한 스펙트럼 공간이다.

곡예와 계략.

${\displaystyle X}$= Spec ${\displaystyle \mathrm{topology}}$ ( R )${\displaystyle$ X$=\operatorname {Spec}(R)}$의 Zariski 위상 공간을$$ 고려할 때, she(D_fX, O) = R_f, f의 힘에 의한 R의 국산화인 by(L)를 설정하여 구분 오픈 서브셋 D에_f 구조 O를_X 정의한다. 이것이 B-sheaf를 정의하고 따라서 sheaf를 정의한다는 것을 보여줄 수 있다. 좀 더 자세히 설명하면, 구분된 오픈 서브셋은 자리스키 토폴로지의 기초가 되기 때문에, {D의_fi 유니언으로 작성된 임의 오픈셋 U에 대해서는 _i∈I((U,O_X) = 림 R을_i∈Ifi 설정했다. 이 프리슈프가 피복인지 확인할 수 있으므로 ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle (R}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec}(R)}$이(가) 링된 공간이다. 이 형태 중 하나에 이형화된 어떤 고리형 공간은 아핀 체계라고 불린다. 일반적인 계획은 접착제를 함께 붙임으로써 얻어진다.

Similarly, for a module M over the ring R, we may define a sheaf ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ on ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$. On the distinguished open subsets set Γ(D_f, ${\displaystyle {\tilde {M}}}$) = M_f, using the localization of a module. 위와 같이 ${\displaystyle 이}$ 구성은 ${\displaystyle \mathrm{사양}}$⁡${\displaystyle }$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Spec}(R)}$의 모든 개방형 하위 집합에 대한 사전 조사까지 확장되며$$ 접착 공리를 만족한다. 이러한 형태의 피복은 퀘이시코로 일관된 피복이라고 불린다.

P가 ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle R}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R$의 포인트인 경우, P에 있는 구조물의 줄기는 이상적인 P에서 R의 국산화(local ling)와 동일하며, 이것은 로컬 링이다. 따라서 ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle \mathrm{spec}}$(${\displaystyle }$R )${\displaystyle \operatorname {Spec}(R)}$은(는) 로컬 링 공간이다.

만약 R이 K 분수의 필드가 있는 일체형 영역이라면, 우리는 다음과 같이 링 ((U,O_X)을 더 구체적으로 설명할 수 있다. 우리는 K의 원소 f가 분수 f = a/b로 표현될 수 있다면 X의 P 지점에서 규칙적이라고 말한다. 이는 대수 기하학에서 정규 함수의 개념과 일치한다는 점에 유의한다. 이 정의를 이용하여 U의 모든 P 지점에서 규칙적인 K의 요소 집합으로 set(U,O_X)을 정밀하게 설명할 수 있다.

관상 원근법

범주 이론의 언어를 사용하고 ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec}}$이(가) 펑터임을 관찰하는 것이 유용하다. 모든 링 동형상 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ S ${\디스플레이 스타일$ f$:$$R\to S}$ induces a continuous map ${\displaystyle \operatorname {Spec} (f):\operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$ (since the preimage of any prime ideal in ${\displaystyle S}$ is a prime ideal in ${\displaystyle R}$). 이러한 방식으로 ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec}은($는) 정류 링 범주에서 위상 공간 범주에 이르는 상쇄적인 펑터로 볼 수 있다$$. 더욱이 모든 $prime{\displaystyle \mathfrak{}}$p {\$displaystyle$ {\$mathfrak{p}}$에 대해 $동형성{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$은 동형성으로 내려간다$$.

${\displaystyle {\mathcal{O}_{f^{-1}({\mathfrak {p})}\to {\mathcal {O}_{\mathfrak {p}}}}}}$

지역 반지의. 따라서 ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec}은($는) 정류 링 범주에서 로컬 링 공간 범주에 이르는 상이한 펑터를 정의하기도$$ 한다. 사실 그것은 일반적인 functor이기 때문에 자연 이형성까지의 functor ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec}$을$($를) 정의하는 데 사용될 수 있다.^{[citation needed]}

${\displaystyle \mathrm{functor}}$Spec {\$displaystyle \operatorname$ {Spec}은$($는) 서로 다른 범주의 반대 범주로 간주되는 공통 고리 범주와 부착 체계 범주 사이에 상이한 동등성을 산출한다$$.

대수 기하학으로부터의 동기

예를 들어, 대수 기하학에서는 대수 집합 즉, n 변수에서 다항식 집합의 공통 0으로 정의되는 K의ⁿ 하위 집합(여기서 K는 대수적으로 닫힌 필드)을 연구한다. A가 그러한 대수 집합이라면, 모든 다항함수 A → K의 정류 링 R을 고려한다. R의 최대 이상은 A의 점에 대응하고(K는 대수적으로 폐쇄되기 때문에), R의 원시 이상은 A의 하위 분리에 대응한다(대수 집합은 두 개의 적절한 대수 하위 집합의 결합으로 쓸 수 없는 경우 unreducible 또는 variety라고 한다).

따라서 R의 스펙트럼은 A의 모든 하위 분리에 대한 요소와 함께 A의 점으로 구성된다. A의 지점은 스펙트럼에서 폐쇄되는 반면, 하위분리에 해당하는 원소는 모든 지점과 하위분리로 구성된 폐쇄를 가진다. 만약 어떤 사람이 A의 점, 즉 R의 최대 이상만을 고려한다면, 위에서 정의한 자리스키 위상은 대수 집합에 정의된 자리스키 위상(정확히 대수 하위 집합을 폐쇄 집합으로 한다)과 일치한다. 구체적으로 R의 최대 이상, 즉 ${\displaystyle \mathrm{MaxSpec}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle R}$ )${\displaystyle \operatorname {MaxSpec}(R)}$은$($는) Zariski 위상과도 함께 A에 동형이다.

따라서 위상 공간 ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ $){\displaystyle \operatorname {Spec}(R)}$을 위상 공간 A(Zariski 토폴로지를 포함)의 "부유"로 볼 수 있다. A의 모든 하위 변수에 대해, 하나의 비 폐쇄 지점이 추가로 도입되었으며, 이 지점은 해당 하위 변수에 대한 "추적"이다. 이 점을 하위변수의 총칭으로 생각한다. 또한 ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle R}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec}(R)}$의 피복과$$ A의 다항 함수의 피복은 본질적으로 동일하다. 자리스키 위상과의 대수적 집합 대신 다항 링의 스펙트럼을 연구함으로써 대수 기하학의 개념을 비지오적으로 폐쇄된 분야와 그 이상으로 일반화하여 결국 계략의 언어에 도달할 수 있다.

예

• 연결 체계 ${\displaystyle \mathrm{규격}}$ ${\displaystyle (Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec}(\mathb {Z})$은 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 상호 작용 링 범주의 초기 개체이기 때문에 연결 체계 범주의 최종 개체다$$.
• The affine scheme ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}$ is scheme theoretic analogue of ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. From the functor of points perspective, a point ${\displaystyle ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n}$${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ can be identified with the evaluation morphism ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow {ev_{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}}}\mathbb {C} }$. This fundamen부적 관찰은 우리가 다른 선의의 계획들에 의미를 부여할 수 있게 해준다.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$ looks topologically like the transverse intersection of two complex planes at a point, although typically this is depicted as a ${\displaystyle +}$ since the only well defined morphisms to ${\displaystyle \mathbb {C} }$ are t그는 점${\displaystyle }${${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}0}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$)과 관련된 평가 형태론들${\displaystyle }$: ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}\alpha \mathbb{}}$ C${\displaystyle }$}$${\$displaystyle$\{{(\$alpha _{1},0),$ ($0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2$},$\mathb}$ $\backslash \}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$
• 부울 링의 주요 스펙트럼(예: 파워 세트 링)은 (하우스도르프) 콤팩트 공간이다.^[4]
• (M. Hochster) 위상학적 공간은 준법률적이고, 준법률적이고, 준법률적이며, 냉정한 경우에만 정류 링의 프라임 스펙트럼(즉, 스펙트럼 공간)에 대해 동형이다.^[5]

비아핀 예제

여기에 언급되지 않은 계획의 몇 가지 예가 있다. 그것들은 접착제를 함께 붙여서 만든 것이다.

• $Projective{\displaystyle }$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -Space$$ P ${\displaystyle \mathrm{kn}{}_{}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{Proj}}$ ${\displaystyle }$ k${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj}$k}$k$$[x_{0},\ldots,x_{n}}}}}}}}}.$$$ 이것은 어떤 베이스 링에도 쉽게 일반화될 수 있다. Proj 구조를 참조하라(사실 우리는 어떤 베이스 구조에 대해서도 Projective Space를 정의할 수 있다). Projective $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm{-n}}$ ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\displaystyle n\\geq$ 1$}$에 대한 공간이$$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n ${\$ {$P} _{k}^{n}}}$의 전역 섹션이$$k {\$displaystystystyle$ k$}$이므로 해당되지 않는다$$$.$
• 비행기에서 원점을 뺀다.^[6] 내부 $A{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 사양}$ k${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec}$${\displaystyle {}_{}}$$\,$${\displaystyle {}_{}}$$[x,y]$ \, d ${\displaystyle y_{}}$ ${\$은(으)로 구분된다$.$ 이들의 조합 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$= ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D_{x}\컵 D_{y}=$$U}$는 원점이 반출된 아핀 비행기다. The global sections of ${\displaystyle U}$ are pairs of polynomials on ${\displaystyle D_{x},D_{y}}$ that restrict to the same polynomial on ${\displaystyle D_{xy}}$, which can be shown to be ${\displaystyle k[x,y]}$, the global section of ${\displaystyle \mathbb$${A} _{k}^{2$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$은(는) U ${\displaystyle U}$에서 $V{\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle y_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothothote}}}}}}}($으(으)로 정의되지 않는다$$$.$

주요 스펙트럼의 비 자리스키 위상

이 구간은 확장이 필요하다. 덧셈으로 도움받을 수 있다(2020년 6월)

일부 작가(명확히 M) Hochster)는 Zariski 위상 이외의 주요 스펙트럼에 대한 위상을 고려한다.

첫째, 구성 가능한 위상의 개념이 있다: 링 A가 주어지면${\displaystyle {}^{}}\phi$ (${\displaystyle A}$)${\displaystyle \operatorname {Spec$${\displaystyle \},\phi }$: ${\displaystyle A}$→ B ${\displaysty \varphi ^{*}(\properatorname {Spec}B),$ varp :\$varp.$$A\to B}$은(는) 위상학적 공간에서 닫힌 집합에 대한 공리를 만족한다$$. ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \operatorname {Spec}(A)}$의 이 위상을 생성 가능한 토폴로지라고 한다$$.^[7][8]

(호크스터 1969) harv 오류에서: 대상 없음: CITREFHochster1969 (도움말) 호크스터는 프라임 스펙트럼의 패치 위상이라고 부르는 것을 고려한다.^[9][10][11] 정의에 따르면 패치 토폴로지는 $V{\displaystyle }$(${\displaystyle }$I ) ${\displaystyle V(I)}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{Spec}}$ ${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle A}$) -${\displaystyle V}$ (${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}$ 형식의 집합이 닫히는$$ 가장 작은 토폴로지다.

전역 또는 상대 사양

There is a relative version of the functor ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ called global ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$, or relative ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$. If ${\displaystyle S}$ is a scheme, then relative ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ is denoted by $$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}$ or ${\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}$. If ${\displaystyle S}$ is clear from the context, then relative Spec may be denoted by ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}$ or ${\displaystyle \math$$bf {Spec} }$. For a scheme ${\displaystyle S}$ and a quasi-coherent sheaf of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$-algebras ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, there is a scheme ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}$ and a morphism ${\displaystyle f:{\underset{}{S}}_{}}$${\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}$ such that for every open affine ${\displaystyle U\subseteq S}$, there is an isomorphism ${\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}$, and such that for open affines ${\displaystyle V\subseteq U}$, the inclusion ${\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}$ is induced by the restriction map ${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}$. That is, as ring homomorphisms induce opposite maps of spectra, the rest알헤브라의 피복에 대한 사전 지도는 피복의 규격을 구성하는 스펙트럼의 포함 지도를 유도한다.

Global Spec은 일반 Spec의 보편적 속성과 유사한 보편적 속성을 가지고 있다. 더 정확히 말하면, Spec과 글로벌 섹션 펑터(global section functor)가 서로 다른 링과 구성표 범주 사이에 서로 반대되는 오른쪽 맞춤인 것처럼, 구조 맵에 대한 전역 Spec과 직접 이미지 펑터는 서로 다른 O S {\$displaystyle{O}_{S}}$ -algebras와$$ 같은 범주의 반대되는 오른쪽 맞춤이다. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 구성$.$^{[dubious – discuss]} 공식에서,

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}$

여기서 $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi \colon X\to S}$는 계획의 형태론이다.

상대 사양 예제

The relative spec is the correct tool for parameterizing the family of lines through the origin of ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}$ over ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}$ Consider the sheaf of algebras ${\displaystyle {\mathcal {A}}={$$\mathcal {O}}_{X}[x,y],}$ and let ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}$ be a sheaf of ideals of ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$ Then the relative spec ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\t$$o \mathb {P} _{a,b}^{1}:{$1}는 원하는 패밀리를 매개$$ 변수화한다. 실제로${\displaystyle }$[${\displaystyle \alpha }$: ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\alpha :\$$beta$ $]}}$위의 섬유는 점$({\displaystyle \alpha }$ ,$β$)을 포함하는$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $\mathb{A}^{2}}$의 원점을 통과하는 선이다$.$$}$ $\alpha {\displaystyle }$α 0 ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \alpha \neq$ 0$}$을(를) 가정하면$$ 풀백 다이어그램의 구성을 보고 섬유를 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\\mathb {C}[x,y]}}}{\frac(y-{\frac {}}}{\alpha }}x\rig)}\right}\right)&\to &\operatorname {Spec} \좌측({\frac {b}{a}\우측) \좌측[{\frac {b}}[x,y]}{\좌측(y-{b}{a}}}}x\우측)}\우측)&\to >{\ipherline {\operatorname {Spec}}}{}}}{\frac {{\mathcal{O}}[x,y]}{\\좌(ay-bx\오른쪽)\\\\\\\downarrow &&&\downarrow \\operatorname {Spec}(\mathb {C})&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathb {C} \왼쪽[{\frac {b}}{a}\오른쪽]=U_{a}&\to &\mathb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}}$

하단 화살표의 구성

${\displaystyle \operatorname {Spec}(\mathb {C}){\xrightarrow {[\alpha :\beta ]}}}\mathb {P} _{a,b}^{1}:{1}$

점$({\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle (\displaystyle ,\display$ )} 및 원점을$$ 포함하는 선을 제공한다. This example can be generalized to parameterize the family of lines through the origin of ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}$ over ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}$ by letting ${\disp$$laystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}$ and ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).$$}$

표현 이론 관점

표현 이론의 관점에서, 주요한 이상 I는 모듈 R/I에 해당하며, 링의 스펙트럼은 R의 불가역 주기적 표현에 해당하며, 반면에 더 일반적인 하위변수는 순환할 필요가 없는 가능한 축소 가능한 표현에 해당한다. 추상적으로, 그룹의 표현 이론은 그것의 그룹 대수학에 대한 모듈들의 연구라는 것을 기억하라.

다항 링 $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle K}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots,x_{n}}}}$을(를) 고려하거나, 근거$$ 없이 $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle K}$[ V ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle R=K[V]$를 고려할 경우 표현 이론과의 연결은 더 명확하다.$}}$ 후자의 제형이 분명히 알 수 있듯이$$ 다항 링은 벡터 공간에 대한 그룹 대수로서, $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 관점에서 쓰는 것은 벡터 공간의 기초를 선택하는 것에 해당한다$$. 그렇다면 이상 I 또는 동등하게 모듈 $R{\displaystyle }$/${\displaystyle I}$,${\displaystyle R/I,}$은(R-module로서 1개 원소에 의해 생성되는 주기적 의미, 이것은 1차원 표현을 일반화함)의 주기적 표현이다$$.

In the case that the field is algebraically closed (say, the complex numbers), every maximal ideal corresponds to a point in n-space, by the nullstellensatz (the maximal ideal generated by ${\displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}$ corresponds t${\displaystyle {}_{}}$ 점$({\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n}}).$ $그런{\displaystyle }$ 다음${\displaystyle }$K [ ${\displaystyle V}$] ${\displaystyle K[V]}$의 이러한 표현은$$ ${\displaystyle {각}_{}}$ x$$i {\$displaystyle x_${i$}$를 해당하는$$i {\$displaystyle a_{$i}에$$ 전송하여 주어지는$$ $이중{\displaystyle {}^{}}$ 공간 V${,$ {\$displaystystyle V^{*}}$에 의해 파라메트릭된다$.$ 따라서 $K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ K$^{n}}($K-선형 맵 ${\displaystyle K^{}}$ ${\displaystyle n{}^{}}$→ K ${\displaystyle K^{n}\to K$의 표현은 n개의 숫자 집합으로 제공되거나 동등하게 $K{\displaystyle {}^{}}$.${\displaystyle N^{}}$→ ${\displaystyle K.}$ ${\displaysty K^{n}\$n}\n$}}$에 제공된다.

따라서, $R{\displaystyle }$= K${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ $]$의 최대 사양으로${\displaystyle }$생각되는 n-공간의 점들은 R의$$1차원 표현에 정확히 대응되는$$ 반면, 유한한$점$ 집합은 유한한 차원 표현($축소가능$하며, $조합$이 되는 것과 기하학적으로 상응하며, 녹조가 되는 것에 대응한다)에 해당한다.으리으리하게 주상이 되지 않도록. 비최대적 이상은 무한 차원적 표현에 해당한다.

기능분석 관점

"spectrum"이라는 용어는 운영자 이론에서 사용된 것에서 유래한다. 유한차원 벡터 공간 V에 선형 연산자 T를 부여하면, 주요 이상영역 이상으로 미세하게 생성된 모듈에 대한 구조 정리에서처럼 하나의 변수 R=K[T]에서 다항 링 위에 연산자를 모듈로 하는 벡터 공간을 고려할 수 있다. 그 다음 K[T]의 스펙트럼(링)은 T의 스펙트럼(운영자)과 같다.

또한 링의 스펙트럼의 기하학적 구조(모듈의 대수적 구조)는 대수적 다중성, 기하학적 다중성 등 연산자의 스펙트럼의 동작을 포착한다. 예를 들어 2×2 ID 매트릭스의 경우 해당 모듈이 있다.

${\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}$

2×2 영점 매트릭스에는 모듈이 있음

${\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}$

0 고유값에 대한 기하학적 다중성 2를 표시하는 반면, 비반복성 2×2 Nilpotent 매트릭스에는 모듈이 있다.

${\displaystyle K[T]/T^{2},}$

대수적 다중성 2 그러나 기하학적 다중성 1을 보여준다.

자세한 내용:

• 운영자의 고유값(기하학적 다중성 포함)은 다양성의 (기하성) 지점에 해당하며, 다중성이 있다.
• 모듈의 일차 분해는 품종의 미감소 지점에 해당한다.
• 대각선 가능(실행 가능) 운영자는 감소된 품종에 대응한다.
• 주기적 모듈(하나의 발전기)은 주기적 벡터(T 아래의 궤도가 공간에 걸쳐 있는 벡터)를 가진 운영자에 해당한다.
• 모듈의 마지막 불변 인자는 운영자의 최소 다항식과 같으며 불변 인자의 산물은 특성 다항식과 같다.

일반화

스펙트럼은 운용자 이론에서 링에서 C*알제브라까지 일반화할 수 있으며, C*알제브라 스펙트럼의 개념을 산출한다. 특히 하우스도르프 공간의 경우 스칼라의 대수(공간에 경계가 있는 연속함수, 정규함수와 유사함)는 상호교환적인 C*-알지브라로서, 스칼라의 대수학의$$ ${\displaystyle \mathrm{MaxSpec}}$ ${\displaysty \operatorname {MaxSpec}}}$에서 위상학적 공간으로 복구되는 공간은 실로 재미있다. 바나흐-스톤 정리의 내용 실제로, 어떤 상호 작용 C*-알제브라도 이러한 방식으로 하우스도르프 공간의 스칼라의 대수로서 실현될 수 있으며, 반지와 그 스펙트럼 사이에 동일한 일치성을 산출한다. 일반 C*알제브라를 일반화하면 일반화되지 않는 토폴로지가 생성된다.

참고 항목

• 구성표(수학)
• 투영 방식
• 행렬의 스펙트럼
• 세레의 친절에 대한 정리
• 에테일 스펙트럼
• 지글러 스펙트럼
• 원시 스펙트럼

인용구

참조

외부 링크

• 케빈 R. Coombes: 반지의 스펙트럼
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/01LL, 상대 사양
• Miles Reid. "Undergraduate Commutative Algebra" (PDF). p. 22. Archived from the original (PDF) on 14 April 2016.