가우스 합계

대수적 수 이론에서 가우스 합 또는 가우스 합은 전형적으로 통일의 뿌리의 특정한 종류의 유한 합이다.

${\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi(r)\cdot \psi(r)}$

합이 일부 유한한 교호환 R의 요소 r 위에 있는 경우, ψ은 첨가군 R의⁺ 단위 원 안에 있는 집단 동형이며, χ은 단위 원 안에 있는 단위군 R의^× 집단 동형이며, 여기서 비단위 r까지 확장되어 값 0을 취한다. 가우스 합은 감마 함수의 유한한 장에 대한 유사점이다.^[1]

그러한 총액은 수 이론상 어디에나 있다. 예를 들어, 디리클레 L-기능 방정식에서는 디리클레 문자 χ의 경우 L(1 - s) 및 L(1 - s, χ)과 관련된 방정식이 인자를^{[clarification needed]} 수반한다(여기서 χ은 χ의 복합적 결합형이다).

${\displaystyle {\frac {G(\chi )}{ G(\chi )}}.}$

역사

칼 프리드리히 가우스가 원래 고려했던 경우는 2차 가우스 합, R의 경우 잔여물 영역은 소수 p, χ 레전드르 기호였다. 이 경우 가우스가 G(χ))p.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{다는 것을 증명했다.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄2 또는 ip1⁄2 p를 1이나 3모듈러 4각각(2가우스 합 또한 푸리에 분석뿐만 아니라 경로 적분에 의해 평가할 수 있도록)에 합동.

이 가우스 합계의 대체 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum e^{\frac {2\pi ir^{2}}:{p}}}$

2차 가우스 합계는 세타함수의 이론과 밀접하게 연관되어 있다.

가우스 수량의 일반 이론은 19세기 초에 개발되었는데, 사이클로토믹 분야에서 자코비 수량과 그 원시적인 부패를 사용하였다. 정수 모드의 잔여 링에 대한 가우스 합계는 가우스 기간이라 불리는 밀접하게 관련된 합계의 선형 결합이다.

가우스 합계의 절대값은 대개 유한집단에 대한 플랑쉐렐의 정리를 응용한 것으로서 발견된다. R이 p 원소의 장이고 χ이 비견인 경우 절대값은 p이다^1⁄2. 2차 케이스에 대한 가우스의 결과에 따라 일반 가우스 합계의 정확한 값을 결정하는 것은 오랜 현안이다. 어떤 경우에는 쿠메르 합을 보라.

디리클레 문자 가우스 합계의 특성

디리클레 문자 모듈로 N의 가우스 합은

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{{N}\chi (a)e^{\frac {2\pi ia}{N}}}.}$

만약 χ도 원시라면, 그러면

${\displaystyle G(\chi ) ={\sqrt{N},}$

특히 0이 아니다. 보다 일반적으로 N이₀ χ의 지휘자이고 χ이₀ χ을 유도하는 원시 디리클레 문자 모듈로 N이라면₀ χ의 가우스 합은 by에₀ 의해 χ의 그것과 관련된다.

${\displaystyle G(\chi )=\mu \left({N}{0}}\right)\chi _{0}\{0}\{\frac}{N}}}\right)G\왼쪽(\chi _{0}\오른쪽)}$

여기서 μ는 뫼비우스 함수다. 따라서, G(χ)가 0이 아니게 때.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.Sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}N/N0과 서로 소인 N0.[2]에squarefree 있다.

G(G)와 가우스(Gauss)의 기타 관계에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle G({\overline {\chi }}=\chi(-1){\overline {G(\chi )},}$

여기서 χ은 복잡한 결합 디리클레 문자이고, 만약 χ′이 N과 N이 비교적 프라임인 디리클레 문자 모듈로 N′이면,

$(\displaystyle G\왼쪽(\chi \chi ^{\prime }\오른쪽)=\chi \left(N^{\premy }\오른쪽)\chi ^{\premy }}{\premy }}{{chi )G\left(\chi ^{\premy }\오른쪽).}$

χ과 χ이 같은 계량(그리고 χχ은 원시)일 때 G(χχ), G((), G(′)의 관계를 자코비 합 J(,, χ)로 측정한다. 구체적으로.

${\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\premy }\오른쪽)={\fract {G(\chi )G\left(\chi ^{\premy }\right)}{\premium }{{\primymefile}}}J\left(\chi ,\chi ^{\premy }\오른쪽)}}.}$

추가 특성

• 가우스 합계는 이차적 상호주의, 입방적 상호주의, 사분위적 상호주의를 증명하는 데 사용될 수 있다.
• 가우스 합계는 유한장에 대한 다항식 방정식의 해법 개수를 계산하는 데 사용할 수 있으므로 특정 제타 함수를 계산하는 데 사용할 수 있다.

참고 항목

• 쵸우라-모델 정리
• 타원 가우스 합
• 가우스 시대
• 하세-데이븐포트 관계
• 자코비 합
• 스틱벨베르거의 정리
• 이차 가우스 합
• 쿠메르 합

참조

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Berndt, B. C.; Evans, R. J.; Williams, K. S. (1998). Gauss and Jacobi Sums. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. Wiley. ISBN 0-471-12807-4. Zbl 0906.11001.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 84 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97329-X. Zbl 0712.11001.
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