보편적 일반화

변환 규칙
명제 미적분학
추론 규칙
시사 소개/제거(모더스 폰) 바이콘드 도입/제거 접속사 도입/제거 분리 도입/제거 이절 / 가상 삼단논법 건설적/파괴적 딜레마 흡수/모더스 톨렌스/모더스 폰도 톨렌스 부정소개
교체규칙
연관성 동시성 분배성 이중 부정 드 모건의 법칙 전치 물질적 함축성 수출 토토로지
술어 논리학
추론 규칙
보편적 일반화/인스턴시 실존적 일반화 / 인스턴스화

술어 논리학에서 일반화(일반 일반화 또는 보편적 도입,^[1][2][3] GEN)는 유효한 추론 규칙이다. ${\displaystyle 만약}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle P}$ ( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \vdash \!$$P(x)}$이(가) 파생된 후${\displaystyle }$then${\displaystyle \mathrm{}}$x ${\displaystyle P}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \vdash \!\forall x\,P(x)}$이(가) 파생될 수 있다$$.

가설을 사용한 일반화

완전한 일반화 규칙은 개찰구 왼쪽에 가설을 허용하지만 제한은 있다. $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$이(가) 공식 집합이고, ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varphi$} 공식이며$$, formula ${\displaystyle ⊢}$(${\displaystyle y}$) ${\displaysty \vdash$\vdash $\varphi$ ($y)}$이(가) 생성되었다고$$ 가정하십시오. The generalization rule states that ${\displaystyle \Gamma \vdash \forall x\,\varphi (x)}$ can be derived if ${\displaystyle y}$ is not mentioned in ${\displaystyle \Gamma }$ and ${\displaystyle x}$ does not occur in ${\displaystyle \varphi }$.

이러한 제한은 건전성을 위해 필요하다. 첫 번째 제한 없이 $가설{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$(${\displaystyle }$${\displaystyle y}$) ${\displaystyle$ $\for$\$displaystyle$ xP$(x)}$에서${\displaystyle \mathrm{}}$} x $P$${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)를 결론 내릴 수 있었다$.$ 두 번째 제한 없이 다음과 같은 추론을 할 수 있었다.

1. ${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \exists \mathrm{}}$ ${\displaystyle w}$( z ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle \exists z\,\exist w\,$ ($z\not =w)}($가설)
2. ${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle w}$( ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle \exists w\,$ ($y\not =w)}($존재 인스턴스화)
3. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\not =x}($존재 인스턴스화)
4. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \forall x\,(x\not =x)}($잘못된 범용 일반화)

이것은 $\exists {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \exists \mathrm{}}$ w${\displaystyle }$( z ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle \mathrm{⊢}}$ ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ne }$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \exists$ z$\,\exist w\,$ ($z\not =w)\vdash \forall x\,$ ($x\not =x)},$ 이것이$$ 불건전한 추론임을 보여주는 것을 의미한다. Note that ${\displaystyle \Gamma \vdash \forall y\,\varphi (y)}$is permissible if ${\displaystyle y}$ is not mentioned in ${\displaystyle \Gamma }$ (the second restriction need not apply, as the semantic structure of ${\displaystyle \varphi (y)}$is not being changed by the substitution of any va폭음 폭음 폭음

증거의 예

Prove: ${\displaystyle \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))}$ is derivable from ${\displaystyle \forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))}$ and ${\displaystyle \forall x\,P(x)}$.

증명:

숫자	공식	정당성
1	${\displaystyle \forall x\,(P(x)\오른쪽 화살표 Q(x)}$	가설
2	$[\displaystyle \forall x\,P(x)}$	가설
3	${\displaystyle(\all x\, (P)(x)\오른쪽 화살표 Q(x))\오른쪽 화살표(P(y)\오른쪽 화살표 Q(y)}$	보편적 인스턴스화
4	$P(y)\오른쪽 화살표 Q(y)}$	(1)과 (3)부터 모더스 폰스까지
5	$(\displaystyle)(\all x\,P(x)\오른쪽 화살표 P(y)}$	보편적 인스턴스화
6	$P(y)\ }$	From (2) and (5) by Modus ponens
7	$Q(y)\ }$	모두스 폰센스 (6)와 (4)로부터
8	$\forall x\,Q(\forall x\,Q(x)}$	(7)부터 일반화
9	${\displaystyle \forall x\, (P(x)\오른쪽 화살표 Q(x)),\forall x\,P(x)\vdash \forall x\,Q(x)}$	(1) ~ (8)의 요약
10	${\displaystyle \forall x\, (P(x)\오른쪽 화살표 Q(x)\vdash \forall x\,P(x)\오른쪽 화살표 \forall x\,Q(x)}$	From (9) by 공제 정리
11	${\displaystyle \vdash \all x\, (P(x)\오른쪽 화살표 Q(x)\오른쪽 화살표(\forall x\,P(x)\오른쪽 화살표(\forall x\,Q)(x)}$	From (10) by 공제 정리

이 증거에서 8단계에서는 보편적 일반화가 사용되었다. 이동 중인 공식에는 자유 변수가 없기 때문에 공제 정리는 10단계와 11단계에서 적용할 수 있었다.

참고 항목

• 1차 논리
• 성급한 일반화
• 보편적 인스턴스화

참조