기하 정량화

수학 물리학에서 기하학적 정량화는 주어진 고전 이론에 해당하는 양자 이론을 정의하는 수학적인 접근법이다.그것은 고전 이론과 양자 이론 사이의 특정한 유사성이 계속 드러나는 방식으로, 일반적으로 정확한 조리법이 없는 정량화를 수행하려고 시도한다.예를 들어 양자역학의 하이젠베르크 그림의 하이젠베르크 방정식과 고전물리학의 해밀턴 방정식의 유사성이 내장되어야 한다.

오리진스

자연 계량화의 초기 시도 중 하나는 1927년 헤르만 바일이 제안한 바일 양자화였다.여기서 양자기계 관측 가능자(힐버트 공간의 자기 적응 연산자)를 고전적 위상 공간의 실제 가치 함수와 연결하려는 시도가 이루어진다.이 위상 공간의 위치와 추진력은 하이젠베르크 그룹의 발전기에 매핑되어 있으며, 힐버트 공간은 하이젠베르크 집단의 집단 대표성으로 나타난다.1946년, H. J. 그로네월드는 그러한 관측 가능성의 한 쌍의 산물을 고려하고 고전적인 위상 공간에 상응하는 기능이 무엇인지 물었다.^[1]이로 인해 그는 한 쌍의 기능의 위상공간 별 생산물을 발견하게 되었다.

현대 기하 정량화 이론은 1970년대에 버트람 코스탄트와 장마리 수리오에 의해 개발되었다.그 이론의 동기 중 하나는 키릴로프의 궤도 방법을 표현 이론에서 이해하고 일반화하는 것이었다.

변형 정량화

보다 일반적으로, 이 기법은 변형 정량화로 이어지며, 여기서 ★-제품은 복합 다지관 또는 포아송 다지관의 함수 대수적 변형으로 간주된다.그러나 자연 계량화 방식(functor)으로서 Weyl의 지도가 만족스럽지 못하다.예를 들어, 고전적인 각도-모멘텀-제곱의 Weyl 지도는 양자 각도 운동량 제곱 연산자만이 아니라, 더 나아가 일정한 용어 3 3²/2를 포함하고 있다. (이 추가 항은 수소 원자에서 지상 상태 보어 궤도의 비반사각 운동량을 설명하기 때문에 실제로 물리적으로 유의하다.)^[2]그러나 단순한 표현 변화로서, Weyl의 지도는 기존의 양자역학의 대체 위상-공간 공식의 기초가 된다.

기하 정량화

기하학적 정량화 절차는 사전 정량화, 양극화, 메타폴릭스 보정 등 3단계로 나뉜다.사전 정량화는 고전적인 면의 포아송 대괄호를 양자 면의 정류자로 정확하게 변환하는 관측용에 대한 정량화 절차와 함께 자연적인 힐버트 공간을 생성한다.그럼에도 불구하고, 힐버트 이전의 공간은 일반적으로 "너무 크다"^[3]고 이해된다.그런 다음 2n 차원 위상 공간에서 포아송 커밍 변수 집합 n개를 선택하고 이러한 n 변수에만 의존하는 함수(또는 보다 적절하게 섹션)를 고려해야 한다는 생각이다.n 변수는 실제 값을 매겨 위치형 힐버트 공간을 만들거나 복잡하게 값을 매겨 시걸-바르그만 공간과 같은 것을 만들 수 있다.^[a]양극화는 그러한 n 포아송 커밍 함수의 선택에 대한 좌표 독립적인 설명이다.메타폴틱 보정(반형 보정이라고도 함)은 실제 편광의 경우에 필요하며 복잡한 편광에 편리한 위의 절차를 기술적으로 수정한 것이다.

전량화

Suppose ${\displaystyle (M,\omega )}$ is a symplectic manifold with symplectic form ${\displaystyle \omega }$. Suppose at first that ${\displaystyle \omega }$ is exact, meaning that there is a globally defined symplectic potential ${\displaystyle \theta }$ with ${\displaystyle d\theta =\omega }$$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}($Liouville 볼륨 측정과 관련하여)의 사각 통합 기능의 "prequantum Hilbert space"를 고려할 수 있다.$$$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 각 부드러운 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 대해 우리는 Kostant-Souriau prequantum 연산자를 정의할 수 있다$.$

${\displaystyle Q}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle :=}$ -${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hslash }$( ${\displaystyle X{}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$+ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{i}{}}$ ${\displaystyle \frac{\hslash }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle X_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$+ f$:=-i\hbar$\left$(f):=-$i\hbar \$lef(X_{f}+){\frac {1}{i\hbar }}}}\ta (X_{f}\rig)+f$

여기서 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$과(와) 연관된 해밀턴 벡터 필드 입니다$.$

일반적으로 (M${\displaystyle }$,${\displaystyle \Omega }$ ) ${\displaystyle$ (M$,\omega$ )}이$($가) 닫힌 표면 위에 $\Omega$ /${\displaystyle }$( 2${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \hslash }$ )${\displaystyle \omega$ / $(2\pi \hbar )}$의 적분이 정수인 속성을 가지고 있다고$$ 가정하자.그러면 우리는 곡률 2-폼이 $/$인 연결로$$ 선다발 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L}을$($를$)$ 구성할 수 있다$.$ 이 경우, 프리퀀텀 힐버트 공간은 L ${\displaystyle L}$의 정사각형 통합 섹션 공간이며$,$ 위의$$ $Q{\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystystyle Q(f)$를 위한 공식을 대체한다.h

${\displaystyle Q}$( f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle i{\mathrm{}}_{}\hslash }$ ${\displaystyle {X{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle f{{}_{}}_{}}$+ f ${\displaystyle Q(f)=-i\hbar \nabla _{X_{f}+f$

연결을$$ ${\displaystyle \bela}($으)로 설정.사전 쿼터 운영자가 만족함

${\displaystyle [Q(f),Q(g)]=i\hbar Q(\{f,g\})}$

모든 부드러운 기능에 $대해{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$ $및$ g ${\displaystyle g$^[4]

앞의 힐버트 공간과 ${\displaystyle \mathrm{연산자}}$ $Q{\displaystyle }$( f )${\디스플레이$ 스타일 Q$(f)}$의 건설은 사전 양자화라고 알려져$$ 있다.

양극화

기하학적 정량화 과정의 다음 단계는 양극화의 선택이다.양극화는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 복잡화된 접선 공간의 라그랑지안 하위 공간 M의 각 지점에서 선택된다$.$ 하위 공간은 통합 가능한 분포를 형성해야 한다. 즉, 각 지점에서 서브 공간에 놓여 있는 두 벡터 장의 정류자도 각 지점의 벡터 필드에 있어야 한다.양자(사전 퀀텀과 반대되는) 힐버트 공간은 양극화 방향으로 공변적으로 일정하게 $존재$하는 L ${\displaystyle L}$의 섹션 공간이다.^[5][b]양자 힐버트 공간에서 섹션은 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$차원$$ 고전적 위상 공간에서 n ${\displaystyle n}$ 변수의$$ 함수여야 한다는 생각이다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 관련 해밀턴 흐름이 양극화를 보존하는 함수라면 Q${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle Q(f)}$은 양자 힐버트 공간을 보존한다$$.^[6]$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 흐름이 양극화를 보존한다는$$ 가정은 강한 것이다.일반적으로 그다지 많은 함수가 이 가정을 만족시키지 못할 것이다.

하프폼 보정

반 형태 보정(피화물 보정이라고도 함)은 0이 아닌 양자 힐버트 공간을 얻기 위해 실제 극화의 경우에 필요한 위의 절차에 대한 기술적 수정이다. 복잡한 경우에도 종종 유용하다.선다발 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $L$$}$은(는) $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 정사각형 루트를 가진 L ${\displaystyle$ L$}$의 텐서 제품으로 대체된다$.$ 예를 들어 수직 양극화의 경우, 해당 ar의 $함수$ $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystystyle$ $f(x$$)}$을 고려하는 대신$e{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p}$과(와) 독립적으로$,$${\displaystyle }f{\displaystyle }$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle \sqrt{d}}$ x ${\$ 형식의 개체를 고려한다$.$$Q{\displaystyle }$(${\displaystyle f}$) ${\displaystyle$ Q$(f)}$에 대한 공식은 추가 Lie 파생상품 용어로 보충해야 한다$$.^[7]예를 들어, 평면에서 복잡한 양극화의 경우, 반 형태 보정을 통해 고조파 오실레이터의 정량화를 통해 에너지에 대한${\displaystyle }$표준 양자 기계적 공식${\displaystyle (n\mathrm{}}$ +${\displaystyle 1}$ / 2 )${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (n+1/2)\hbaromega$을${\displaystyle }$를) "${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}}${\$displaystyle +1/2$로 재현할 수 있다.e ^[8]반나절

푸아송 다면체

포아송 다지관의 기하학적 정량화와 동시분할도 개발된다.예를 들어, 부분적으로 통합이 가능하고 초통합이 가능한 해밀턴식 시스템과 비자율 역학의 경우가 이에 해당한다.

예

동정성 다지관이 2-sphere인 경우, $s{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{u}}$(${\displaystyle {}^{}2}$ )$∗{\$ {$su}(2)^{*}}}}$의 공합성 궤도로서 실현될 수 있다$.$ 구의 면적이 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi \hbar}}$의 정수배수라고 가정하면 기하 정량화와 그에 따른 힐버트 공간을 수행할 수 있다$.$Is는 SU(2)를 수정할 수 없는 표현이다.구체의 면적이 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle$2\$pi \hbar$인 경우, 2차원 스핀-다이얼 표현을 얻는다.

참고 항목

• 하프폼
• 라그랑가속
• 키릴로프 궤도법
• 정량화는 감소와 함께 통한다.

메모들

인용구

원천

외부 링크

• 윌리엄 리터의 기하학적 정량화에 대한 검토는 물리학의 모든 문제에 대한 일반적인 틀을 제시하며 기하학적 정량화를 이 틀에 arXiv:math-ph/0208008에 적합시킨다.
• 존 배즈의 기하학적 수량화에 대한 리뷰는 짧고 교육학적이다.
• 몇 안 되는 좋은 프라이머 중 하나인 기하학적 정량화에 대한 마티아스 블라우의 입문서(ps 형식만 해당)
• A. 에체베리아-엔리케스, M. 무노즈-레칸다, N.로마 로이, 기하 정량화의 수학 기초, arXiv:math-ph/9904008.
• G. Sardanashvily, 동일성 분란의 기하학적 정량화, arXiv:math/0110196.