궤도법

수학에서 궤도 방법(키릴로프 이론으로도 알려져 있고, 공동체의 궤도와 몇 개의 유사한 이름으로도 알려져 있다)은 리 집단과 리 대수학의 이중 공간에 대한 집단의 작용의 불가해한 단일 궤도들: 궤도들 사이의 일치성을 확립한다.이 이론은 키릴로프(1961년, 1962년)에 의해 영점 집단을 대상으로 도입되었고, 이후 버트람 코스탄트, 루이 아우스랜더, 라조스 푸칸스키 등이 해결 가능한 집단의 사례로 확대하였다.로저 하우(Roger Howe)는 p-adic Lie 그룹에 적용되는 궤도 방법의 버전을 발견했다.^[1]데이비드 보간은 궤도 방법이 실제 환원 리 그룹의 단일 이중화 설명에서 통일 원리로 작용해야 한다고 제안했다.^[2]

동일지오메트리와의 관계

Kirillov의 주요 관찰 중 하나는 Lie 그룹 G의 공동관절 궤도는 G에 의거하지 않는 공통의 다지관의 자연 구조를 가지고 있다는 것이다. 만약 궤도가 G-invariant 고전적 기계 시스템의 위상 공간이라면 해당 양자 기계적 시스템은 불가역적인 유닛을 통해 설명되어야 한다.ry 표현 궤도의 기하학적 불변량은 해당 표현에 대한 대수적 불변으로 번역된다.이런 식으로 궤도 방법은 정량화의 모호한 물리적 원리의 정밀한 수학적 발현으로 볼 수 있다.nilpotent 그룹 G의 경우, 통신에는 모든 궤도가 포함되지만, 일반적인 G의 경우 궤도에 대한 추가적인 제한(극성, 통합성, Pukanzky 조건)이 필요하다.이러한 관점은 코스탄트가 코아드관절 궤도의 기하학적 정량화 이론에서 상당히 진전되었다.

키릴로프 문자식

Lie 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 경우$,$ 키릴로프 궤도 방법은 표현 이론에서 휴리스틱 방법을 제공한다.G의 리 대수학의 이중 공간에 놓여 있는 코아드관절 궤도의 푸리에 변환을 불가해한 표현들의 극소수 문자와 연결한다.이 방법은 러시아의 수학자 알렉상드르 키릴로프의 이름을 따왔다.

가장 단순하게 말하면, Lie 그룹의 문자는 couadjoint 궤도에서 지원되는 Dirac 델타 함수의 푸리에 변환에 의해 주어질 수 있으며$,$ 지수 맵의 Jacobian의 제곱근에 의해 가중되며$,$ $모든{\displaystyle }$ Lie $그룹$에는 적용되지 않지만, 여러 종류의 연결 부류에 대해 작용한다$.$nilpotent, semisimple 그룹, compact 그룹을 포함한 ed Lie 그룹.

특례

닐포텐트 그룹 케이스

G는 연결되고 간단히 연결된 영약성 리 그룹이다.키릴로프는 G의 불가해한 단일 표현에 대한 동등성 등급이 리 대수학의$$ $이중{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ 공간 g$\$ {\$displaystyle$ {\$mathfrak{g}^{*}}$에 대한 작용 G의 궤도에 의해 파라메트릭화된다는 것을 증명했다.키릴로프 문자 공식은 해당 궤도를 넘는 특정 적분으로 표현된 하리쉬-찬드라 문자를 표현한다.

컴팩트 리 그룹 케이스

콤팩트한 거짓말 집단의 복잡하고 돌이킬 수 없는 표현들이 완전히 분류되었다.그들은 항상 유한한 차원이며 단위화할 수 있으며(즉, 불변 양정확정형 에르미타르의 형태를 인정함) 가장 높은 가중치에 의해 파라메트릭되는데, 이것은 정확히 집단의 지배적인 통합 가중치다.G가 Cartan 하위 골격 h를 가진 콤팩트한 semisimple Lie 그룹이라면, 그 공동체의 궤도는 닫히고 그들 각각은 한 점에서 양의 Weyl chamber h를^*₊ 교차한다.이 점이 G의 중량 격자에 속할 경우 궤도는 일체형이다.최고 중량 이론은 적분 코어드 조인트 궤도 집합과 G의 불가역적 단일 표현에 대한 동등성 등급 집합 사이의 바이어싱 형태로 재작성될 수 있다: 최고 중량 λh를^*₊ 가지는 최고 중량 표현 L(λ)은 적분 코어드 조인트 궤도 G·λ에 해당한다.키릴로프 문자 공식은 앞서 하리쉬-찬드라에 의해 증명된 문자 공식에 해당한다.

참고 항목

• 딕스미어 매핑
• 푸칸슈키 상태

참조

• Dulfo; Pederson; Vergne (1990), The Orbit Method in Representation Theory: Proceedings of a Conference Held in Copenhagen, August to September 1988 (Progress in Mathematics), Birkhäuser
• Kirillov, A. A. (1961), "Unitary representations of nilpotent Lie groups", Doklady Akademii Nauk SSSR, 138: 283–284, ISSN 0002-3264, MR 0125908
• Kirillov, A. A. (1962), "Unitary representations of nilpotent Lie groups", Russian Mathematical Surveys, 17 (4): 53–104, doi:10.1070/RM1962v017n04ABEH004118, ISSN 0042-1316, MR 0142001
• Kirillov, A. A. (1976) [1972], Elements of the theory of representations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 220, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-07476-4, MR 0412321
• Kirillov, A. A. (1999), "Merits and demerits of the orbit method", Bull. Amer. Math. Soc., 36 (4): 433–488, doi:10.1090/s0273-0979-99-00849-6.
• Kirillov, A. A. (2001) [1994], "Orbit method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Kirillov, A. A. (2004), Lectures on the orbit method, Graduate Studies in Mathematics, vol. 64, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3530-2.