노멀콘

대수 기하학에서, 체계 $Y$ $Y$ 의 $X$ 하위 $체임$ X $X$ 의 $C_{X}Y$ 정규 원뿔 C $C_{X}Y$ Y $C_{X}Y$ 는 차등 기하학에서 일반 번들 또는 관 모양의 주변과 유사한 체계다 $Y$ .

정의

임베딩 i: X → Y의 일반 $C_{X/Y}$ 콘 CY_X 또는 $C_{X/Y}$ X / $C_{X/Y}$ Y ${\$ 일부 이상 sheaf에 의해 정의됨 I는 상대 사양으로 정의된다.

\operatorname {Spec} _{X}(\oplus _{n=0}^{n}^{n}/I^{n+1}).

임베딩 i가 정규일 때, 일반 콘은 정상 번들이며, X의 벡터 번들은 sheaf I/I의² 듀얼에 해당한다.

X가 점이라면, 일반 원뿔과 그 원뿔에 대한 일반 번들을 접선 원뿔이라고도 하고, 그 점까지 접선 공간(자리스키 접선 공간)이라고 한다.Y = Spec R이 부착된 경우, 정의는 정상 원뿔과 X = Spec R/I가 I에 대해 R의 관련 등급 링의 Spec임을 의미한다.

Y가 제품 X × X이고 내장 i가 대각선 내장이라면, Y에서 X에 대한 일반 번들은 X에 대한 접선 번들이다.

보통 원뿔(또는 그 투사 사촌)은 폭발의 결과로 나타난다.그러게, 그대로 두자.

\pi :\operatorname {Bl} _{X}Y=\operatorname {Proj} _{Y}(\oplus _{n=0}^{\inful }I^{n}}\to Y

X를 따라 Y를 폭파하다Then, by definition, the exceptional divisor is the pre-image $E=\pi ^{-1}(X)$ ; which is the projective cone of ${\displaystyle \oplus _{0}^{\infty }I^{n}\otimes _{{\mathcal {O}}_{$ $Y}{{\mathcal{O}_{X}=\oplus _{0}^{{$ 0}^{\ $infit }{n}/I^{n+1$ 그러므로,

E=\mathbb {P} (C_{X}Y)

=

E=\mathbb {P} (C_{X}Y)

( C

E=\mathbb {P} (C_{X}Y)

Y

E=\mathbb {P} (C_{X}Y)

)

E=\mathb {P}(C_{X}Y)

.

일반 묶음의 전역 섹션은 Y의 포함된 극소량 변형을 X에 분류한다. 이중 숫자의 링 D 위로 평평하고 X를 특수 섬유로 하는 Y ×_k D의 닫힌 부분군 집합과 H⁰(X, N_X Y) 사이에 자연적인 편견이 있다.^[1]

특성.

일반 임베딩의 구성

$i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z$ : $i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z$ $i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z$ $i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z$ , $i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z$ : $i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z$ $i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z$ $i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z$ ${\displaystyle$ i $:X\hookrightarrow$ Y $,\,j:$ $Y\hookrightarrow Z}$ 은 $i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z$ (는) 일반 $j\circ i$ 이고, $j\circ i$ $j\circ i$ i $j\circ i$ 은 $j\circ i$ (는) 일반 임베딩이며, X:^[2]에 벡터 번들의 순서가 자연적으로 정확히 있다.

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

→

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

/

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

→ N

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

/

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

→

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

N

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

/

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

→

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

{\displaystyle 0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*N_{Y/Z}\to

0

0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0

$Y_{i}\hookrightarrow X$ $Y_{i}\hookrightarrow X$ $Y_{i}\hookrightarrow X$ $Y_{i}\hookrightarrow X$ 이 $Y_{i}\hookrightarrow X$ (가) $c_{i}$ i ${\$ 의 정규 내장형인 경우, $W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X$ $W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X$ $W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X$ $W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X$ $W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X$ $W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X$ $W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X$ ${\displaysty$ W $:=\bigcap _{i}$ $Y_{i}\hookrightarrow X}$ 은(는) 코디네이션의 정기적 내장형이다 $W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X$ .

$\sum c_{i}$

그때^[2]

N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}

N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}

/ X

N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}

=

N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}

I

N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}

N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}

N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}

/

N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}

N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}

{\

특히 $X\to S$ → $X\to S$ $X\to S$ 이(가) 매끄러운 형태론이라면 $X\to S$ , 대각선 임베딩에 대한 일반적인 번들.

$\Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X$ : X $\Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X$ $\Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X$ $\Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X$ $\Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X$ $\Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X$ $\Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X$ × $\Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X$ {\ $displaystyle \Delta :X\hookrightarrow X\time _{S}\cdots \time$ \time $_{S}X}($ r-폴드)

상대 접선 번들 $T_{X/S}$ $T_{X/S}$ / $T_{X/S}$ ${\$ 의 r - 1개의 직접 합이다 $T_{X/S}$

$X\hookrightarrow X'$ $X\hookrightarrow X'$ $X\hookrightarrow X'$ $X\hookrightarrow X'$ ${\$ 이(가) 폐쇄적 몰입이고 $X\hookrightarrow X'$ Y $Y'\to Y$ → $Y'\to Y$ { → Y ${\displaystyle$ Y $'\to Y}$ 이(가) $X'=X\times _{Y}Y'$ ′ $X'=X\times _{Y}Y'$ = X $X'=X\times _{Y}Y'$ $X'=X\times _{Y}Y'$ $X'=X\times _{Y}Y'$ ${\$ = X $\times$ 와 같은 평면 형태인 경우 $Y'\to Y$ ^[3]^{[citation needed]}, .

C_{X'/Y'}=C_{X/Y}\time _{X}X'.

$X\to S$ → $X\to S$ $X\to S$ 이 $X\to S$ (가) 매끄러운 $X\hookrightarrow Y$ 이고 X $X\hookrightarrow Y$ Y $X\hookrightarrow Y$ {\ $displaystyle$ X\ $hookrightarrow Y$ }이(가) 정기적인 내장이라면 $X\hookrightarrow Y$ X:에 벡터 번들의 순서가 자연적으로 정확히 있다.^[4]

0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0

→

0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0

0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0

/

0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0

→ T

0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0

/

0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0

0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0

→

0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0

X

0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0

/

0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0

→ 0

{\displaystyle 0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}\to N_{X/Y}\to 0

(코탄젠트 피복에 대한 정확한 시퀀스의 특별한 경우)

데카르트 광장

데카르트 사각형의 계획

${\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &\to &Y\end{matrix}$

$f:X'\to X$ : $f:X'\to X$ $f:X'\to X$ → $f:X'\to X$ $f:X'\to X$ 수직 $f:X'\to X$ 지도로, 닫힌 임베딩이 있다.

$C_{X'/Y'}\hookrightarrow f^{*}C_{X/Y}$

보통 원추형의

성분 치수

$X$ $X$ 을(를) 필드 위에 유한한 유형으로 하고 $X$ $W\subset X$ $W\subset X$ $W\subset X$ $W\subset X$ 을 $W\subset X$ (를) 닫힌 하위 체로 설정한다. $X$ $X$ 이 $X$ (가) 순수한 치수 r인 경우, 즉, 모든 수정 불가능한 구성 요소가 치수 r을 갖는 경우, $C_{W/X}$ W $C_{W/X}$ / $C_{W/X}$ ${\$ 또한 순수한 치수 r이다 $C_{W/X}$ .(^[5]이는 일반 원뿔에 대한 #변형의 결과로 볼 수 있다.)이 속성은 교차로 이론에서 응용 프로그램의 핵심이다: 일부 주변 공간에서 $V,X$ 닫힌 하위 시스템 $V$ , $X$ ${\displaystyle$ V $,X}$ 쌍이 주어진 반면, 구성-이론적 교차로 $V\cap X$ $V\cap X$ X ${\$ $displaystyle$ $V\cap$ X $}$ 은 $V\cap X$ $V$ , $X$ 의 위치에 따라 다양한 차원의 수정 불가능한 구성 요소를 가지고 있다. $LE$ V $,X$ 정상 $V\cap X$ 과 V $V\cap X$ X $V\cap X$ {\ $displaystyle$ V $\cap$ X $}$ 은 $V\cap X$ (는) 순수한 차원이다.

예

$D\hookrightarrow X$ $D\hookrightarrow X$ $D\hookrightarrow X$ ${\displaystyle D\hookrightarrow$ X $}$ 을(를) 효과적인 카르티에 디비서가 되게 하라 $D\hookrightarrow X$ .그런 다음, 그것에 대한 정규 번들(또는 동등하게 그것에 대한 정규 원뿔)은 다음과^[6] 같다.
$N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}$ $N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}$ / $N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}$ = O $N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}$ ( D $N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}$ ) $N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}$ $N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}$ $N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}$ ( $N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}$ ) $N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}$ ${\$

비정규 임베딩

비정규 임베딩^[7]^{pg 4-5} 고려

{\displaystyle X={\text{Spec}\왼쪽({\frac {\\mathb {C}[x,y,z]}{(xz,yz)}}}\\mathb {A} ^{3}}}에

그러면, 우리는 먼저 관찰함으로써 보통의 원뿔을 계산할 수 있다.

{\reasoned}I&=(xz,yz)\\I^{2}&=(x^{2}z^{2},xyz^{2},y^{2}z^{2}}\\end{aigned}}}}}}

보조 변수를 $a=xz$ = $a=xz$ z $a=xz$ 및 $a=xz$ $b=yz$ = $b=yz$ $b=yz$ $b=yz$ 로 설정하면 관계가 설정됨 $b=yz$

ya-xb=0.}

우리는 이것을 일반 원뿔을 상대적인 망령으로 발표하는데 사용할 수 있다.

C_{X}\mathb {A}^{3}={\text{Spec}_{X}\왼쪽({\frac {{\mathcal {{O}_{X}[a,b]}{(ya-xb))}}

$\mathbb {A} ^{3}$ $\mathbb {A} ^{3}$ ${\$ 이 $\mathbb {A} ^{3}$ (가) 아핀이므로 아핀 체계로서 상대 스펙트럼만 적으면 된다.

$C_{X}\mathb {A}^{3}={\text{Spec}\왼쪽({\frac {\mathb {C}[x,y,z][a,b]}{(ya-xb)}}$

보통 원뿔을 주는 거야

이 일반 원뿔의 기하학

일반 원뿔의 기하학은 $X$ $X$ 의 다양한 폐쇄 지점에 대한 섬유들을 살펴봄으로써 더욱 탐구할 수 있다 $X$ $X$ 으로 X ${\displaystyle$ $X$ $} -면$ $H$ ${\displaystyle$ H $}$ 과 z $H$ ${\$ $displaystyle z$ $}$ -축 $z$ L $}$ 의 $z$ 이라는 점에 $X$ 유의하십시오 $L$

$X=H\컵 L}$

따라서 관심 지점은 평면의 매끄러운 점, 축의 매끄러운 점, 교차점의 점이다.평면의 모든 매끄러운 지점은 지도에 의해 주어진다.

${\displaysty}x\mapsto z_{1}&y}\mapsto z_{2}&z\mapsto 0\end{mapsto}}$

for $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ and either $z_{1}\neq 0$ or $z_{2}\neq 0$ . Since it's arbitrary which point we take, for convenience let's assume $z_{1}\neq 0,z_{2}=0$ , hence the fiber of $C_{X}\mathbb {A} ^{3}$ $p=(z_{1},0,0)$ $C_{X}\mathbb {A} ^{3}$ $C_{X}\mathbb {A} ^{3}$ $C_{X}\mathbb {A} ^{3}$ ${\$ p $p=(z_{1},0,0)$ = $p=(z_{1},0,0)$ ( $p=(z_{1},0,0)$ $p=(z_{1},0,0)$ , $p=(z_{1},0,0)$ ) $p=(z_{1},0,0)$ 지점에서의 $C_{X}\mathbb {A} ^{3}$ 이형성 $p=(z_{1},0,0)$

$C_{X}\mathb {A}^{3} _{p}\cong {\frac {\c}[a,b]{(z_{1}a)}}}}\cong \mathb {C}[b]$

예상한 대로 일반 원뿔을 1차원 선으로 제공.축의 $q$ 점 $Q$ $q$ 에 대해 이 값은 지도에 의해 제공됨

${\displaysty}x\mapsto 0&y\mapsto 0&z\mapsto z_{3}\end{nd}}}}}$

따라서 지점 $q=(0,0,z_{3})$ = $q=(0,0,z_{3})$ ( $q=(0,0,z_{3})$ $q=(0,0,z_{3})$ $q=(0,0,z_{3})$ $q=(0,0,z_{3})$ ) ${\displaystyle q=(0,0,z_{3})$ 의 $q=(0,0,z_{3})$ 섬유는

$C_{X}\mathb {A}^{3} _{q}\cong {\frac {C}[a,b]}{(0)}}}\cong \mathb {C}[a,b]$

비행기를 주는 거야원점 $r=(0,0,0)$ = $r=(0,0,0)$ ( $r=(0,0,0)$ $r=(0,0,0)$ , 0 ) $r=(0,0,0)$ 에서 $r=(0,0,0)$ 그 지점 위의 정상 원뿔은 $\mathbb {C} [a,b]$ C $\mathbb {C} [a,b]$ $\mathbb {C} [a,b]$ ], b $]$ {\ $displaystyle$ \mathb ${C}[a$ ,b $]}$ 에 이형이다 $\mathbb {C} [a,b]$

노달 입방체

$\mathbb {C}$ 의 C ${\$ $y^{2}+x^{2}(x-1)$ $\mathbb {C}$ 및 $X$ $X$ 에 $X$ 대해 $y^{2}+x^{2}(x-1)$ 다항식 $y^{2}+x^{2}(x-1)$ 2 $y^{2}+x^{2}(x-1)$ + x $y^{2}+x^{2}(x-1)$ ( $y^{2}+x^{2}(x-1)$ - 1 ) ${\displaystyle y^{2}+x^{2}(x-1$ )가 $Y$ $y^{2}+x^{2}(x-1)$ 제공하는 노달 입방형 $곡선$ Y ${\\displaystystyley Y}$ 의 경우 원뿔이 있다.

$C_{X/Y}\cong {\text{Spec}(\mathb {C}[x,y]/(y^{2}-x^{2})}$

일반 원뿔이 놓여 있는 계획보다 더 많은 구성요소를 가지고 있다는 것을 보여준다.

일반 원뿔에 대한 변형

$i:X\to Y$ : $i:X\to Y$ → $i:X\to Y$ $i:X\to Y$ 이(가) 내장되어 있다고 $i:X\to Y$ 가정합시다.이는 일반^[7]^{pg 6} $C_{X/Y}$ $C_{X/Y}$ X $C_{X/Y}$ {\ $displaystyle C_{X/Y}($ 영점 섹션으로) 내부에 $X$ $X$ $X$ 을(를) 내장하는 것으로 변형될 수 있다.

$\pi :M_{X/Y}^{o}\to}\to \mathb {P}^{1$

일반 섬유 $Y$ $Y$ 과 $Y$ (와) $C_{X/Y}$ 섬유 $C_{X/Y}$ X $/$ {\ $displaystyle C_{$ X/ $Y}$ 을(를) 사용하여 폐쇄형 임베딩 제품군이 존재하도록 하십시오 $C_{X/Y}$ .

$X\times \mathb {P}^{1}\hookrightarrow M_{X/Y}^{o}}}}$

P $\mathbb {P} ^{1}$ $\mathbb {P} ^{1}$ ${\$ ^1} $이상.$

임의의 $t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}$ t $t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}$ $t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}$ 1 $t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}$ - { $t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}$ $t\in \mathb {P$ ^{1 $}-\{0\}}$ 에 $t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}$ 걸쳐 관련 임베딩은 $X\times \{t\}\hookrightarrow Y$ X $X\times \{t\}\hookrightarrow Y$ { $X\times \{t\}\hookrightarrow Y$ } { t} $X\times \{t\}\hookrightarrow Y$ $X\times \{t\}\hookrightarrow Y$ ${\displaystyle$ X $\t\}\}\hookrightarrow Y}$ 이다.
$0\in \mathbb {P} ^{1}$ $0\in \mathbb {P} ^{1}$ $0\in \mathbb {P} ^{1}$ $0\in \mathbb {P} ^{1}$ ${\$ ^ $1} 이상$ 의 섬유는 0 섹션에 의해 $X\hookrightarrow C_{X/Y}$ 주어지는 $X\hookrightarrow C_{X/Y}$ $X\hookrightarrow C_{X/Y}$ $X\hookrightarrow C_{X/Y}$ $X\hookrightarrow C_{X/Y}$ ${\$ X ${\displaystyle$ X\hookrightarrow $C_{X/Y}$ 가 내장되어 있다 $0\in \mathbb {P} ^{1}$ .

이 구조는 교차로의 관형 근방에서 비횡단 교차로들이 수행되는 미분위상과 유사한 도구를 정의한다.이제 $Y$ $Y$ 에서 $Z$ 사이클 $Z$ $Z$ 이 $X$ (가) 있는 X ${\$ $displaystyle$ $X$ $}$ 의 $X$ 교차점을 $C_{X/Y}$ / $C_{X/Y}$ ${\$ 의 $Z$ 풀백과함께 X {\ $displaystyle$ X $}$ 의 교차점을 푸시 포워드 할 수 있다 $Y$ $C_{X/Y}$

건설

이것의 한 가지 적용은 차우 링에 있는 교차점 제품을 정의하는 것이다.X와 V가 교차점 W와 Y의 닫힌 부분이라고 가정하고, 우리는 Y의 차우 링에서 X와 V의 교차점 제품을 정의하고 싶다.이 경우 일반 원뿔에 변형된 것은 Y와 V에서 X와 W의 임베딩을 일반 원뿔_Y C(X)와 C_W(V)로 대체하여 CY에서_X X와 CV의_W 제품을 찾고자 함을 의미한다.이것은 훨씬 더 쉬울 수 있다: 예를 들어 X가 Y에 정기적으로 내장되어 있다면, 그 정상적인 원뿔은 벡터 번들이기 때문에 우리는 0 섹션 X와 벡터 번들_X CY의 하위 체임_W CV의 교차 생산물을 찾는 문제로 전락한다.그러나 이 교차점 제품은 단지_W CV에 기신 이형성을 적용함으로써 주어진다.

구체적으로는 일반 원뿔에 대한 변형은 블로업을 통해 구성할 수 있다.그러게, 그대로 두자.

\pi :M\to Y\times \mathb {P} ^{1

$X\times 0$ $X\times 0$ P $Y\times \mathbb {P} ^{1}$ ${\$ ^1} $X$ × $X\times 0$ ${\displaystyle$ X $\times$ 0 $}$ 을 $Y\times \mathbb {P} ^{1}$ (를) 따라 폭파한다 $X\times 0$ 예외적인 구분자는 ${\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)$ ${\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)$ ${\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)$ 의 ${\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)$ = P ${\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)$ ( ${\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)$ ${\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)$ ${\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)$ ${\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)$ ${\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)$ $){\displaystyle {\overline {C_{X}$ 이다. $Y}}=\mathb {P}(C_{X}Y\oplus 1$ 일반 원뿔의 투영 완료. 여기에서 사용되는 표기법은 con#Properties를 참조하십시오.일반 콘 $C_{X}Y$ $C_{X}Y$ $C_{X}Y$ $C_{X}Y$ 은(는) ${\overline {C_{X}Y}}$ ${\overline {C_{X}Y}}$ ${\overline {C_{X}Y}}$ ¯ ${\$ {C_{ $X}$ 의 열린 하위 체임이다 $C_{X}Y$ . $Y}}$ 과 ${\overline {C_{X}Y}}$ (와) $X$ $X$ 은(는) $C_{X}Y$ X $C_{X}Y$ $C_{X}Y$ 의 영점 섹션으로 내장되어 있다 $X$ $C_{X}Y$

이제, 우리는 다음과 같은 것을 주목한다.

지도 $\rho :M\to \mathbb {P} ^{1}$ : $\rho :M\to \mathbb {P} ^{1}$ → $\rho :M\to \mathbb {P} ^{1}$ $\rho :M\to \mathbb {P} ^{1}$ ${\$ 투영 $\pi$ 후 $\pi$ $\pi$ 은 평탄하다.
유도된 폐쇄 임베딩이 있다.
${\widetilde{i}:X\time \mathb {P} ^{1}\hook 오른쪽 화살표 M$
그것은 P $\mathbb {P} ^{1}$ ${\$ 에 대한 형태론이다 $\mathbb {P} ^{1}$
M은 0에서 약간 떨어져 있다. 즉, $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ - $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ ( $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ - $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ ) $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ = Y $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ ( $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ - 0 $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ ) ${\displaystyle \rho$ ^{- $1}(\mathb {P} ^{1}-0)=$ $Y\times(\mathb {P} ^{1}-0)$ 및 $\rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ ${\widetilde {i}}$ ~ ${\$ 은(는) 사소한 임베딩으로 제한함 ${\widetilde {i}}$
$X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ $X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ ( $X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ 1 $X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ - $X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ ) $X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ $X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ $X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ ( $X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ $X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ - 0 $X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)$ ) ${\displaystyle X\time (\mathb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\time (\mathb {P} ^{1}-0$ .
$\rho ^{-1}(0)$ - $\rho ^{-1}(0)$ ( $\rho ^{-1}(0)$ ) $\rho ^{-1}(0)$ 이(가) 디비저가 합이기 때문에 $\rho ^{-1}(0)$
${\overline {C_{X}Y}+{\widetilde{Y}$
여기서 ${\widetilde {Y}}$ ~ ${\$ 는 X를 따라 Y가 폭파되어 효과적인 ${\widetilde {Y}}$ 카르티에 디비저로 간주된다.
Divisor ${\overline {C_{X}Y}}$ ${\overline {C_{X}Y}}$ ${\overline {C_{X}Y}}$ 의 ${\$ 처럼 $Y}}}$ 과 ${\overline {C_{X}Y}}$ $($ 와) ${\$ {\ $widetilde {Y}}$ 이 $\mathbb {P} (C)$ 가) $\mathbb {P} (C)$ $\mathb {P}(C)$ 에서 교차하며 ${\widetilde {Y}}$ , ${\overline {C_{X}Y}}$ 서 $\mathbb {P} (C)$ ) ${\$ $mathb {P}($ $C_{X})$ 는 C X ${\overline {C_{X}Y}}$ Y의 무한대에 위치한다 $\mathbb {P} (C)$ . $Y$

항목 1. 명확하다( 비틀림 없음 확인).In general, given $X\subset Y$ , we have $\operatorname {Bl} _{V}X\subset \operatorname {Bl} _{V}Y$ . Since $X\times 0$ is already an effective Cartier divisor on $X\times \mathbb {P} ^{1}$ , we get

X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M

X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M

X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M

1

X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M

=

X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M

X

X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M

×

X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M

×

X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M

×

X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M

X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M

×

X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M

{\

displaystyle

X

\times \mathb {P}

^{1

}=\operatorname {Bl}

_

{X\time 0}X\time \mathb {P

^{1}\}\

mathb ^{1}\hook

오른쪽

행 M},

${\widetilde {i}}$ ~ ${\$ 항목 3. 블로 다운 맵 π이 중심 $X\times 0$ $X\times 0$ 에서 $떨어진$ 이형성 $Isomorphism)$ 이라는 사실에 따른다.마지막 두 항목은 명시적 로컬 계산에서 볼 수 있다. $\square$

이제 앞 단락의 마지막 항목은 M의 $X\times 0$ $X\times 0$ $X\times 0$ $X\times 0$ $X\times 0$ 이( ${\widetilde {Y}}$ ) Y ${\widetilde {Y}}$ {\ $displaystyle$ {\ $widetilde$ {Y $}}$ 과(와) 교차하지 않는다는 것을 암시한다 ${\widetilde {Y}}$ 따라서 X의 제로 섹션 임베딩에 대한 i의 변형을 일반 원뿔에 얻는다.

내인성 노멀콘

내인성 정상 번들

Let $X$ be a Deligne–Mumford stack locally of finite type over a field $k$ . If ${\textbf {L}}_{X}$ denotes the cotangent complex of X relative to $k$ , then the intrinsic normal bundle^[8]^{pg 27} to $X$ is the quotient stack

${\mathfrak{N}_{X}=h^{1}/h^{0}({\textbf{L}}}{\text{fp}}}}^{\vee }}}}}$

which is the stack of fppf ${\textbf {L}}_{X}^{\vee ,0}$ -torsors on ${\textbf {L}}_{X}^{\vee ,1}$ . A concrete interpretation of this stack quotient can be given by looking at its behavior locally in the etale topos of the stack $X$ .

고유 정규 번들의 속성

구체적으로는, 어핀 유한형 $k$ $k$ $U$ U $U$ 의 $U\to X$ Etale 형태론 $U\to X$ → $f:U\to M$ $u$ 이 $U$ (가) 로컬 폐쇄형 몰입 $f:U\to M$ : U $f:U\to M$ → $f:U\to M$ ${\displaystystyle f:$ $부드러운$ 아핀 유한형 k $k$ -scheme $k$ $M$ $M$ 에 $f:U\to M$ U $\to M}$ 을(를) 넣는다 $M$ 그러면 한 번 보여줄 수 있다.

${\mathfak{N}_{X} _{U}=[N_{U/M}/f^{*T_{M}]}$

즉, 정상적인 순서의 실패에 대한 스택 화신으로서 본질적인 정상 번들을 이해할 수 있다는 것을 의미한다.

${\mathcal{T}_{U}\to {\mathcal{T}_{M}_{U}}{U}}$

정확히 말하면더욱이, 아래에서 논의된 특수한 경우에 대해서는, 현재 우리는 일부 삼각형 범주의 삼각형으로서 이전 시퀀스의 연속으로서 그 지수를 고려하고 있다.로컬 스택 지수 $[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]$ [ $[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]$ $[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]$ $[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]$ $[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]$ $[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]$ $[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]$ $[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]}$ 이(가) 다음과 같이 해석될 수 있기 $[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]$ 때문이다.

$B{\mathcal{T}_{U}={\mathcal{T}_{U}[+1]$

경우에 따라서는

노멀콘

The intrinsic normal cone to $X$ , denoted as ${\mathfrak {C}}_{X}$ ^[8]^{pg 29}, is then defined by replacing the normal bundle $N_{U/M}$ with the normal cone $C_{U/M}$ ; i.e.,

{\mathfak{C}_{X} _{U}=[C_{U/M}/f^{*T_{M}].

예:One has that $X$ is a local complete intersection if and only if ${\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}$ . In particular, if $X$ is smooth, then ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}=$ $BT_{X}}$ 은 접선 번들 $T_{X}$ X ${\$ 의 분류 스택으로 ${\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}=BT_{X}$ $T_{X}$ $X$ $X$ 에 대한 교감 그룹 구성이다 $X$

보다 일반적으로, $X\to Y$ → $X\to Y$ ${\displaystyle X\to$ Y $}$ 는 한정된 유형의 아르틴 스택의 Deligne-Mumford Type(DM-type) 형태론이다 $X\to Y$ .Then ${\mathfrak {C}}_{X/Y}\subseteq {\mathfrak {N}}_{X/Y}$ is characterised as the closed substack such that, for any étale map $U\to X$ for which $U\to X\to Y$ factors through some smooth map $M\to Y$ $M\to Y$ ( $\mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y$ : $\mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y$ $\mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y$ n $\mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y$ → Y ${\displaystyle \mathb {A} _{Y}^{n}\to$ Y $})$ $\mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y$ 풀백:

{\mathfrak{C}_{X/Y} _{U}=[C_{U/M}/T_{M/Y} _{U}].

참고 항목

메모들

^ 하르트쇼른 1977, 페이지 Ch.III, 연습 9.7..
^ ^a ^b Fulton 1998, 페이지 부록 B.7.4..
^ Fulton 1998, p.정리 6.5의 증거 중 첫 번째 부분은..
^ Fulton 1998, 페이지 부록 B 7.1..
^ Fulton 1998, 페이지 부록 B. 6.6..
^ Fulton 1998, 페이지 부록 B.6.2..
^ ^a ^b Battistella, Luca; Carocci, Francesca; Manolache, Cristina (2020-04-09). "Virtual classes for the working mathematician". Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. doi:10.3842/SIGMA.2020.026.
^ ^a ^b Behrend, K.; Fantechi, B. (1997-03-19). "The intrinsic normal cone". Inventiones Mathematicae. 128 (1): 45–88. doi:10.1007/s002220050136. ISSN 0020-9910.

참조

Behrend, K.; Fantechi, B. (1997-03-01). "The intrinsic normal cone". Inventiones Mathematicae. 128 (1): 45–88. doi:10.1007/s002220050136. ISSN 0020-9910.
Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

외부 링크

노멀콘의 섬유

[FOOTNOTEHartshorne1977Ch._III,_Exercise_9.7.-1] 하르트쇼른 1977, 페이지 Ch.III, 연습 9.7..

[FOOTNOTEFulton1998Appendix_B.7.4.-2] Fulton 1998, 페이지 부록 B.7.4..

[FOOTNOTEFulton1998The_first_part_of_the_proof_of_Theorem_6.5.-3] Fulton 1998, p.정리 6.5의 증거 중 첫 번째 부분은..

[FOOTNOTEFulton1998Appendix_B_7.1.-4] Fulton 1998, 페이지 부록 B 7.1..

[FOOTNOTEFulton1998Appendix_B._6.6.-5] Fulton 1998, 페이지 부록 B. 6.6..

[FOOTNOTEFulton1998Appendix_B.6.2.-6] Fulton 1998, 페이지 부록 B.6.2..

[:0-7] Battistella, Luca; Carocci, Francesca; Manolache, Cristina (2020-04-09). "Virtual classes for the working mathematician". Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. doi:10.3842/SIGMA.2020.026.

[:1-8] Behrend, K.; Fantechi, B. (1997-03-19). "The intrinsic normal cone". Inventiones Mathematicae. 128 (1): 45–88. doi:10.1007/s002220050136. ISSN 0020-9910.

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