하디-라마누잔-리틀우드 원법

수학에서 하디-라마누잔-리틀우드 원법(Hardy-Ramanujan-Littlewood circle method)은 분석적 정수론의 기법입니다. 그것은 워링의 문제에 대한 일련의 논문에서 그것을 개발한 G. H. Hardy, S. Ramanujan, 그리고 J. E. Littlewood의 이름을 따서 지어졌습니다.

역사

초기 아이디어는 일반적으로 하디가 스리니바사 라마누잔과 함께 몇 년 전인 1916년과 1917년에 분할 함수의 점근선에 대한 연구에서 기인합니다. 해럴드 대븐포트와 I . M. 비노그라도프를 포함한 많은 다른 연구자들이 이 연구를 수행했는데, 그들은 넓은 선을 바꾸지 않고 공식을 약간 수정했습니다. 수백 개의 논문이 뒤따랐고 2022년^[update] 현재 이 방법은 여전히 결과를 내고 있습니다. 이 방법은 R. C. Vaughan의 모노그래프 Vaughan (1997)의 주제입니다.

아웃라인

목표는 급수의 점근적 행동을 증명하는 것입니다: 어떤 함수에 $대해 n$ ~ $F (n)$ 임을 보여주는 것입니다. 이것은 시리즈의 생성 함수를 취한 다음 잔기를 0(본질적으로 푸리에 계수) 정도로 계산함으로써 수행됩니다. 기술적으로 생성 함수는 수렴 반경이 1이 되도록 축척되므로 단위 원에 특이점이 있습니다. 따라서 단위 원 위에 등고선 적분을 적용할 수 없습니다.

구체적으로 원을 작은 호(원의 대부분)와 큰 호(가장 중요한 특이점을 포함하는 작은 호)로 분할한 다음 작은 호에 대한 행동을 제한하여 이러한 잔여물을 계산하는 방법이 원 방법입니다. 핵심 통찰력은 많은 관심의 경우(theta 함수와 같은) 특이점이 단일성의 뿌리에서 발생하고 특이점의 중요성은 Farey 시퀀스의 순서로 발생한다는 것입니다. 따라서 가장 중요한 특이점을 조사하고 운이 좋으면 적분을 계산할 수 있습니다.

세우다

문제의 원은 처음에는 복소평면의 단위 원이었습니다. 문제가 $처음$ 에 n = 0, 1, 2, $3, ...$ 에 대한 복소수 $a$ 의 일련의 경우, 우리는 유형 $a$ ~ $F(n$ )의 점근적 정보를 원하고 $,$ 여기서 우리는 $F$ (ansatz)가 취한 형태를 추측할 수 있는 발견적 이유가 있다고 가정하고, 우리는 다음과 같이 씁니다.

f(z)=\suma_{n}z^{n}

멱급수 생성 기능 흥미로운 경우는 $f$ 가 수렴 반경이 1인 경우이며, 우리는 제안된 문제가 이러한 상황을 나타내기 위해 수정되었다고 가정합니다.

잔재물

그 공식으로부터, 잔류 정리로부터 직접적으로 다음과 같이,

I_{n}=\oint _{C}f(z)z^{-(n+1)}\,dz=2\pi ia_{n}

$정수$ $n$ ≥ 0의 경우 $C$ 는 반지름 r의 원이고 0의 중심에 있는 원이며, $0$ < r < $1인$ $임의$ 의 r의 $경우$ , $I_{n}$ , {\ $displaystyle$ I_{n}}에서 등고선 적분은 반시계 방향으로 한 번 횡단한 원 위에 적분된 것입니다. 우리는 $r$ = $1$ 을 직접, 즉 단위 원 윤곽선을 사용하고자 합니다. 복잡한 분석 공식에서 $f$ 의 값이 정의되지 않을 수 있기 때문에 문제가 있습니다.

단위 원의 특이점

원법이 다루는 문제는 $단위$ 원에 나타나는 특이점 f의 성질을 잘 이해하여 r = $1$ 을 취하는 문제를 강제하는 것입니다. 기본적인 통찰력은 유리수의 파리 수열에 의해 수행되거나 또는 이와 동등하게 통일의 뿌리에 의해 수행되는 역할입니다.

\zeta \ =\exp \left ({\frac {2\piir}{s}}\right)

$여기$ 서 r $/ s$ 가 가장 낮은 항에 있다고 가정할 때, $분모$ 는 $일반적$ 인 $근거리$ ζ의 특이 행동의 상대적 중요성을 결정하는 것으로 나타났습니다.

방법

복합 해석 공식에 대한 하디-리틀우드 원 방법은 다음과 같이 표현될 수 있습니다. $I$ 를 r → 1로 평가하는 데 $기여$ 하는 바는 전통적으로 메이저 호와 마이너 호라고 불리는 두 가지 방식으로 처리되어야 합니다. 우리는 $통일성$ ζ의 근을 $s$ ≤ $N인지$ s > N인지에 따라 두 부류로 $나누는데$ , 여기서 N은 $n$ 의 함수로서 편리하게 선택할 수 있습니다. $적분$ I은 ζ에 인접한 원의 일부 호에서 각각 s의 $함수$ 인 길이의 적분으로 나뉩니다(다시, 우리의 재량에 따라). 호는 전체 원을 구성하며, 주요 호에 대한 적분의 합은 $2개$ 의πiF(n)를 구성합니다(현실적으로 이는 관리 가능한 나머지 항까지 발생합니다). 소호에 대한 적분의 합은 $F (n$ )보다 작은 순서의 상한으로 대체됩니다 $.$

논의

이렇게 과감히 말씀드리면 이것이 효과를 발휘할 수 있을지 전혀 알 수 없습니다. 관련된 통찰력은 상당히 깊습니다. 한 가지 분명한 출처는 세타 함수의 이론입니다.

워링의 문제

워링 문제의 맥락에서 세타 함수의 거듭제곱은 제곱합 함수에 대한 생성 함수입니다. 예를 들어, 그들의 분석 행동은 정육면체보다 훨씬 더 정확하게 알려져 있습니다.

거짓 colour 다이어그램에서 알 수 있듯이, 세타 함수의 '가장 중요한' 점은 z = $1$ 이고, 그 다음에는 z = -1, 그리고 7시와 11시에 통일의 두 복소 입방근이 있다는 것입니다. 그 후 가장 중요한 것은 통합 $i$ 와 -i의 네 번째 뿌리입니다. 분석 방법이 효과가 있다는 것을 보장하는 것은 없지만, 통일의 뿌리에 대한 Farey 시리즈 유형의 기준을 사용하는 이유를 설명합니다.

Waring의 문제의 경우 생성 함수의 충분히 높은 힘을 사용하여 소위 특이점 시리즈로 구성된 특이점이 우세한 상황을 강제합니다. 나머지에 사용된 추정치가 낭비가 적을수록 결과가 미세해집니다. Bryan Birch가 말했듯이, 이 방법은 본질적으로 낭비입니다. 그것은 유리한 상황에서 추정치의 손실을 통제할 수 있다는 가능성을 나타내는 분할 함수의 경우에는 적용되지 않습니다.

비노그라도프 삼각합

이후 I. M. Vinogradov는 지수합 공식 f(z)를 유한 푸리에 급수로 대체하여 관련 적분 $I$ 가_n 푸리에 계수가 되도록 기술을 확장했습니다. 비노그라도프는 1926년에 와링의 문제에 유한합을 적용했고, 일반적인 삼각합 방법은 "비노그라도프의 삼각합의 형태로 하디, 리틀우드, 라마누잔의 원 방법"으로 알려지게 되었습니다.^[1] 본질적으로 이 모든 작업은 생성 함수의 전체 '꼬리'를 폐기하여 제한 연산의 $r$ 비즈니스를 값 1로 직접 설정할 수 있도록 하는 것입니다.

적용들

방법의 개선으로 변수 $k$ 의 수가 $d$ 에 비해 큰 경우 균질 디오판토스 방정식의 해에 대해 결과를 증명할 수 있었습니다(예를 들어 버치의 정리 참조). 이것은 정량적 정보를 산출할 수 있는 하세 원리에 대한 기여로 밝혀졌습니다. $d$ 가 고정되고 $k$ 가 작으면 다른 방법이 필요하며 실제로 Hasse 원리는 실패하는 경향이 있습니다.

래드마허 등고선

Hans Rademacher는 원법을 적용하여 음의 가중치가 있는 모듈 형태의 계수를 찾는 특수한 경우에 원법에서 발생하는 급수를 정확한 결과로 수렴시키는 등고선의 수정을 발견했습니다. 그의 등고선을 설명하기 위해서는 $치환$ z = $exp($ 2 πi τ)를 사용하여 단위 원을 상위 반평면으로 대체함으로써 등고선 적분이 τ = i에서 τ = 1 + i로 적분할 수 있습니다. (상위 반평면에서 i를 임의의 숫자로 대체할 수 있지만 가장 편리한 것은 i입니다.) Rademacher의 등고선은 그림과 같이 0에서 1까지의 모든 Ford 원의 경계로 표시됩니다. $i$ 에서 $1$ + $i$ 까지의 선을 이 원들의 경계로 대체하는 것은 사소한 제한 과정이 아니며, 이는 음의 가중치를 갖는 모듈 형태에 대해 정당화될 수 있으며, 무게 0의 경우(즉, 모듈 함수)에 대해 더 주의하여 비정수 항에 대해서도 정당화될 수 있습니다.

메모들

^ Mardzhanishvili (1985), pp. 387–388

참고문헌

Apostol, Tom M. (1990), Modular functions and Dirichlet series in number theory (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97127-8
Mardzhanishvili, K. K. (1985), "Ivan Matveevich Vinogradov: a brief outline of his life and works", I. M. Vinogradov, Selected Works, Berlin{{citation}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)
Rademacher, Hans (1943), "On the expansion of the partition function in a series", Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 44, No. 3, 44 (3): 416–422, doi:10.2307/1968973, JSTOR 1968973, MR 0008618
Vaughan, R. C. (1997), The Hardy–Littlewood Method, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 125 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57347-4

외부 링크

테렌스 타오, 원법의 휴리스틱 한계, 2012년 블로그 게시물

[1] Mardzhanishvili (1985), pp. 387–388

[1]

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