고도로 구조화된 링 스펙트럼

수학에서 고도로 구조화된 고리 스펙트럼 또는 A $∞{\$ 링 $A_{\infty }$ (ring)은 호모토피 이론의 대상물로서, 코호몰로지 이론에서 승법 구조의 정교화를 부호화한다. $∞{\$ 링의 $A_{\infty }$ 정류형 $E_{\infty }$ 은 E $\$ {\ $displaystyle$ E_{\ $infit }-$ 링이라고 $E_{\infty }$ 한다.원래 기하학적 위상과 번들 이론의 문제들에 의해 동기부여가 되었지만, 오늘날에는 안정된 호모토피 이론에 가장 많이 사용된다.

배경

고도로 구조화된 링 스펙트럼은 승법적 코호몰로지 이론(예를 들어 위상학적 모듈형식의 구성에서 활용되는 점)보다 형식적 특성이 더 우수하며, Morava K-이론과 같은 고전적 객체의 새로운 구성도 가능하게 했다.그들의 공식적 특성 외에도, $E_{\infty }$ $E_{\infty }$ ${\$ 구조체들은 $E_{\infty }$ 일반적인 코호몰로지에서의 잘 알려진 Steenrod 수술과 유사하게, 기초적인 코호몰로지 이론에서 연산을 허용하기 때문에 계산에서도 중요하다.모든 코호몰로지 이론이 그러한 연산을 허용하는 것은 아니므로, 모든 승법 $E_{\infty }$ 가 E $E_{\infty }$ ${\$ 구조로 $E_{\infty }$ 정제되는 것은 아니며, 이것이 가능한 경우에도 그것을 증명하는 것은 만만치 않은 과제일 수 있다.

고도로 구조화된 링 스펙트럼의 대략적인 개념은 다음과 같다.만약 동족학 이론의 곱셈(단수적 동족학에서의 곱셈, 컵 제품 유도)이 호모토피까지만 연관성(그리고 동시발생성)을 충족한다면, 이것은 많은 구성(예: 범주 이론의 의미에서의 한계와 콜리밋)에게 너무 느슨하다.반면에, 순진한 방법으로 엄격한 연상성(또는 공통성)을 요구하는 것은 원하는 많은 예에 비해 너무 제한적이다.기본적인 생각은 이 관계들이 단지 호모토피만을 고수할 필요가 있다는 것이지만, 이 호모토피들은 호모토피 관계를 다시 이행해야 하며, 호모토피들은 다시 어떤 추가적인 호모토피 조건들을 이행해야 한다.고전적 접근방식은 피연산자를 통해 이 구조를 구성하는 반면, 최근 제이콥 루리의 접근방식은 $\$ {\ $displaystyle \infit }$ -category에서 $\infty$ $\infty$ {\ $displaystyle \infit }$ -operadies를 $\infty$ 사용하여 다룬다.오늘날 가장 널리 사용되는 접근법은 모델 카테고리의 언어를 사용한다.^{[citation needed]}

이러한 모든 접근방식은 스펙트럼의 기본 범주를 신중하게 구축하는 것에 달려 있다.

정의에 대한 접근 방식

피연산자

피연산자의 이론은 루프스페이스의 연구에 의해 동기부여된다.루프 공간 ΩX에는 곱셈이 있다.

\displaystyle \Oomega X\times \Oomega X\to \Oomega X}

루프 구성으로여기서 두 루프는 2배수로 속도를 높이고 첫 번째 루프는 [0,1/2]와 두 번째 루프는 [1/2,1]의 간격을 취한다.이 제품은 메스가 맞지 않아 연관성이 없지만 호모토피까지 연관성이 있고 호모토피도 상위 호모토피까지 일관성이 있다.이 상황은 ΩX가 작은 간격 연산자에 대한 대수라고 말해 정밀하게 만들 수 있다. $A_{\infty }$ 은 A $∞{\$ -operad의 $A_{\infty }$ 예로서, 연상 연산자와 동등한 호모토피이지만 호모토피(간결하게: 연관 연산자의 모든 공피원 교체)만을 견딜 수 있는 적절한 "자유도"가 있는 위상학적 공간의 연산자다. $A_{\infty }$ A $∞{\$ 링 $A_{\infty }$ 스펙트럼은 적절한 스펙트럼 범주와 적절한 호환성 $A_{\infty }$ 의 A $∞{\$ 에 대한 대수로서 $A_{\infty }$ 상상할 수 있다(1977년 5월 참조).

$∞{\$ 링 $E_{\infty }$ 스펙트럼의 정의는 기본적으로 동일한 접근법이 적용되며, 여기서 $A_{\infty }$ $A_{\infty }$ ${\$ -operad를 $A_{\infty }$ $E_{\infty }$ { ${\$ } -operad $E_{\infty }$ , 즉 유사 "자유도 조건"의 수축 가능한 위상위상 공간의 운영자로 대체한다.그러한 작업자의 예는 루프 공간의 연구에 의해 다시 동기 부여될 수 있다.이중 루프 공간 $\Omega ^{2}X$ $\Omega ^{2}X$ $\Omega ^{2}X$ $\Oomega ^{2}X$ 의 제품은 이미 호모토피까지 호환되지만 $\Omega ^{2}X$ 이 호모토피는 더 높은 조건을 충족하지 않는다.더 높은 호모토피에 대한 완전한 일관성을 얻으려면 공간이 모든 n에 대해 n-폴드 루프스페이스(과 동일)라고 가정해야 한다.이는 무한 차원 공간에 있는 무한 차원 큐브의 $\infty$ $\inflt$ -큐브 $\infty$ 피연산자로 이어지며, $E_{\infty }$ 는 E $E_{\infty }$ {\ $displaystyle$ E_ ${\nft}}$ -operad의 예다 $E_{\infty }$ .

위의 접근법은 J. Peter May에 의해 개척되었다.그는 엘멘도르프, 크리즈, 맨델과 함께 90년대에 S-modules라고 불리는 스펙트럼에 대한 그의 오래된 정의의 변형을 개발했다. (엘멘도르프 외, 2007 참조)S-모듈은 모델 구조를 가지고 있으며, 호모토피 카테고리는 안정적인 호모토피 카테고리다.S-modules에서 $A_{\infty }$ $A_{\infty }$ ${\$ }}-operad에 $A_{\infty }$ 대한 모듈의 범주 및 모노이드의 범주는 Quillen 등가물이며, $E_{\infty }$ 로 E $\$ {\ $displaystyle$ E_ ${\inflt$ }-operad에 $E_{\infty }$ 대한 모듈의 범주 및 유사하다.따라서 $A_{\infty }$ mod{\ $displaystyle A_{\infit }}$ 링 $A_{\infty }$ 스펙트럼과 $E_{\infty }$ $E_{\infty }$ ${\$ 링 $E_{\infty }$ 스펙트럼을 S-modules 범주에서 (commutative) S-algebras로 정의할 수 있는가?복잡한 공작원보다 알헤브라스보다 모노이드들을 다루기가 더 쉬우므로, 이 새로운 접근법은 많은 목적을 위해 더 편리하다.그러나 S-modules 범주의 실제 구성은 기술적으로 상당히 복잡하다는 점에 유의해야 한다.

다이어그램 스펙트럼

고도로 구조화된 링 스펙트럼을 적절한 스펙트럼 범주의 모노이드로 보는 목표에 대한 또 다른 접근방식은 다이어그램 스펙트럼 범주다.아마도 이것들 중 가장 유명한 것은 제프 스미스가 개척한 대칭 스펙트럼의 범주일 것이다.그 기본적인 생각은 다음과 같다.

In the most naive sense, a spectrum is a sequence of (pointed) spaces $(X_{0},X_{1},\dots )$ together with maps $\Sigma X_{i}\to X_{i+1}$ , where ΣX denotes the suspension.또 다른 관점은 다음과 같다: 스매시 제품이 주는 단일 구조와 함께 공간의 배열 범주를 고려한다.그런 다음 구체 시퀀스 $(S^{0},S^{1},\dots )$ 0 , $(S^{0},S^{1},\dots )$ 1 $(S^{0},S^{1},\dots )$ , $(S^{0},S^{1},\dots )$ … ) ${\displaystyle(S^{0},S^{1},\dots$ )는 모노이드 구조를 가지며 $(S^{0},S^{1},\dots )$ 스펙트럼은 이 모노이드 위에 있는 모듈일 뿐이다.만약 이 모노이드가 역류적이라면, 그것 위에 있는 모듈 범주의 단일 구조물이 발생할 것이다(대수학에서처럼, 역류 링 위의 모듈들은 텐서 제품을 가지고 있다).그러나 구순의 모노이드 구조는 좌표의 순서가 다르기 때문에 상쇄되지 않는다.

The idea is now that one can build the coordinate changes into the definition of a sequence: a symmetric sequence is a sequence of spaces $(X_{0},X_{1},\dots )$ together with an action of the n-th symmetric group on $X_{n}$ . If one equips this with a suitable monoidal pro덕트, 구면 순서가 역행 단면체라는 걸 알아냈어Now symmetric spectra are modules over the sphere sequence, i.e. a sequence of spaces $(X_{0},X_{1},\dots )$ together with an action of the n-th symmetric group on $X_{n}$ and maps $\Sigma X_{i}\to X_{i+1}$ satisfying suitable 불안 조건대칭 스펙트럼의 범주는 $\wedge$ $\wedge$ 로 표시된 단조형 제품을 가지고 있다 $\wedge$ 고도로 구조화된(전조형) 링 스펙트럼은 현재 대칭 스펙트럼에서 (전조형) 단조형으로 정의된다.이것은 지도를 주는 것으로 요약된다.

X_{n}\웨지 X_{m}\to X_{n+m}}

적절한 평등성, 통일성 및 연관성(및 공통성) 조건을 만족한다(Schede 2007 참조).

대칭 스펙트럼에는 안정적인 호모토피 범주를 갖는 여러 모델 구조가 있다.또한 $A_{\infty }$ 서도 A $∞{\$ operad에 $A_{\infty }$ 대한 모듈의 범주 및 모노이드의 범주는 Quillen 등가물이며, $E_{\infty }$ 로 $E_{\infty }$ E $\$ {\ $displaystyle$ E_{\ $inft}}-$ operad에 $E_{\infty }$ 대한 모듈의 범주 및 서로 다른 모노이드 범주인 것이 사실이다.

대칭 스펙트럼의 변형은 직교 스펙트럼이며, 직교 스펙트럼은 직교 그룹에 의해 대칭 그룹을 대체한다(Mandell et al., 2001 참조).이들은 순진하게 정의된 호모토피 그룹이 대칭 스펙트럼의 경우가 아닌 안정적 호모토피 범주에 속하는 그룹과 일치한다는 장점을 가지고 있다(즉, 구 스펙트럼은 현재 동일선상에 있다).반면에 대칭 스펙트럼은 단순한 집합에 대해서도 정의할 수 있다는 장점이 있다.대칭 스펙트럼과 직교 스펙트럼은 합리적인 대칭 단일 스펙트럼 범주를 구성하는 가장 간단한 방법이다.

무한 범주

무한 범주는 형태론의 구성이 독특하게 정의되지 않고 계약 가능한 선택까지만 정의되는 고전적인 범주의 변형이다.일반적으로 다이어그램이 무한 범주로 엄격히 통근된다고 하는 것은 말이 되지 않고, 단지 일관성 있는 호모토피까지 통근한다고만 한다.스펙트럼의 무한 범주를 정의할 수 있다(루리에가 한 것과 같다).또한 (규격) 모노이드의 무한궤도를 정의한 다음, $∞{\$ 링 $A_{\infty }$ 스펙트럼을 스펙트럼에서 모노이드로, $E_{\infty }$ $E_{\infty }$ ${\$ }}}링 $E_\infty$ 스펙트럼을 스펙트럼에서 정류 모노이드로 정의할 수 있다.이것은 루리의 책 "Higher Algebra"에서 밝혀졌다.

비교

S-모듈, 대칭 및 직교 스펙트럼, 그리고 그 범주의 (확정) 모노이드들은 여러 수학자(슈웨데 포함)의 연구로 인해 퀼렌 동등성을 통한 비교를 인정한다.그럼에도 불구하고 S-module의 모델 범주와 대칭 스펙트럼의 모델 범주는 상당히 다른 행동을 보인다. S-module에서는 모든 물체가 섬유상(대칭 스펙트럼에서는 해당되지 않음)인 반면 대칭 스펙트럼에서는 구체 스펙트럼이 동섬유상(S-module에서는 해당되지 않음)이다.Lewis의 정리로는 원하는 특성을 모두 가진 하나의 스펙트럼 범주를 구성할 수 없다.대칭 스펙트럼의 보다 고전적인 모델 카테고리 접근방식과 스펙트럼에 대한 무한 범주 접근방식의 비교는 루리의 상위 대수 4.4.4.9에서 확인할 수 있다.

예

대칭/직교 스펙트럼에는 $∞{\$ 링 $E_{\infty }$ 스펙트럼의 구체적인 예를 적는 것이 가장 쉽다.가장 근본적인 예는 (수평형) 곱셈 맵 S $S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}$ $S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}$ $S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}$ $S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}$ → $S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}$ n $S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}$ + $S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}$ ${\$ 을(를) 가진 구체 스펙트럼이다 $S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}$ 또한 에일렌버그-맥레인 스펙트럼(일반 코호몰리를 나타냄)과 특정 톰 스펙트럼(보르디즘 이론을 나타냄)에 대한 곱셈 맵을 적는 것도 어렵지 않다.위상학(실제 또는 복합) K 이론도 예시지만 얻기 어렵다: 대칭 스펙트럼에서는 K 이론의 C*-알지브라 해석을 사용하고, 연산자 접근법에서는 승법 무한 루프 공간 이론을 사용한다.

$∞{\$ 복수적 코호몰로지 이론의 보다 $E_{\infty }$ 최근의 접근방식은 괴르스–이다.홉킨스 방해 이론.Lubin–에서 $E_{\infty }$ $E_{\infty }$ ${\$ 링 $E_{\infty }$ 구조물을 찾는 데 성공했다.테이트 스펙트럼 및 타원 스펙트럼.비슷한 (그러나 더 오래된) 방법에 의해, Morava K-이론 및 다른 변종 브라운-피터슨 코호몰로지 $A_{\infty }$ A $\{\$ A_ ${\nft}}-$ 링 $A_{\infty }$ 구조를 가지고 있음을 보여줄 수 있었다(예: 참조).베이커와 장네렛, 2002).Basterra와 Mandell은 Brown-Peterson 코호몰로지에도 $E_{4}$ $E_{4}$ ${\$ $}-$ 링 $E_{4}$ 구조가 존재한다는 것을 보여주었는데, $E_{4}$ 서 $E_{4}$ 4 $E_{4}$ {\ $displaystyle E_{4$ }}-구조는 $E_{4}$ 무한 차원 공간의 무한 차원 큐브 오퍼레이드를 4차원 공간에 4차원 큐브로 대체함으로써 정의된다. $∞{\$ 링 $E_{\infty }$ 스펙트럼.반면 타일러 로슨은 브라운-피터슨 코호몰로지에는 $∞{\$ 구조가 $E_{\infty }$ 없다는 것을 보여주었다.

시공

고도로 구조화된 링 스펙트럼은 많은 구성을 허용한다.

그들은 모델 범주를 형성하고, 따라서 (동복피) 한계와 콜리미트가 존재한다.
고도로 구조화된 링 스펙트럼 위의 모듈들은 안정적인 모델 범주를 형성한다.특히 이들의 호모토피 범주는 삼각형이다.링 스펙트럼에 $E_{2}$ $E_{2}$ ${\$ }} - 구조가 $E_{2}$ 있는 경우 모듈의 범주는 단일 스매시 제품을, $E_{4}$ $E_{4}$ ${\$ 이상이면 대칭 단면 스매시(스매시) 제품을 가진다 $E_{4}$
그룹 링 스펙트럼을 형성할 수 있다.
고도로 구조화된 링 스펙트럼의 대수학 K 이론, 위상학 Hochschild homology 등을 정의할 수 있다.
단위의 공간을 정의할 수 있는데, 이는 묶음의 방향성에 대한 일부 질문에 매우 중요하다.

참고 항목.

참조

E-링_∞ 스펙트럼에 대한 참조

Elmendorf, A.D.; Kriz, I.; Mandell, M.A.; May, J.P. (2007). Rings, modules, and algebras in stable homotopy theory. AMS. ISBN 978-0-8218-4303-1.
May, J. Peter (1977). $E_{\infty }$ -ring spaces and $E_{\infty }$ -ring spectra. Springer.
May, J. Peter (2009). "What precisely are $E_{\infty }$ ring spaces and $E_{\infty }$ ring spectra?". Geometry & Topology Monographs. 16: 215–282. arXiv:0903.2813. doi:10.2140/gtm.2009.16.215.

E-링_∞ 스펙트럼 구조에 대한 참조

M. Basterra, M.A. Mandell(2005)"E-인피니트 링 스펙트럼의 호몰로지 및 코호몰로지"(PDF)
Lawson, T. (2017). "Calculating obstruction groups for $E_{\infty }$ -ring spectra". arXiv:1709.09629 [math.AT].

특정 예제에 대한 참조

Baker, A.; Jeanneret, A. (2002). "Brave new Hopf algebroids and extensions of MU-algebras". Homology, Homotopy and Applications. 4 (1): 163–173. doi:10.4310/HHA.2002.v4.n1.a9.
Basterra, M.; Mandell, M.A. (June 2013). "The multiplication on BP" (PDF). Journal of Topology. 6 (2): 285–310. arXiv:1101.0023. doi:10.1112/jtopol/jts032. S2CID 119652118. Archived from the original (PDF) on 2015-02-06.

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