루프 스페이스페이스

수학의 한 분야인 위상에서, 뾰족한 위상학적 공간 X의 루프 공간 ΩX는 X의 (기반) 루프 공간, 즉, 콤팩트-오픈 위상이 장착된, 뾰족한 원 S에서¹ X까지의 연속적인 뾰족한 지도 공간이다.두 개의 루프는 결합으로 곱할 수 있다.이 작업으로 루프 공간은 A-공간이_∞ 된다.즉, 곱셈은 호모토피와 논리적으로 연관성이 있다.

ΩX의 경로 성분 집합, 즉 X의 기반 루프에 대한 기반 호모토피 동등성 등급 집합은 그룹인 기본₁ 그룹 ((X)이다.

X의 반복 루프 공간은 Ω을 여러 번 적용하여 형성된다.

기준점이 없는 위상학적 공간에도 유사한 구조가 있다.위상학적 공간 X의 자유 루프 공간은 콤팩트하게 열린 위상과 함께 원 S에서¹ X까지 지도의 공간이다.X의 자유 루프 공간은 $종종{\displaystyle \mathcal{}}$ L ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle${\$mathcal{L}X}$로 표시된다$.$

functor로서 자유 루프 공간구조는 원과 함께 데카르트 제품에 바로 인접하고, 루프 공간구조는 감소된 서스펜션에 바로 인접한다.이 부속물은 안정적인 호모토피 이론에서 루프 공간의 중요성의 많은 부분을 차지한다. (컴퓨터 과학에서 관련 현상이 커리어를 만들고 있는데, 여기서 데카르트 제품이 호모 펑터(hom functor)와 일치한다.)비공식적으로 이것을 Eckmann-Hilton 이중성이라고 부른다.

에크만-힐튼 이중성

루프 공간은 동일한 공간의 정지에 이중적이다. 이 이중성을 Eckmann-Hilton 이중성이라고 부르기도 한다.라고 하는 것이 기본적인 관찰이다.

$[\displaystyle [\Sigma Z,X]\ closedeq [Z,\Oomega X]}$

여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle A}$, B ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [A,B]}$은 $지도{\displaystyle }$ A → B$displaystyle$ A$\rightarrow B}$의 호모토피 클래스 집합이며$,$ ${\displaystyle \sigma }$ A ${\displaystyle \Sigma A}$은 A의 중단이며$$, $\approxeq {\displaystyle }$ ${\display \temorprowarq }$은 자연 동형태를 나타낸다.이 동형성은 본질적으로 제품을 감소된 제품으로 전환하는 데 필요한 인수를 조절하는 것이다.

In general, ${\displaystyle [A,B]}$ does not have a group structure for arbitrary spaces ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$. However, it can be shown that ${\displaystyle [\Sigma Z,X]}$ and ${\displaystyle [Z,\Omega X]}$ do have natural group structures when ${\disp$$레이스타일 Z}$과 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 뾰족하며, 앞서 언급한 이형성은 그러한 집단의 것이다.^[1]따라서 $Z{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$$k{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k-1}$ 구체$$)를 설정하면 관계가 설정된다.

${\displaystyle {\pi k}_{}}$(${\displaystyle X}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \approxeq }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle \Omega }$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi _{k}(X)\chaneseq \pi _{k-1}(\Oomega$ X$)}$.

This follows since the homotopy group is defined as ${\displaystyle \pi _{k}(X)=[S^{k},X]}$ and the spheres can be obtained via suspensions of each-other, i.e. ${\displaystyle S^{k}=\Sigma S^{k-1}}$.^[2]

참고 항목

• 에일렌베르크-매클레인 공간
• 자유 루프
• 기본군
• 위상 목록
• 루프 그룹
• 경로(토폴로지)
• 퀘이시그룹
• 스펙트럼(토폴로지)

참조

• Adams, John Frank (1978), Infinite loop spaces, Annals of Mathematics Studies, vol. 90, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08207-3, MR 0505692
• May, J. Peter (1972), The Geometry of Iterated Loop Spaces, Lecture Notes in Mathematics, vol. 271, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0067491, ISBN 978-3-540-05904-2, MR 0420610