이상 다면체

3차원 쌍곡선 기하학에서 이상적인 다면체는 3차원 쌍곡선 공간에 대한 내부보다는 "무한" 지점인 정점이 이상적인 점인 볼록 다면체다.유한한 이상점 세트의 볼록한 선체로 정의할 수 있다.이상적인 다면체는 쌍곡선 공간의 선을 따라 만나는 이상적인 다각형을 얼굴로서 가지고 있다.

플라토닉 고형물과 아르키메데스 고형물은 보다 친숙한 유클리드 버전과 동일한 조합 구조를 가진 이상적인 버전을 가지고 있다.몇몇 균일한 쌍곡선 벌집들은 쌍곡선 공간을 이런 모양의 세포로 나누는데, 마치 유클리드 공간을 정육면체로 친숙하게 나누는 것과 같다.그러나, 모든 다면체가 이상적인 다면체로 표현될 수 있는 것은 아니다 – 다면체는 그것이 모든 정점을 구획에 두고 유클리드 기하학으로 표현될 수 있을 때만 이상적일 수 있다.선형 프로그래밍을 사용하여 주어진 다면체의 이상적인 버전이 다면체 시간에 있는지 테스트할 수 있다.

정점 수가 같은 이상적인 폴리헤드라는 두 개마다 표면적이 같으며, 로바체프스키 함수를 이용하여 이상적인 폴리헤드론의 부피를 계산할 수 있다.이상적인 다면체의 표면은 쌍곡 다면체를 형성하며, 위상학적으로 구멍이 난 구와 동등하며, 그러한 모든 다면체는 독특한 이상 다면체의 표면을 형성한다.

예제 및 counterexample

이상적인 다면체는 점들이 모두 단일 평면에 놓여 있지 않을 때마다 쌍곡선 공간의 유한한 이상점 집합의 볼록한 선체로 구성될 수 있다.결과 형상은 주어진 이상적인 점을 한계점으로 갖는 모든 닫힌 반공간의 교차점이다.또는 구형이 원형으로 되어 있는 유클리드 볼록 다면체는 구의 내부를 쌍곡선 공간의 클라인 모델로 해석하여 이상적인 다면체로 재해석할 수 있다.^[1]클라인 모델에서 구에 둘러싸인 모든 유클리드 다면체는 쌍곡 다면체를 나타내고, 구에 정점이 있는 모든 유클리드 다면체는 이상적인 쌍곡 다면체를 나타낸다.^[2]

모든 이등대류 다면체(대칭이 모든 정점을 다른 모든 정점으로 가져가는 것)는 다면체의 대칭 중심 중앙에 원형으로 되어 있기 때문에 대칭을 존중하는 방식으로 이상적인 다면체로 나타낼 수 있다.^[3]특히 이는 플라토닉 고형분과 아르키메데스 고형분 모두가 이상적인 형태를 가지고 있음을 암시한다.그러나 또 다른 대칭적인 다면체류인 카탈루냐 고체는 모두 이상적인 형태를 가지고 있지는 않다.카탈루냐 고체는 아르키메데스 고체에 대한 이중 다면체이며, 대칭이 다른 어떤 얼굴에도 나타나 있다.이상적일 수 없는 카탈로니아 고형분에는 롬브 도데카헤드론과 삼위일체가 포함된다.^[4]

삼면체 사면체에서 정점의 특정 세 쌍을 제거하면 나머지 정점이 여러 개의 연결된 구성 요소로 분리된다.이러한 삼베르크스 분리가 존재하지 않을 때는 다면체(多面體)는 것이다.모든 4개의 연결된 다면체는 이상적인 다면체로 표현된다. 예를 들어 이것은 또 다른 카탈로니아 고체인 테트라키스 육면체에도 해당된다.^[5]

정육면체에서 하나의 정점을 잘라내면 이상적인 다면체(정점당 세 개의 가장자리가 있는 것)로 실현될 수 없는 단순한 다면체(정점당 세 개의 가장자리가 있는 것)가 생성된다:미켈의 6개 원 정리로는 정육면체 8개 정점 중 7개가 이상이면 정점도 이상적이므로, 정점을 잘라내어 만든 정점은 이상적일 수 없다.또한 이상적인 다면체로 실현될 수 없는 정점당 네 개의 가장자리를 가진 다면체도 존재한다.^[6]단순 다면체(모든 면 삼각형이 있는 1개)가 4~6개 사이의 모든 정점도를 갖는 경우 이상적 표현을 갖지만, 삼면체 사면체는 단순하고 비이상적이며, 위의 4정칙 비이상적 예는 이 범위에 모든 학위를 갖는 것이 사상을 보장하지 않는다는 것을 보여준다.깨달음^[7]

특성.

측정

정점이$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$개인 모든 이상적인 다면체는 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2n-4}$개의 이상적인 삼각형으로 세분될 수 있는 표면을 가지며$,$^[8][9] 각각 면적이 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$pi }$이므로 표면적은 정확히${\displaystyle }$($2n$- 4${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyledaystyle}$이다$.$

이상적인 다면체에서는 모든 얼굴 각도와 정점의 모든 고체 각도가 0이다.그러나 이상적인 다면체의 가장자리에 있는 이면각은 0이 아니다.각 꼭지점에서 정확히 2π{2\pi\displaystyle}에 2면 각의 각도 사건의 그 꼭지점에 보각 합 .[2]이 사실, 얼마나 많은 가장자리 각 코너의 각끝에는:아이디어를 만나면 계산에 의해 또는edge-symmetric 정기적으로 이상적인 다면체( 있는 모든 이러한 각도 평등하다)의 2면 각의 각도 자체 계산에 이용할 수 있다.lregular tetrahedron, cube or dodecahedron, with three edges per vertex, has dihedral angles ${\displaystyle 60^{\circ }=\pi /3=\pi (1-{\tfrac {2}{3}})}$, an ideal regular octahedron or cuboctahedron, with four edges per vertex, has dihedral angles ${\displa$$ystyle 90^{\circ }=\pi /2=\pi (1-{\tfrac {2}{4}})}$, and an ideal regular icosahedron, with five edges per vertex, has dihedral angles ${\displaystyle 108^{\circ }=3\pi /5=\pi (1-{\tfrac {2}{5}})}$.^[10]

이상적인 사면체의 부피는 그 이면각의 클로스 기능이나 로바체프스키 기능 측면에서 표현할 수 있으며, 이때 그것을 사면각으로 분할하고 사면체의 부피를 합산하여 임의의 이상 다면체의 부피를 찾을 수 있다.^[11]

다면체의 딘 불변성은 일반적으로 다면체의 가장자리 길이와 이면 각도를 결합하여 발견되지만 이상적인 다면체의 경우 가장자리 길이는 무한하다.이 난이도는 호스피어를 사용하여 각 정점을 자르고 각 가장자리를 따라 유한한 길이를 남김으로써 피할 수 있다.잘린 면이 평탄하지 않기 때문에 그 결과 형태 자체가 다면체는 아니지만 가장자리 길이가 유한하며, 잘린 면이 다면체의 원래 면과 만나는 새로운 가장자리를 무시한 채 정상적인 방법으로 그 Dehn 불변성을 계산할 수 있다.Dehn 불변제가 정의되는 방식과 이상적인 다면체의 단일 꼭지점에서 만나는 이면각의 제약조건 때문에, 이 계산의 결과는 정점을 자르는 데 사용되는 호로시어의 선택에 따라 달라지지 않는다.^[12]

결합구조

에른스트 슈타이니츠(1928년)가 증명했듯이, 이상적인 다면체(비인접 정점의 가능한 가장 큰 부분 집합)의 최대 독립 집합은 다면체의 정점의 절반 이상을 가져야 한다.정점을 두 개의 동일한 크기의 독립 집합으로 분할할 수 있을 때만 정확히 반을 가질 수 있으므로, 다면체의 그래프는 이상적인 입방체를 위한 그래프인 것처럼 균형 잡힌 양분형 그래프가 된다.^[13]보다 강하게 말하면, 이상적인 다면체의 그래프는 1-tough이므로, $모든{\displaystyle }$ k ${\displaystyle$ k}에$$대해 $그래프$에서 k ${\displaystyle$ k}$$정점을$$ 제거하면$$최대 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$개의$$ 연결된 구성요소가 남는다.^[14]예를 들어, 롬브 도데헤드론은 초당적이지만 정점의 절반 이상을 가진 독립된 세트를 가지고 있고, 삼원 사면체는 정점의 정확히 절반의 독립된 세트를 가지고 있지만 양립하지 않기 때문에 둘 다 이상적인 다면체로 실현될 수 없다.^[13]

특성화 및 인식

모든 볼록한 다면체가 이상적인 다면체와 결합적으로 동등하지는 않다.새겨진 다면체의 기하학적 특성은 레네 데카르트가 c.1630 필사본 De solidorum leasis에서 시도했으나 성공하지 못했다.^[15]유클리드 볼록 폴리에드라를 특징짓는 슈타이니츠의 정리와 유사한 이상적인 폴리헤드라의 결합적 특성화를 찾는 문제는 야콥 스타이너(1832)에 의해 제기되었고, 조합적 특성보다는 수치적 (합성적) 특성화는 호지슨, 리빈 & 스미스(1992)에 의해 제공되었다.그들의 특성화는 이상적인 다면체의 ${\displaystyle \mathrm{2면}}$ 각도가 정확히 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ verte$[\displaystyle 2\pi }$에 해당하는 보조 각도를 가지고 있어야 하는 반면$,$ 두 가지 모두에 둘 이상의 정점이 있는 다면체의 표면에서 요르단 곡선이 가로지르는 보조 각도를 가져야 한다는 사실에 기초한다.s 측면은 더 커야 한다.예를 들어 이상적인 입방체의 경우, 2면각은 $\pi {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi /3}$이고 보충각은 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle 2\pi /3}$이다$.$ 단 하나의 꼭지점 합에 있는 3개의 $보조각$은 2 ${\displaystyle \pi }${\$displaystystyle 2\pi }$이지만, 반대 면 사이의 곡선에 의해 교차된 네 각도는 /> ${\displaystyle 8\pi /3>2\pi$ 그리고 다른 곡선은 훨씬 더 큰 합으로 이러한 각도를 교차한다.호지슨, Rivin &, 스미스(1992년)만일 그것의 가장자리에 동일한 속성:모든 0{0\displaystyle}과π{\displaystyle \pi}사이에 위치하 이 숫자들이 번호를 부여하는 것이 가능하다는 볼록 다면체 이상적인 다면체에 해당합니다를 보인다면, 각 코너의 각끝에는 2π{2\pi\displaystyle} 되면 됩니다.월ey는 이중 그래프의 각 비주기마다 최대$$ $㎛$ {\$displaystyle 2\pi }$을(를) 더한다.그러한 임무가 존재할 때, 이음각은 이 숫자에 보충되는 독특한 이상적인 다면체가 있다.이러한 특성화의 결과로 이상적인 다면체로서의 실현가능성은 기하급수적으로 많은 제약조건(각 비면체 사이클당 하나씩)을 가진 선형 프로그램으로 표현될 수 있으며 타원체 알고리즘을 사용하여 다항 시간에서 시험할 수 있다.^[16]

Dillencourt & Smith(1995)는 각 (이상) 꼭지점에서 만나는 세 개의 면과 세 개의 가장자리만을 가진 단순한 다면체의 특별한 경우를 위해 보다 조합적인 특성을 제공했다.이들의 특성화에 따르면, 다면체의 그래프는 초당적 그래프와 그 이중 그래프가 4개 연결되거나 1-초단적 그래프 중 하나의 조건을 만족하는 경우에만 단순한 다면체가 이상적이거나 내접할 수 있다.이 조건에서 1초강도는 그래프 강도의 변화로, 이는 그래프의 둘 이상의 꼭지점이 있는$$ $모든{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle S}$에 대해 그래프에서$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$을(를) 제거하면 ${\displaystyle S}$ $displaystyle$ S$}$보다 완전히 작은 다수의 연결된 구성 요소가 남음을 의미한다$.$특성화 그들은 이상적인 다면체로서 단순 다면체의 실현 가능성을 시험하기 위한 선형 시간 결합 알고리즘을 발견했다.^[17]

허니컴스

이상적인 일반 사면체, 입방체, $팔면체, 도면체$ 모두 2$π$의 정수 분율인 이면각을 가지고 있기 때문에$,$ 그들은 모두 쌍곡선 공간을 타일로 만들어 일반 벌집을 형성할 수 있다.^[18]이 점에서 그들은 유클리드족의 일반 고형물과는 다르며, 그 중 입방체만이 공간을 타일로 만들 수 있다.^[18]이상적인 사면체, 입방체, 팔면체, 도면체 형태는 각각 순서 6 사면체 벌집, 순서 6 입방체 벌집, 순서 4 8면체 벌집, 순서 6 도면체 벌집이다. 여기서 순서는 각 가장자리에서 만나는 세포의 수를 가리킨다.그러나 이상적인 이코사슬론은 같은 방식으로 공간을 타일로 장식하지 않는다.^[18]

D. B. A. Epstein과 R. C. Penner(1988)의 구성인 Epstein-Penner 분해는 어떤 구스프된 쌍곡선 3-manifold를 이상적인 다면체로 분해하고 이러한 이상적인 다면체를 접착한 결과로서 다면체를 나타내기 위해 사용될 수 있다.^[19]이런 식으로 표현할 수 있는 각 다지관은 한정된 수의 표현을 가지고 있다.^[20]다지관의 범용 표지는 같은 분해물을 계승하여 이상적인 다면체의 벌집을 형성한다.이러한 방식으로 꿀콤을 유도하는 쿠스프 다지관의 예는 링크의 각 구성요소에 대한 중단이 있는 쌍곡선 링크의 매듭 보완에 따라 자연스럽게 발생한다.예를 들어 그림 8 매듭의 보완은 순서 6 사면 벌집과 이와 같은 방식으로 연관되며,^[21] 보로미아 링의 보완은 순서 4 팔면 벌집과 같은 방식으로 연관된다.^[22]이 두 벌집과 이상적인 큐보타헤드론, 삼각 프리즘, 잘린 사면체를 사용하는 다른 세 개는 비앙치 집단의 연구에서 나타나며, 비앙치 집단의 하위집단에 의한 쌍곡 공간의 인수로 형성되는 usped 다지관에서 나온다.동일한 다지관은 링크 보완으로도 해석할 수 있다.^[23]

표면 다지관

이상적인 다면체(정점을 포함하지 않음)의 표면은 균일한 2차원 쌍곡선 기하학으로 구멍이 뚫린 구체와 동등한 다면체를 형성한다. 쌍곡선 공간에 내장되어 있는 표면의 접힘은 표면의 내적 기하학에서 접힘으로써 감지할 수 없다.이 표면은 이상적인 삼각형으로 분할될 수 있기 때문에 전체 면적은 유한하다.반대로, 그리고 알렉산드로프의 고유성 정리와 유사하게, 균일한 쌍곡 기하학적 기하학과 유한한 영역을 가진 모든 2차원 다면체는, 미세하게 조각된 구체와 같은 조합으로 이상적인 다면체의 표면으로 실현될 수 있다.(알렉산드로프의 정리처럼, 그러한 표면은 이상적인 디헤드라(diheadra)^[24]를 포함하도록 허용되어야 한다.)이러한 관점에서 이상적인 다면체 이론은 일치 지도에 대한 이산 근사치와 밀접한 관계를 가지고 있다.^[25]

이상적인 다면체의 표면은 또한 가장자리를 따라 등각계에 의해 이상적인 삼각형을 접착함으로써 형성된 위상학적 공간으로서 더욱 추상적으로 간주될 수 있다.그러한 모든 표면과 다른 것을 분리하지 않고 단지 다면체의 하나의 꼭지점만 감싸지 않는 닫힌 곡선에 대해, 주어진 곡선과 동일시되는 고유한 지오데틱이 표면 위에 있다.이 점에서 이상적인 폴리헤드라는 유클리드 다면체(및 그들의 유클리드 클라인 모델로부터)와 다르다. 예를 들어 유클리드 큐브에서, 어떤 지질학자는 비사건적 가장자리를 건너기 전에 연속적으로 두 개의 가장자리에서 하나의 꼭지점까지 교차할 수 있지만, 이상 큐브에 있는 지질학들은 이러한 방식으로 제한되지 않는다.^[26]

참고 항목

• 표준 다면체, 각 가장자리가 공통 구에 접하는 다면체

메모들

참조