초한수

수학에서, 초무한수는 모든 유한수보다 크지만 반드시 무한하다고는 할 수 없다는 의미에서 "무한수"이다.여기에는 무한 집합의 크기를 수량화하는 데 사용되는 기수인 초무한 추기경과 무한 ^[1]^[2]집합의 순서를 제공하는 데 사용되는 서수인 초무한 서수가 포함됩니다.초한이라는 용어는 1895년 ^[3]^[4]^[5]^[6]게오르크 칸토어에 의해 만들어졌는데, 그는 이 물체들과 관련하여 무한이라는 단어의 의미 중 일부를 피하고 싶었지만,^{[citation needed]} 그럼에도 불구하고 유한하지 않았다.이러한 조건을 공유하는 현대 작가들은 거의 없다; 초무한 추기경과 서수를 무한수라고 부르는 것은 현재 받아들여지고 있다.그럼에도 불구하고, "무한"이라는 용어 또한 여전히 사용되고 있다.

정의.

유한 자연수는 적어도 두 가지 방법으로 사용될 수 있다: 서수와 기수로.기수 숫자는 집합의 크기(예: 5개의 구슬 한 봉지)를 지정하고, 서수 숫자는^[7] 순서 집합 내 멤버의 순서(예: "왼쪽에서 세 번째 남자" 또는 "1월 27일")를 지정합니다.이 두 개념은 초한수로 확장되면 구별됩니다.무한히 큰 ^[2]집합의 크기를 나타내기 위해 초무한 기수가 사용되며,^[7]^{[failed verification]} 무한히 큰 집합 내의 위치를 나타내기 위해 초무한 서수가 사용됩니다.가장 주목할 만한 서수와 기수는 각각 다음과 같습니다.

$§$ ${\displaystyle$ \Omega $}$ ( $Omega$ ): $\omega$ 낮은 초한 서수.또한 일반적인 선형 순서에서 자연수의 순서 유형이기도 합니다.
$§$ $0(\displaystyle$ \ $alph _{$ 0}): $\aleph _{0}$ $\aleph _{0}$ 번째 초무한 기수.그것은 또한 자연수의 카디널리티이다.선택 공리가 유지되면 다음으로 높은 기수는 알레프-원, $\aleph _{1}.$ . $\aleph _{1}.$ (\ $displaystyle \alph _{$ 1})입니다 $\aleph _{1}.$ .그렇지 않으면 알레프-원과 비교할 수 없고 알레프-늘보다 큰 추기경이 있을 수 있습니다.어느 쪽이든, 알레프 눌과 알레프 원 사이에는 추기경이 없다.

연속체 가설은 $\aleph _{0}$ 0 $(\displaystyle \$ $aleph$ _ ${$ 0 $\aleph _{0}$ })과 연속체의 카디널리티(^[2]실수 집합의 카디널리티) 사이에 중간 기수가 존재하지 않는다는 명제이다.또는 $\aleph _{1}$ 1 $(\displaystyle$ \ $aleph _{$ 1 $\aleph _{1}$ })은 실수 집합의 카디널리티이다.체르멜로-프랭켈 집합론에서는 연속체 가설과 그 부정을 증명할 수 없다.

P를 포함한 일부 저자.Suppes와 J. Rubin은 "무한 기수"와 동등하지 않을 수 있는 컨텍스트, 즉 셀 수 있는 선택의 공리가 가정되지 않거나 유지되는 것으로 알려져 있지 않은 컨텍스트에서 데데킨드-무한 집합의 카디널리티를 지칭하기 위해 초무한 기수라는 용어를 사용합니다.이 정의를 지정하면 다음 사항이 모두 동일합니다.

$($ 은 ${\mathfrak {m}}$ 초무한 추기경입니다.즉, 데데킨드 무한 $A$ 가 존재하기 $A$ 때문에 $A$ 의 $A$ 카디널리티는 m $.\displaystyle\mathfrak{m}$ 가 됩니다. $}$
$({displaystyle {m}}+1=mathfrak {m}}).}$
${displaystyle} {0} \leq {mathfrak {m}.}$
$\aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.$ + $\aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.$ $\aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.$ . $\aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.$ { $0$ $\aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.$ } + { 0 } + { \ $mathfrak { n$ ${\mathfrak {n}}$ } = displaymathfrak { m } = mathfrak { $m$ } {\ n n ${\mathfrak {n}}$ n nn { $displaystyle ph$ 0 + $n$ = $mathfrak$ { m} there ${\mathfrak {n}}$ n n n n n n n n n n n n nfrfrfrfrfr $}$

비록 초무한 서수와 추기경은 둘 다 자연수만을 일반화하지만, 초현실수와 초현실수를 포함한 다른 수의 체계는 ^[8]실수의 일반화를 제공한다.

예

칸토르의 서수 이론에서는 모든 정수에는 반드시 ^[9]후계자가 있어야 한다.모든 정규 정수 뒤의 다음 정수, 즉 첫 번째 무한정수는 $"\displaystyle\$ $obe"$ 입니다. $\omega +1$ 경우 $\omega +1$ + $(\displaystyle\$ $obe$ + $1)$ 은 $\omega +1$ $"\$ $displaystyle\obe$ " $\omega ^{\omega }$ $"(\displaystyle$ $\$ obe $^2$ }) 및 " $displaystyle$ 보다 큽니다. $yle \o메가 ^{\o메가$ }}은 $\omega ^{\omega }$ (는) 더 큽니다. $"\display \obega"$ 를 $\omega$ 포함하는 산술식은 서수를 지정하며, 이 수까지의 모든 정수의 집합으로 간주할 수 있습니다.주어진 숫자는 일반적으로 그것을 나타내는 여러 개의 표현식을 가지지만,^[9] 그것을 나타내는 고유한 칸토어 정규형(기본적으로 유한한 자리수열)이 존재하며, 이는 $\omega$ (\ $displaystyle \omega$ 의 내림차수 계수를 제공한다.

Not all infinite integers can be represented by a Cantor normal form however, and the first one that cannot is given by the limit ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{...$ }}}}과 ε 0{\displaystyle \varepsilon_{0}}.[9]ε 0{\displaystyle \varepsilon_{0}}은 가장 작은 해결책 ε)ε{\displaystyle\omega ^{\varepsilon}=\varepsilon}ω에 다음과 같은 해결책 ε 1,이라고 일컬어진다...,ε ω.,ε ε 0...{\displaystyle \varepsilon_{1},...,\ $varepsilon _{\obega}},...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...$ }은 $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...$ $($ 는) 더 큰 서수를 나타내며, $\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}$ $ε$ 에 도달할 때까지 $\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}$ 계속됩니다 $.{\displaystyle$ \ $varepsilon _$ {\ $varepsilon$ _{\ $varepsilon$ _{\varepsilon _ { \ $varepsilon$ _ { } $。$ $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ $\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}$ = $α$ 의 $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ 번째 솔루션인 α $=$ \ displaystyle \ $varepsilon _$ { \ alpha } = \ alpha $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ 。즉, 모든 초한정수를 지정할 수 있으려면 무한의 일련의 이름을 생각해내야 합니다.왜냐하면 하나의 가장 큰 정수를 지정할 경우 항상 그 후속 정수를 언급할 수 있기 때문입니다.그러나 Cantor가 ^{[citation needed]}지적한 바와 같이 이마저도 최소 등급인 0({ $displaystyle\alph_{0$ 의 초한수에 도달할 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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^ ^a ^b ^c "Transfinite Numbers and Set Theory". www.math.utah.edu. Retrieved 2019-12-04.
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^ Georg Cantor (Nov 1895). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)". Mathematische Annalen. 46 (4): 481–512.
^ Georg Cantor (Jul 1897). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)". Mathematische Annalen. 49 (2): 207–246.
^ Georg Cantor (1915). Philip E.B. Jourdain (ed.). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers (PDF). New York: Dover Publications, Inc. 칸토르의 영어 번역(1895,1897).
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Ordinal Number". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-04.
^ Beyer, W. A.; Louck, J. D. (1997), "Transfinite function iteration and surreal numbers", Advances in Applied Mathematics, 18 (3): 333–350, doi:10.1006/aama.1996.0513, MR 1436485
^ ^a ^b ^c John Horton Conway, 숫자와 게임에 대하여(1976)학술 출판사, ISBN 0-12-186350-6(3장 참조)

참고 문헌

Levy, Azriel, 2002(1978) 기본 집합론.도버 출판물ISBN 0-486-42079-5
O'Connor, J. J. and E. F. Robertson(1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor", 맥튜터 수학사 아카이브.
루빈, 장 E., 1967년"수학자를 위한 이론 설정"샌프란시스코:홀든데이모스-켈리 집합론에 기반을 두고 있다.
루디 러커, 2005년(1982) 인피니티프린스턴 대학교언론. 주로 칸토르의 천국에 대한 철학적인 의미를 탐구하는 거죠.ISBN 978-0-691-00172-2.
Patrick Suppes, 1972(1960) "축이론"도버. ISBN 0-486-61630-4.ZFC에 접지되어 있습니다.

[1] "Definition of transfinite number Dictionary.com". www.dictionary.com. Retrieved 2019-12-04.

[:0-2] "Transfinite Numbers and Set Theory". www.math.utah.edu. Retrieved 2019-12-04.

[3] "Georg Cantor Biography, Contributions, Books, & Facts". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-12-04.

[4] Georg Cantor (Nov 1895). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)". Mathematische Annalen. 46 (4): 481–512.

[5] Georg Cantor (Jul 1897). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)". Mathematische Annalen. 49 (2): 207–246.

[6] Georg Cantor (1915). Philip E.B. Jourdain (ed.). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers (PDF). New York: Dover Publications, Inc. 칸토르의 영어 번역(1895,1897).

[:1-7] Weisstein, Eric W. "Ordinal Number". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-04.

[8] Beyer, W. A.; Louck, J. D. (1997), "Transfinite function iteration and surreal numbers", Advances in Applied Mathematics, 18 (3): 333–350, doi:10.1006/aama.1996.0513, MR 1436485

[ONG-9] John Horton Conway, 숫자와 게임에 대하여(1976)학술 출판사, ISBN 0-12-186350-6(3장 참조)

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v t 무한대( ()
역사	칸토르의 이론에 대한 논쟁
수학 분과	내부 집합론 비표준 분석 집합론 합성 미분 기하학
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