엡실론 수(수학)

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수학에서, 엡실론 숫자는 그들이 지수 지도의 고정점이라는 것을 정의하는 속성을 가진 트랜스피니트 수들의 집합이다. 결과적으로, 그것들은 선택된 지수 지도와 덧셈과 곱셈과 같은 "취약" 연산의 유한 시리즈를 통해 0에서 도달할 수 없다. 원래 엡실론 수는 게오르그 칸토어가 서수 산술의 맥락에서 도입했다. 그것들은 방정식을 만족시키는 서수 숫자 ε이다.

${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon }\,}$

여기서 Ω은 가장 작은 무한 서수형이다.

그러한 서수는 the(pronclosed₀ 엡실론 nought 또는 엡실론 0)으로, 다음과 같은 작은 한계 서수들의 순서에서 트랜스피나이트 재귀에 의해 얻은 "한계"로 볼 수 있다.

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\supp\\{\\\omega ^{\omega },\omega ^{\\omega ^{\\omega }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Larger ordinal fixed points of the exponential map are indexed by ordinal subscripts, resulting in ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\var$$epsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots }$. The ordinal ε₀ is still countable, as is any epsilon number whose index is countable (there exist uncountable ordinals, and uncountable epsilon numbers whose index is an uncountable ordinal).

엡실론수 ε은₀ 많은 유도증거에 나타나는데, 이는 여러 가지 목적을 위해 ε까지만₀ tranfinite 유도가 필요하기 때문이다(젠첸의 일관성증거와 굿스타인의 정리증거에서처럼). 겐첸이 페아노 산술의 일관성을 증명하기 위해 사용한 것은 괴델의 두 번째 불완전성 정리와 함께 페아노 산술은 이 질서의 충분한 근거성을 증명할 수 없다는 것을 보여준다(사실 이 성질을 가진 최소한의 서수이며, 이와 같이 증명-이론적 서수 분석에서는 이론의 강도에 대한 척도로 사용된다).f Peano 산술).

많은 더 큰 엡실론 수치는 베블렌 함수를 사용하여 정의할 수 있다.

보다 일반적인 엡실론 수 등급은 초현실 수 체계에서 존 호튼 콘웨이와 도널드 크누스에 의해 확인되었으며, 이는 베이스 Ω 지수 맵 x → Ω의^x 고정점인 모든 서리알로 구성된다.

Hessenberg:CITEREFHessenberg1906( 도와 주)정의된 감마 번호 숫자들이 γ&gt에(참조하십시오 추가적 분해할 수 없는 서수);0과 같이 α+γ=γ 때마다 α<, γ, 그리고 델타 번호 숫자들이 δ&gt에(증식력이 있어 분해할 수 없는 ordinals를 참조하십시오)1과 같이 αδ=δ 때마다 0<, α<, δ, 그리고 엡실론 번호 숫자들이 ε&g에harvtxt 오류:노 타깃(1906년).t;2은 그러한 αε=ε 1시마다 그의 감마 번호는 Ω^β 형식의 번호고, 델타 번호는 Ω^ωβ 형식의 번호다.

순서형 ε 숫자

염기 α를 가진 서수형 지수의 표준 정의는 다음과 같다.

• ${\displaystyle \filename ^{0}=1\...}$
• ${\displaystyle \cHB +1}=\cdot \cdot \reason \...}$
• $\alpha {\displaystyle }$ = 림 < $α$ { ${\$ \\displaystyle $\papa }=\limsup _$${\{da <\cappa }\\,\$alpha $^{\displaystystyle \cappa$$}}}.$

이 정의로부터, 어떤 고정 서수 α > 1에 대해서도, 지도 $\beta {\displaystyle }$ β${\displaystyle }$β ${\displaystyle {\beta }^{}}$\$displaystyle \beta$ \$mapsto \alpha ^{\beta }}}}$는 정상 함수이므로, 정상 기능에 대해 고정점 보조정리자에 의해 임의로 큰 고정점을 갖는 것을 따른다. $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha =\omega }$일 때$,$ 이러한 고정점은 정확히 서수 엡실론 숫자다. 이 중 가장 작은 sequence은₀ 수열의 우월성이다.

${\displaystyle 0,\omega ^{0}=1,\omega ^{1}=\omega,\omega ^{\omega }}\omega ^{\omega },\dots,\omega \uparrow \uparrow k,\ldots }$

여기서 모든 원소는 지도화 $\beta {\displaystyle }$Ω ${\displaystyle {\beta }^{}}${\$displaystyle \mapsto$\mapsto \mapsto \mapsto \$omega ^{\$$beta$$\}\}\}\}\}.$ (일반 용어는 Knuth의 위쪽 화살표 표기법을 사용하여 주어지며, $↑↑↑{\displaysty \uparrowe$\parroweparrow $}$ 연산자는$$ tetervalk)와 같다.) 자연수 k에 대해 Ω이^ω {Ω^k Ω}의 우월성으로 정의되는 것과 마찬가지로, 가장 작은 서수 엡실론 수 ε도₀ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \uparrow }$ { ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \oparrow$\uparrow \$uparrow \opaomega }$도 나타낼 수 있다$.$ 이 표기법은 ε보다₀ 훨씬 덜 흔하다.

$\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 이후의 다음 엡실론 번호는$$

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup\\\\varepsilon _{0}+1,\omega ^{0}+1},\omega ^{0}+1},\omega ^{0}+1},\omega ^{\varepsilon _{0}}},\mervarpsilon \}}},\}}}}}$

여기서 시퀀스는 반복된 base Ω 지수에 의해 다시 생성되지만 0(또는$$ 1)이 아닌 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0 + $(\displaystyle \varepsilon _{0}+1}$에서 시작한다. 공지

${\displaystyle \omega \cdot \omega ^{0}+1}=\omega ^{0}\cdot \barepsilon ^{1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega\}$

${\displaystyle \omega^{0}+1}=\barepsilon _{0}\cdot \omega )}={{0}}={\omega ^{\barepsilon _{0}}^{0}}}}}^{0}^{0}\mega }$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{1+\omega }}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot {\varepsilon _{0}}^{\omega })}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}={\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}\,.}$

0부터 시작하여 베이스 ε으로₀ 지수화하여 동일한 우월성 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\$}을$$가진 다른 시퀀스를 얻는다.

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup\{0,1,\varepsilon _{0}^{0},{0}^{\varepsilon _{0}},{0}^{0}^{0}}}{\varepsilon_{0}},\varpilon}$

The epsilon number ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha +1}}$ indexed by any successor ordinal α+1 is constructed similarly, by base ω exponentiation starting from ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }+1}$ (or by base ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}$ exponentiation starting from 0).

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}},\dots \}=\sup\{0,1,\varepsilon _{\alpha },\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }},\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }}},\dots \}}$

한계 서수 α에 의해 색인화된 엡실론 수는 다르게 구성된다. 숫자 ${\$는 엡실론 수 < {\$displaystyle \{\beta _}\beta$<\$alpha$\}}}}}}}}}의 최상이다 기지 ω 멱법 1<>뿐만 아니라 기지 γ 멱법의 모두 서수이다;γ<>ε α{1<, \gamma<>\vare\displaystyle의 첫 번호는ε ω{\displaystyle \varepsilon_{\omega}}. 있건 아니면 지수 α 제한,ε α{\displaystyle \varepsilon_{\alpha}}서수는 아니다 고정된 지점이야psilon_{)$알파$

엡실론 번호는 서수 번호의 무한 하위 등급이므로, 서수 번호 자체를 사용하여 열거한다. 어떤 순서 동안 집합{ε β,β<>α}{\displaystyle\와 같이{\varepsilon_{\beta},\beta<>아직에α{\displaystyle \alpha},ε α{\displaystyle \varepsilon_{\alpha}}은 가장 덜epsilon 수(이 기하 급수적으로 지도의 정점), \alpha\와 같이}}. 이것이 그non-constructive equival 보일 수 있습니다.멤머는 반복된 지수를 사용하는 건설적 정의의 두 정의는 제한 서수들에 의해 지수화된 단계에서 동일하게 비지연적이다. 이는 지수 시리즈의 우월성을 취하는 것보다 더 높은 순서의 트랜스피니트 재귀성을 나타낸다.

엡실론 숫자에 대한 다음과 같은 사실은 증명하기에 매우 간단하다.

• 꽤 많은 숫자지만 ${\displaystyle {\epsilon \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$은(는) 여전히 카운트할 수 있는$$ 서수의 조합으로, 실제로 $\alpha {\displaystyle }$α {\$displaystyle \$$varepsilon _{\$$alpha}}$은 카운트 가능한$$ 경우에만$$ 카운트할 수 있다.
• 엡실론 숫자의 조합(또는 우월)은 엡실론 숫자(예: 엡실론 수)이다.

${\displaystyle \varepsilon _{\omega }=\sup\\\\\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \}}}}$

엡실론수야 따라서 맵핑 $\alpha {\displaystyle }$α ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은 정상적인 함수다$$.

• 헤아릴 수 없는 추기경의 초기 서수는 엡실론 수이다.

${\displaystyle \alpha \geq 1\Rightarrow \varepsilon _{\omega_{\alpha }}\,}$

뿌리나무에 의한 ε의₀ 표현

어떤 엡실론 수 $number{\displaystyle }$ =${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\epsilon }^{}}$ ${\$이$($가) 있는데, 이는 캔터 정규 형식이 엡실론 숫자에 그다지 유용하지 않다는 것을 의미한다. 그러나 ε₀ 미만의 서수는 칸토어 정상형식으로 유용하게 기술할 수 있으며, 이는 다음과₀ 같이 finite을 모든 유한한 뿌리가 있는 나무의 순서 집합으로 표현하게 된다. 모든 서수 α<>ε 0{\displaystyle \alpha<>\varepsilon_{0}}이 칸토어 정규형 α)ω β 1+ω β 2+⋯+ω β k{\displaystyle \alpha=\omega ^{\beta_{1}}+\omega ^{\beta_{2}}+\cdots(^{\beta_{k}}}이 k은 자연 번호와 β 1,…,β k{\displaystyle \beta_{1},\ldot.s,\$beta _{k}}$ are ordinals with ${\displaystyle \alpha >\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{k}}$, uniquely determined by ${\displaystyle \alpha }$. Each of the ordinals ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$ in turn has a similar Cantor normal form. $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$를 나타내는 나무의 뿌리를 새로운 뿌리에 결합하여$$ α를 나타내는 유한한 뿌리나무를 얻는다.(이것은 숫자 $0$은 하나의 뿌리로, 숫자 1${\displaystyle }$=$$ = $1=\omega ^0}$은 하나의$$ 뿌리로 표현되는 결과를 낳는다. 뿌리와 단엽을 함유한 나무) 유한한 뿌리 나무의 집합에 대한 순서는 재귀적으로 정의된다: 우리는 먼저 뿌리에 연결된 하위 트리를 감소 순서로 배열한 다음, 이러한 하위 트리의 순서 순서에 사전 편찬 순서를 사용한다. 이렇게 해서 모든 유한한 뿌리 나무들의 집합은 ε에₀ 대한 질서 이등형인 집합이 잘 정돈되어 있다.

베블렌 계층 구조

"엡실론 매핑" $x{\displaystyle }$mapping x ${\displaystyle x_{}}$ x ${\$ x$\mapsto \varepsilon_{x}}$의 고정 지점은 정상 함수를 형성하며$$, 고정 지점은 정상 함수를 형성한다. 이를 베블렌 계층 구조(베블렌 함수 φ₀(α) = Ω^α)라고 한다. 엡실론 지도는 베블렌 위계 표기법에서 엡실론 지도는 φ이며₁, 그 고정점은 φ에₂ 의해 열거된다.

이러한 맥락에서 계속하여, 점차적으로 가장 큰 최소 고정점 ((0)을 가진, 점점 더 큰 최소 고정점 α_α+1(이 희귀한 형태의 트랜스핀 재귀, 한계 서수 포함)에 대한 지도 φ을_α 정의할 수 있다. 이 절차로 0에서 도달할 수 없는 최소 서수(α)는, 즉 α_α(α)=α가 되는 최소 서수(α) 또는 동등하게 지도 $\alpha {\displaystyle }$ α${\displaystyle {}_{}{\alpha }_{}}$ ( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha$가 페페르만-슈트 서수(Schüte)이다₀. 그러한 서수 존재하는 것으로 확인될 수 있는 집합론에서, 하나..α ↦ φα(0){\displaystyle \alpha \mapsto \varphi_{\alpha}(0)의};epsilon 수를 열거합니다 지도 φ1의 도구 등이 모두 남epsilon 숫자, 그들이 φβ의 이미지의 모든 β ≤ Γ0를 기다리는 Γ0는 정해진 포인트를 열거한 지도 Γ, Γ1, Γ2이 있다.s

초현실 ε 수

초현실적인 숫자에 대한 고전적인 박람회인 On Numbers and Games에서 존 호튼 콘웨이(John Horton Conway)는 서수에서 서수까지 자연적으로 확장된 개념의 많은 예를 제공했다. 그러한 함수 중 하나는 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$ -map$$ $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$Ω n {\$displaystyn\mapsto$\omega$^n$}이다. 이 매핑은 자연적으로 그 도메인에 있는 모든 초현실 숫자를 포함하도록 일반화하며, 이는 다시 초현실 숫자에 대한 캔터 정규화 기능을 제공한다$.$

이 확장된 지도의 어떤 고정점이라도 그것이 엄밀히 서수적인 숫자로 되든 아니든 간에 엡실론 숫자로 보는 것은 당연하다. 비순수 엡실론 숫자의 일부 예는 다음과 같다.

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\{0,1,\omega ^{\dotes \mid \varepsilon _{0}-1,\omega ^{0},\varepsilon _{0}-1},\ldots \}}}}$

, 그리고

${\displaystyle \varepsilon _{1/2}=\\\varepsilon _{0}+1,\omega ^{0}+1},\ldots \mid \varepsilon _{1}-1,\omega ^{1}-1},\varepsilon,\dots \}.}$

초현실수 n마다 ${\displaystyle {\epsilon n}_{}}$ ${\$을 정의하는 자연스러운 방법이 있으며, 지도는 주문 보존 상태를 유지하고 있다. 콘웨이는 계속해서 엡실론 숫자를 특히 흥미 있는 하위 분류로 포함하는 "불가역" 초현실적인 숫자의 더 넓은 클래스를 정의한다.

참고 항목

• 순서형 산술
• 큰 카운트 가능 서수

참조

• J.H. 콘웨이, On Numbers and Games (1976) 학술지 ISBN0-12-186350-6
• 섹션 XIV.20