역 쌍곡선 함수

수학에서 역 쌍곡함수는 쌍곡함수의 역함수다.

쌍곡선 함수의 주어진 값에 대해 해당 역 쌍곡선 함수는 해당 쌍곡선 각도를 제공한다.쌍곡선의 크기는 원형이 단위 원의 원형 부분의 2배 넓이인 것처럼 쌍곡선² x = 1의 해당 쌍곡선 부분의 면적 또는 x² - y = 1 단위의 2배 넓이와 같다.일부 저자들은 쌍곡선 각도를 실현하기 위해 역 쌍곡선 함수를 "면적 함수"라고 불렀다.^{[1][2][3][4][5][6][7][8]}

쌍곡선 함수는 쌍곡선 기하학에서 각도와 거리의 계산에서 발생한다.그것은 또한 많은 선형 미분 방정식(예: Catrene을 정의하는 방정식), 입방정식, 그리고 카르테시아 좌표에서의 라플레이스의 방정식의 해법에서도 발생한다.라플레이스의 방정식은 전자기 이론, 열 전달, 유체 역학, 특수 상대성 등 물리학의 많은 분야에서 중요하다.

표기법

ISO 80000-2 표준 약어는 ar- 다음에 해당하는 쌍곡함수의 약어(예: arsinh, arcosh)로 구성된다.역삼각 함수에 대한 명명법과 유사하게 해당 쌍곡 함수(예: arcsinh, arccosh) 뒤에 오는 접두사 호(arcsinh, arccosh)도 흔히 볼 수 있다.접두사 호는 아쿠스의 약어인 반면 접두사 ar는 면적을 의미하기 때문에 이들은 잘못 명명된 것이다. 쌍곡선 함수는 호와 직접 관련이 없다.^[9][10][11]

다른 저자들은 아그신어, 아그코시어, 아그탄어 등의 표기법을 사용하는 것을 선호하는데, 여기서 접두사 arg는 라틴어 논쟁의 약칭이다.^[12]컴퓨터 과학에서 이것은 종종 asinh로 단축된다.

역함수(예: cosh⁻¹(x) 대 cosh(x))를 나타내는 속기(예: cosh(x)⁻¹ 대 cosh(x))와 반대로 위첨자 -1의 오역을 방지하기 위해 주의를 기울여야 함에도 불구하고 표기 ^{[13][14][15][16]}sinh⁻¹(x), cosh⁻¹(x) 등이 사용된다.

로그에 대한 정의

쌍곡선 함수는 분자와 분모가 최대 두 개 정도인 e의^x 합리적인 함수이기 때문에, 이러한 함수들은 2차 공식을 사용하여^x e의 관점에서 해결될 수 있다. 그러면 자연 로그의 섭취는 역 쌍곡선 함수에 대해 다음과 같은 식을 제공한다.

복잡한 인수의 경우 역 쌍곡함수, 제곱근, 로그는 다중값함수이며, 다음 하위섹션의 동일성은 다중값 함수의 동일성으로 볼 수 있다.

모든 역 쌍곡선 함수의 경우(역 쌍곡선 코탄젠트 및 역 쌍곡선 코섹트 저장) 실제 함수의 도메인이 연결된다.

역 쌍곡선 사인

역 쌍곡선 사인(면적 쌍곡선 사인) (라틴어:영역 부비동 쌍곡선:^[13][14]

${\displaystyle \chname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}\오른쪽)}$

그 도메인은 전체 실제 선이다.

역 쌍곡 코사인

역 쌍곡선 코사인(역대 쌍곡선 코사인) (라틴어:영역 코시누스 쌍곡선:^[13][14]

${\displaystyle \chostname {xhosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}\right)$

도메인은 닫힌 간격[1, +12]이다.

역 쌍곡 탄젠트

역 쌍곡 탄젠트(지역 쌍곡 탄젠트) (라틴어:부위가 쌍곡선을 이루고 있음:^[14]

${\displaystyle \cH}x={\frac {1}{1}:{2}}\ln \len \frac {1+x}{1-x}}{1-x}\오른쪽)}$

도메인은 열린 간격(-1, 1)이다.

역 쌍곡선 코탄젠트

역 쌍곡선 코탄젠트(예: 면적 쌍곡선 코탄젠트) (라틴어:영역 코탄겐 쌍곡선:

${\displaystyle \propertname {froxot}x={\frac {1}{2}}\ln \leftn\fract\x+1}{x-1}{x-1}\오른쪽)}$

도메인은 개방 간격(-through, -1)과 (1, +throughter)의 결합이다.

역 쌍곡선 세컨트

역 쌍곡선 세컨트(예: 면적 쌍곡선 세컨트) (라틴어:부위가 쌍곡선):

${\displaystyle \chenname {arsech}x=\ln \left\frac {1}{x}+{x^{2}}-1}\sqrt{1+{1-x^{{x}}}=\ln \ln \left\frac{1+{1-x^}}}}}}}}$

도메인은 세미 오픈 간격(0, 1)이다.

역 쌍곡선 코섹트

역 쌍곡선 코섹트(예: 면적 쌍곡선 코섹트) (라틴어:영역 코섹스 쌍곡선:

${\displaystyle \csch}x=\ln \left\frac {1}{x}+{\sqrt{1}{x^{2}}+1}{x^}+:1}}\오른쪽)}}$

도메인은 0이 제거된 실제 선입니다.

덧셈공식

${\displaystyle \chname {arsinh} u\pm \pm \dm name {arsinh} v=\sinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2)}}}\pm v{\sqrt{1+u^{2}}}\오른쪽)}$

${\displaystyle \pm \pm \pm \pm \v=\pm v=\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}\right)$

${\displaystyle \pm \pm \pm \pm \pm \pm \pm v=\pm uv}{1\pm uv}\오른쪽)}$

${\displaystyle \pm \pm \pm \pm \pm \v=\frac {1\pm uv}{u\pm v}\오른쪽)}$

${\displaystyle {\justice} u+\progressname {arsinh} v&=\filename {arsinh} \left(uv+{\sqrt{(1+u^{2}-1)}(v^{2}-1)\right)\\&=\filename {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2)}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}\오른쪽)\end{aigned}}$

기타 신원

${\displaystyle{\begin{정렬}2\operatorname{arcosh}x&.=\operatorname{arcosh}(2x^{2}))&, \quad{\hbox{에}}x\geq1\\4\operatorname{arcosh}x&amp을 말한다.=\operatorname{arcosh}(8x^{4}-8x^{2}+1)&, \quad{\hbox{에}}x\geq1\\2\operatorname{arsinh}x&amp을 말한다.=\operatorname{arcosh}(2x^{2}+1)&, \quad{\hbox{에}}x\geq0\\4\operatorname{arsinh}x&amp을 말한다.=\operatorname{arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&###{\hbox{{{}x\geq 0\ended}}}}}$

${\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}$

쌍곡선 및 역 쌍곡선 함수의 구성

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad x >1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\chname {artanh}x)={\frac {1}{{1-x^{2}}\}\cH{\text{1-x^{\for}\text{1}}}\cH(\cH 이름 {arsinh}x)={\x}{1xqrt+x^{2}}}}\\&\tanh(\cHNAME { {osh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}\cH00{\text{for}}\cH00\cH00\cH00\cH00\1\ended}}}}}}}$

역 쌍곡선 및 삼각함수의 구성

${\displaystyle \frac 이름 {arsinh} \reft(왼쪽)(\tan \floss \right)=\ln \ln \frac {1+\sin \{\cos \}=\pm \pm \pmossh}{좌측\frac {1}{{1}}}}{{{{{pmosshod\frpmoescos \frcos \flosshod\frcos \flo$

${\displaystyle \ln \left(\왼쪽 \tan \tan \reight \right)=-\displayname {artanh} \reft(\cos 2\reason \right)}$^[17]

전환

${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}$

${\displaystyle \chname {artanh}x=\frac {x}{{1-x^{2}}\오른쪽)=\pm \pm \pm \pm 이름 {flocalm\frac{1}{1-x^{2}}:}\오른쪽)}$

${\displaystyle \propertname {arsinh}x=\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\pm \pm \ \name {arcosh} \left\sqrt{1+x^{2}}}\오른쪽)}$

${\displaystyle \cHNAME {arsinh} \left\sqrt {x^{2}-1}\오른쪽)\오른쪽 =\왼쪽 \eftname {artanh} \left \reftediate\sqrt {x^{2}-1}}{x^-1}\rig)\오른쪽 }$

파생상품

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{dx}}\operatorname{arsinh}x&amp을 말한다.{}={\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}},{\text{에 대한 모든 진짜}}x\\{\frac{d}{dx}}\operatorname{arcosh}x&amp을 말한다.{}={\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}},{\text{에 대한 모든 진짜}}x>, 1\\{\frac{d}{dx}}\operatorname{artanh}x&amp을 말한다.{}={\frac{1}{1-x^{2}}},{\text{에 대한 모든 진짜}})<>1\\{\frac{d}{dx}}\operatornam.e {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }} x >1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{ x {\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{{{\text{{}}실제 모든 }x{\text{}, }0\\\end{arged}} 제외.$

예를 들어, 분화의 예: sin = arsinh x, so² (where sinh h = (sinh θ)):²

${\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsinh} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$

시리즈 확장

위의 기능에 대해 확장 시리즈를 구할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\오른쪽){\frac {x^{2n+1}{2n+1}:{2n+1},\qquad \왼쪽 x\오른쪽 <1\ended}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\inflit }\left \frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\오른쪽){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \왼쪽 x\오른쪽 >1\ended}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left x\right <1\end{aligned}}}$

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{arcsch}x=\operatorname{arsinh}{\frac{1}{)}}&=x^ᆱ-\left({\frac{1}{2}}\right){\frac{x^{-3}}{3}}+\left({{1\cdot 3}{2\cdot 4}}\frac \right){\frac{x^{-5}}{5}}-\left({\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac{x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&,=\sum _ᆸ^ᆹ\left({\frac{())^{n}.(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\오른쪽){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}:{2n+1},\qquad \왼쪽 x\오른쪽 >1\end{aligned}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {2}{x}-\sum _{n=1}^{n=1}{n=1}^{\flitty }\left \frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\오른쪽){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left x\right >1\end{aligned}}}$

아르신 x에 대한 점근 팽창은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \propertiesname {arsinh}x=\ln(2x)+\sum \sum \n=1}^{n=1}{\n-1}{\flt-1}{\fract2n-1}\right)!!}}{2n\left2n}\right)}}}{\frac{1}{x^{2n}}}}}}$

복합 평면의 주 값

복합 변수의 함수로서 역 쌍곡함수는 유한한 점 수를 제외하고 분석적인 다변량함수다.그러한 함수의 경우, 한정된 수의 호(일반적으로 절반 선 또는 선 세그먼트)가 제거된 복잡한 평면으로 구성된 영역에 걸쳐 다중값 함수의 특정 분기와 일치하는 단일 값 분석 함수인 주값을 정의하는 것이 일반적이다.이러한 호를 가지 절단이라고 한다.분지, 즉 각 지점에서 고려되는 다중값 함수의 값을 정의하기 위해서는, 일반적으로 특정 지점에서 분기를 정의하고, 분석적 연속성에 의해 주값의 정의영역의 어디에서나 그 값을 추론한다.가능한 경우 분석적 연속성을 참조하지 않고 직접 주값을 정의하는 것이 좋다.

예를 들어, 제곱근의 경우, 기본값은 양의 실제 부분을 갖는 제곱근으로 정의된다.이것은 변수의 비양성적 실질값(두 제곱근의 실제 부분이 0인 경우)을 제외한 모든 곳에서 정의되는 단일 가치 분석 함수를 정의한다.제곱근 함수의 이 기본값은 $다음$과 같이$$ x ${\$로 표시된다.마찬가지로$$, ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log}}$을(를) 다음에 나타내는 로그의 기본값은 가상 부분이 가장 작은 절대값을 갖는 값으로 정의된다.변수의 비양성 실제 값을 제외한 모든 곳에서 정의되며, 두 개의 다른 로그 값이 최소값에 도달한다.

모든 역 쌍곡선 함수의 경우, 주값은 제곱근과 로그 함수의 주 값 관점에서 정의될 수 있다.그러나 어떤 경우에는 로그와 관련된 § 정의의 공식은 너무 작고, 한 경우에는 연결되지 않은 정의의 영역을 부여하기 때문에 정확한 기본값을 제공하지 않는다.

역 쌍곡선 사인파의 주 값

역 쌍곡선 사인(proverse probolic sine)의 기본값은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log}(z+{\sqrt {z^{2}+1},)\,}$

제곱근의 인수는 z가 가상 축의 간격 [i, +i∞)과 (-i,, -i] 중 하나에 속하는 경우에만 양수가 아닌 실수다.로그의 주장이 사실이라면 그것은 긍정적이다.따라서 이 공식은 가지 절단[i, +i∞] 및 (-i∞, -i]로 아르신(arsinh)에 대한 주값을 정의한다.분기 컷이 단수점 i와 -i를 무한대에 연결해야 하므로 이것이 최적이다.

역 쌍곡선 코사인의 주 값

§ 역 쌍곡선 코사인에 주어진 역 쌍곡선 코사인에 대한 공식은 편리하지 않다. 왜냐하면 로그와 제곱근의 주요 값과 유사하기 때문이다. 아코쉬의 기본값은 상상의 z에 대해 정의되지 않을 것이기 때문이다.따라서 제곱근을 인자화하여 다음과 같은 결과를 초래해야 한다.

${\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log}(z+{\sqrt{z+1}:{\sqrt{z-1},)\,}$

z가 실제 간격(-through, 1)에 속하는 경우를 제외하고 제곱근의 주값은 모두 정의된다.로그의 주장이 진짜라면, z는 진짜고 같은 기호를 가지고 있다.따라서 위의 공식은 실제 간격(-through, 1)을 벗어난 아코쉬의 기본값을 정의하며, 이는 고유한 분기 절단이다.

역 쌍곡선 탄젠트 및 동탄젠트의 주 값

로그 측면에서 § 정의에 제시된 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{1}2}}\operatorname {Log} \왼쪽({\frac {1+z}{1-z}\오른쪽)\\\operatorname {arcot} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \좌측({\frac {z+1}{z-1}\우측)\end{aigned}}}}$

역 쌍곡선 탄젠트 및 코탄젠트의 주 값 정의.이러한 공식에서 로그의 주장은 z가 진짜일 경우에만 진짜다.artanh의 경우, 이 인수는 실제 간격(-through, 0), z가 (-through, -1] 또는 [1, ∞]에 속하면 된다.아코트의 경우, 로그 인수는 (-115, 0), z가 실제 간격에 속하는 경우에만 해당된다[-1, 1].

따라서 이러한 공식은 편리한 주값을 정의하는데, 여기서 분기는 역 쌍곡 탄젠트의 경우 (-162, -1] 및 [1, ∞)이고 역 쌍곡선 탄젠트의 경우 [-1, 1]이다.

분기 컷 근처의 더 나은 수치적 평가의 관점에서, 비록 두 번째 저자는 z = 0에서 탈착 가능한 특이점을 도입하지만, 일부^{[citation needed]} 저자는 기본 값의 다음과 같은 정의를 사용한다.${\displaystyle \mathrm{artanh}}$ ${\displaystyle \operatorname {artanh}$의 두 가지 정의는 > ${\displaystyle z}$의 실제 값에 $따라{\displaystyle }$ 다르다$$$아코트{\displaystyle }$ ${\displaystyle \operatorname {arcot}의$값은 z$$${\displaystyle \in }$ [${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle z\in [0,1)}$의 실제 값에 따라$$ 다르다$.$

${\displaystyle {\begin{aigned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{1}:{1+z}\operatorname {Log}-{1}\tfrac {1}{1}{1-z}\오른쪽)\\operatorname {arcot}z&={\tfrac {1}{1}:{1}:{2}}\operatorname {Log}-{1+{\frac {1}{z}\오른쪽)-{\tfrac {1}{1}{{1}}\operatorName {Log} \좌측({1-{1-{z}}\riged}\end}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}})}}}}}}}}).$

역 쌍곡선 코섹트의 주 값

역 쌍곡선 코섹트의 경우, 기본값은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm{arcsch}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$= ${\displaystyle 로그\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle (}$1${\displaystyle }$z${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1\sqrt{\frac{\mathrm{}}{}}}$ ${\displaystyle \frac{z}{}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{1}}$ )${\displaystyle \operatorname$ {$arcsch}$ z$=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}+}\sqrt {{\frac{1}{z^}+1},\rig$

로그와 제곱근의 인수가 양수가 아닌 실수일 때 정의된다.따라서 제곱근의 주값은 가상 선의 간격 [-i, i] 밖에 정의된다.로그의 인수가 실제인 경우 z는 0이 아닌 실제 숫자로, 이는 로그의 인수가 양수임을 의미한다.

따라서, 기본값은 상상의 선의 간격[-i, i]으로 구성되는 가지 절단 밖에 있는 위의 공식에 의해 정의된다.

z = 0의 경우 분기 컷에 포함된 단수 점이 있다.

역 쌍곡선 제분의 주 값

여기서는 역 쌍곡선 코사인의 경우와 마찬가지로 제곱근을 인수해야 한다.이것은 기본값을 준다.

${\displaystyle \operatorname {arsech}z=\operatorname {Log} \좌측({\frac {1}{z}}}+{\sqrt {{\frac{1}+1},{\sqrt {{\frac{1}-1}\우측).}$

제곱근의 주장이 실제인 경우, z는 실제이고, z가 실제인 경우, 두 제곱근의 주요 값이 모두 정의되는 것을 따른다. 단, z가 실제이고 구간(-162, 0]과 [1, +16] 중 하나에 속한다는 것을 제외한다.로그의 논거가 현실이고 음이면 z도 현실이고 음이다.위의 두 가지 가지 가지 컷 바깥, 즉 실제 간격(-∞, 0)과 [1, + +)에 의해 아르세치의 기본값이 잘 정의되고 있다는 것을 따른다.

z = 0의 경우 분기 절단 중 하나에 포함된 단수 점이 있다.

그래픽 표현

역 쌍곡선 함수의 주요 값에 대한 다음의 그래픽 표현에서 분기 절단은 색상의 불연속성으로 나타난다.전체 분기 삭감이 불연속성으로 나타난다는 사실은 이러한 주요 값이 더 큰 영역에 걸쳐 정의된 분석 기능으로 확장되지 않을 수 있음을 보여준다.다시 말해, 위에서 정의한 분기 컷이 미미하다는 것이다.

참고 항목

• 복합 로그
• 쌍곡선 세컨트 분포
• ISO 80000-2
• 역 쌍곡선 함수의 통합 목록

참조

참고 문헌 목록

• Herbert Busemann과 Paul J. Kelly(1953) Projective Geometry and Projective Metrics, 207페이지, Academic Press.

외부 링크

• "Inverse hyperbolic functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]