쿠이퍼의 정리

Kuiper's theorem

수학에서 카이퍼의 정리(Nicolaas Kuiper 이후)는 무한한 차원, 복잡한 힐버트 공간 H의 연산자 위상에 관한 결과물이다.그것은 H의 변위할 수 없는 경계 내형성의 공간 GL(H)이 연산자의 표준 위상에 대해 유한 콤플렉스 Y에서 GL(H)까지의 모든 지도가 상수에 대해 동음이의학이라고 기술하고 있다.

카이퍼의 정리라고도 불리는 유의미한 관상어는 이 집단이 약하게 수축할 수 있다는 것, 즉 그 모든 호모토피 집단은 사소한 것이다.이 결과는 위상학 K 이론에서 중요한 용도가 있다.

일반 선형 그룹의 일반 위상

유한 치수 H의 경우, 이 그룹은 복잡한 일반 선형 그룹이 될 것이며 전혀 수축할 수 없을 것이다.사실 그것은 그것의 최대 소형 부분군인 H의 단일 그룹 U에 상당하는 호모토피다.복잡한 일반 선형집단과 단일집단이 동일한 호모토피 유형을 가지고 있다는 증거는 그람슈미트 공정에 의해, 또는 행렬 극분해를 통해, 분리 가능한 힐버트 공간의 무한 차원 사례로 이어지게 되는데, 기본적으로 상위 삼각형 행렬의 공간은 상당히 명백하게 보이는 것처럼 수축할 수 있기 때문이다.ly. 근본적인 현상은 무한히 많은 차원으로의 통과가 단일 군집단의 위상학적 복잡성의 많은 부분을 사라지게 한다는 것이다. 그러나 무한대로의 통로가 더 제약되고, 그 결과 집단은 비종교적 호모토피 그룹을 갖는 Bott의 단일 군집단에 관한 섹션을 보라.

구의 역사적 맥락과 위상

무한 차원∞ 힐버트 공간 H에서 때로는 S로 표기되는 단위 구가 수축 가능한 공간인 반면 유한 차원 구가 수축 가능한 공간인 것은 놀라운 사실이다.카이퍼의 수십 년 전에 확실히 알려진 이 결과는 수학적인 민화의 지위를 가질 수도 있지만, 꽤 자주 인용된다.[1][2]사실 더 많은 것이 사실이다: S는∞ H와 다른 형태인데, 이것은 확실히 그것의 볼록함에 의해 수축될 수 있다.[3]한 가지 결과는 브루워 고정점 정리를 H의 단위 공으로 확장하는 데 부드러운 카운트렉샘플이 있다는 것이다.[4]동형상인 그러한 반격의 존재는 1943년 가쿠타니 시즈오( kuouo)[5]에 의해 나타났는데, 가쿠타니 시즈오가 처음으로 단위 영역의 계약성에 대한 증거를 적었을지도 모른다.그러나 그 결과는 어쨌든 본질적으로 알려져 있었다(1935년 안드레이 니콜라예비치 타이코노프는 단위 구가 단위 공의 수축이라는 것을 보여주었다).[6]

경계 연산자 그룹에 대한 결과는 네덜란드의 수학자 니콜라스 카이퍼에 의해 분리 가능한 힐버트 공간의 경우에 의해 증명되었다. 분리 가능성의 제한은 나중에 해제되었다.[7]같은 결과지만 표준 위상이 아닌 강력한 운영자 위상에 대해서는 1963년 자크 딕스미어와 아드리아인 두아디가 발표했다.[8]구와 연산자 집단의 기하학적 관계는 단위 구가 단일 집단 U를 위한 균일한 공간이라는 것이다.단위 구체의 단일 벡터 v의 안정기는 v의 직교보보충의 단일 군집이다. 따라서 호모토피 긴 정확한 순서는 단위 구의 모든 호모토피 그룹이 사소한 것일 것이라고 예측한다.이것은 한 점을 포함시키는 것은 약한 호모토피 동등성일 뿐이며, 이는 CW 단지에서만 직접 계약성을 의미하기 때문에, 밀접한 위상적 관계를 보여주지만 그 자체로는 충분치 않다.Kuiper가 발행한 지 2년 후에 출판된 논문에서 Richard Palais는 이 문제를 해결하기에 충분한 무한 차원 다지관에 대한 기술적 결과를 제공했다.[9][10]

보트의 단일 군

보트의 주기성 정리가 적용되는 호모토피 이론에서 중요한 의미를 지닌 또 다른 무한 차원 단일 군집단이 있다.그것은 확실히 계약할 수 없다.쿠이퍼 그룹과의 차이는 다음과 같이 설명할 수 있다.Bot's 그룹은 일부 N에 대해 고정된 정형외과적 기준 {ei}의 첫 번째 N이 확장한 하위 공간에 대해서만 주어진 연산자가 비독점적으로 작용하는 부분군이며, 나머지 기본 벡터에서는 ID가 된다.

적용들

섬유다발이라는 일반적인 이론으로 볼 때 즉각적인 결과는 모든 힐버트다발이 하찮은 다발이라는 것이다.[11]

S의∞ 수축성에 관한 결과는 두 개의 원소를 가진 순환 그룹과 원 그룹과 같이 자유롭게 그것을 작용하는 특정 집단의 공간을 분류하는 기하학적 구조를 제공한다.Bott's의 의미에서 단일 그룹 U는 복잡한 벡터 번들에 대한 분류 공간 BU를 가지고 있다(U(n)의 분류 공간 참조).쿠이퍼의 정리로부터 오는 더 깊은 적용은 아티야--의 증명이다.Jénich 정리(Claus Jénich and Michael Atiyah 이후)는 표준 위상과 함께 H에 있는 프레드홀름 연산자의 공간이 호모토피 이론의 의미에서 위상학(복잡한) K 이론의 functor K(.)를 나타낸다고 명시하고 있다.이것은 아티야가 준 것이다.[12]

바나흐 공간의 경우

무한 차원의 Banach 공간에 있는 변환 불가능한 운영자에 대해서도 동일한 질문이 제기될 수 있다.여기에는 부분적인 결과만 있을 뿐이다.일부 고전적 시퀀스 공간은 동일한 속성을 가지고 있으며, 즉, 변환 불가능한 연산자 그룹이 수축할 수 있다는 것이다.반면에, 그것이 연결된 공간이 되지 못하는 것으로 알려진 사례도 있다.[13]모든 호모토피 집단이 사소한 것으로 알려진 경우, 어떤 경우에는 계약성을 알 수 없다.

참조

  1. ^ 존 배즈, "이번 주의 수학 물리학 발견, 151주" [1]
  2. ^ 뉴스그룹 Dave Rusin, Wayback Machine에 http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/93_back/s-fty Archive 2010-07-02
  3. ^ C. 베사가, 모든 무한 차원 힐베르트의 공간은 그 단위 구와 차이점이다.황소. 아카드.폴론, 세르 공상과학수학. 14 (1966), 2731.
  4. ^ Andrzej Granas, James Dugundji, 고정점 이론(2003), 페이지 82-3.
  5. ^ S. 카쿠타니, Proc, Hilbert space에 있는 단위 구체의 위상학적 특성.imf. add.도쿄 19 (1943년), 269–271.
  6. ^ Andrzej Granas, James Dugundji, 페이지 108.
  7. ^ Luc Illusie, Contractibilité du groof linéaire des espaces de Hilbert de dimension infinie, Séminaire Bourbaki 1964, Exp.284번.
  8. ^ 26페이지의 렘메 3, 샹젤 컨티뉴스의 힐베르티엔스(PDF), 프랑스 소시에테 마테마티크(Bulletin de la Societété Mathématique de France), 91페이지(1963), 227-284.
  9. ^ Richard Palais, 무한 치수 다지관의 호모토피 이론, 위상, 5, pp.1-16 (1966).
  10. ^ 예: http://math.leetspeak.org/GN/homotopy_groups_of_operator_groups.pdf[permanent dead link]
  11. ^ 부스와 블리커, 위상 및 분석(1985), 페이지 67.
  12. ^ 마이클 아티야, K-이론 페이지 153과 페이지 162-3, 수집된 작품 2, 페이지 590-600.
  13. ^ Herbert Schröder, Transvertible 요소 그룹의 토폴로지 (PDF), 사전 인쇄 조사.
  • Kuiper, N. (1965). "The homotopy type of the unitary group of Hilbert space". Topology. 3 (1): 19–30. doi:10.1016/0040-9383(65)90067-4.