쿠타-주코프스키 정리

우선 임의 단면 실린더의 각 단위 길이에 가해지는 힘을 계산한다.^[6]단위 길이당 이 힘(지금부터 간단히 힘이라고 부름)을 F$${\$displaystyle \mathbf {F} }$이(가) 되도록 한다$.$ 따라서 총 힘은 다음과 같다.

${\ds,} 표시 스타일 \mathbf {F} =-\point _{C}p\mathbf {n} \,ds,}$

여기서 C는 실린더의 경계선을 나타내고, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$은 유체의 정적 압력이며, $n{\displaystyle \mathbf{}}$ $displaystyle \mathbf {n} \,}$은 실린더에 정규적인 단위 벡터, ds는 단면 경계선의 호 요소다.이제 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$을(를) 일반 벡터와 수직 사이의 각도로 설정한다$$.그러면 위의 힘의 구성 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle F_{x}=-\point _{C}p\sin \phi \,ds\...\qquad F_{y}=\point _{C}p\cos \pi \ds.}$

이제 중요한 단계가 온다: 사용된 2차원 공간을 복잡한 평면으로 고려하라.그래서 모든 벡터는 그것의 첫 번째 구성요소는 실제 부분과 같고 두 번째 구성요소는 복잡한 숫자의 상상의 부분과 같아 복잡한 숫자로 나타낼 수 있다.그러면 힘은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\point _{C}p(\sin \pi -i\coses \pi )\,ds.}$

다음 단계는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 복잡한 결합을 취하고 다음과$$ 같은 조작을 수행하는 것이다.

${\displaystyle {\f}=-\point _{C}p(\sin \pi +i\cos \phi )\,ds=-i\point _{C}p^{C}p(\cos \pi -i\pi )\,ds,ds.}$

표면 세그먼트 ds는 dz를 따라 다음과 같이 변경된다.

${\displaystyle {\begin}dz&=dx+idy=ds(\cos \pi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\\}\rightarrow d{\bar{z}&=e^{-i\pi}ds.\end{정렬}}}$

이를 다시 통합에 연결하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\bar{F}=-i\point _{C}p\,d{\bar {z}.}$

이제 버누이 방정식은 적분에서 압력을 제거하기 위해 사용된다.분석 과정에서 외부 힘 장(field)이 존재하지 않는다고 가정한다.흐름의 질량 밀도는 $다음$과 같다$$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \rho.}$ 그러면$$ $압력{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$은(는) $v{\displaystyle }$= ${\displaystyle v_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$+ i ${\displaystyle y_{}}$ ${\$와(와) 관련된다.

${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho v ^{2}}{2}.}$

$이$로써 F ${\displaystyle$ F$}$의 힘은 다음과 같이$$ 된다.

${\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C} v ^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C} v ^{2}\,d{\bar {z}}.}$

이제 한 단계만 남았다: $w{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle w=f(z),}$ 흐름의 복잡한 전위를 소개한다.$이$는 아포스트로피가 복합 변수 z에 대해 분화를 나타내는 w ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- i ${\displaystyle v_{}}$ y${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle v\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle ¯,}$ ${\displaystyle$ w$'=v_{x}-iv_{y}={\bar {v}}}}$과(와) 같은 속도 구성 요소와 관련이$$ 있다.속도는 경계선 C에 접하고 있으므로, 이것은 $v{\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle e{}^{}}$ ${\displaystyle {\varphi }^{}}$ ${\displaystyle$ v$=\pm$v=\pm $v^{i\pi }.}$ 그러므로$$ $v{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ d ${\displaystyle z}$의${\displaystyle \stackrel{}{}}$= v ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{},}$ ${\displaystyle v^{2}d}d{\z}= v$^{2}$dz},$ 힘에$$ 대한 원하는 표현을 얻는다.

${\displaystyle {\bar{F}={\frac {i\rho }{2}}\\point _{C}w'^{2}\,dz,}$

이것을 블라시우스 정리라고 한다.

Joukowski 공식에 도달하기 위해서는 이 적분을 평가해야 한다.복잡한 분석을 통해 홀모픽 함수를 Laurent 시리즈로 제시할 수 있다고 알려져 있다.문제의 물리학에서 복잡한 전위 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$의 파생 모델이 다음과 같이 보일 것이라는$$ 추론하였다.

${\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}:{1}}+{\frac{a_{2}}:{z^{2}}:}+\cdots .}$

속도는 무한대로 유한하기 때문에 함수는 더 높은 순서의 항을 포함하지 않는다.So ${\displaystyle a_{0}\,}$ represents the derivative the complex potential at infinity: ${\displaystyle a_{0}=v_{x\infty }-iv_{y\infty }\,}$. The next task is to find out the meaning of ${\displaystyle a_{1}\,}$. Using the residue theorem on the above series:

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}\}\point _{C}w'\,dz.}$

이제 위의 통합을 수행하십시오.

${\displaystyle {\begin}\point _{C}w'(z)\,dz&=\point _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)\\&=\point _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\point _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)\\&=\point _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\point _{C}(v_{x}\,dx) {C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).\end{정렬}}}$

첫 번째 적분은 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}.}$ ${\displaystyle \Gamma.}$에 의해 표시된 순환으로 인식된다. 두 번째$$ 적분은 일부 조작 후에 평가할 수 있다.

${\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}$

$여기$서는 스트림 기능 ${\$이(가) 있다.실린더의 C 테두리는 그 자체로 능률적이기 때문에 스트림 기능이 변경되지 않고, d ${\displaystyle \psi }$ = ${\displaystyle 0}$ ${\$ 따라서 위의 적분은 0이다$.$그 결과:

${\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}$

시리즈의 정사각형을 선택하십시오.

${\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}+\cdots .}$

블라시우스에게 다시 연결하기–Caplygin 공식 및 잔류 정리를 사용하여 통합 수행:

${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}$

Kutta-Joukowski 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}F_{x}&=\rho \감마 v_{y\infit }\nf_{y}=-\rho \감마 v_{x\infit }.\end{정렬}}}$