벡터 미적분

벡터 미적분 또는 벡터 해석은 주로 3차원 유클리드 $\mathbb {R} ^{3}.$ $\mathbb {R} ^{3}.$ 3에서 벡터 장의 미분과 적분에 관계된다 $.\\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ "벡터 미적분"이라는 $\mathbb {R} ^{3}.$ 용어는 벡터 미적분뿐만 아니라 벡터 미적분학의 광범위한 주제에 대한 동의어로 사용되기도 한다.부분적인 차별화 및 다중 통합.벡터 미적분은 미분 기하학과 편미분 방정식의 연구에서 중요한 역할을 한다.이것은 물리학과 공학, 특히 전자기장, 중력장, 유체 흐름의 설명에 광범위하게 사용됩니다.

벡터 미적분은 19세기 말 무렵 J. 윌러드 깁스와 올리버 헤비사이드에 의해 사분율 분석으로부터 개발되었고, 대부분의 표기법과 용어는 깁스와 에드윈 비드웰 윌슨이 1901년 책 벡터 분석에서 확립했다.교차곱을 사용하는 기존 형태에서는 벡터 미적분은 고차원으로 일반화되지 않지만, 외부 곱을 사용하는 기하대수의 대체 접근법은 일반화된다(자세한 내용은 § 일반화 참조).

기본 객체

스칼라 필드

스칼라 필드는 스칼라 값을 공간의 모든 점에 관련짓습니다.스칼라는 물리량을 나타내는 수학적인 숫자입니다.응용 프로그램의 스칼라 필드의 예로는 공간 전체의 온도 분포, 유체 내의 압력 분포 및 힉스장과 같은 스핀 제로 양자장(스칼라 보손으로 알려져 있음)이 있습니다.이 필드들은 스칼라 필드 이론의 주제이다.

벡터 필드

벡터 필드는 공간의 ^[1]각 점에 대한 벡터 할당입니다.예를 들어 평면 내의 벡터 필드는 평면 내의 한 점에 각각 소정의 크기와 방향을 부가한 화살표 집합으로 시각화할 수 있다.벡터장은 예를 들어 공간 전체에 걸쳐 움직이는 유체의 속도와 방향, 또는 지점마다 변하는 자기력이나 중력 같은 힘의 강도와 방향을 모델링하는 데 종종 사용됩니다.예를 들어, 이 값을 사용하여 회선을 통해 수행된 작업을 계산할 수 있습니다.

벡터 및 의사 벡터

보다 고도의 처리에서는 벡터 필드 및 스칼라 필드와 동일한 의사벡터 필드와 의사벡터 필드를 추가로 구별합니다. 단, 벡터 필드의 컬은 의사벡터 필드이며, 벡터 필드를 반사하는 경우에는 반대편에서 컬 포인트가 됩니다.방향입니다.이 구별은 아래에 기술된 기하학 대수학에서 명확해지고 상세하게 설명된다.

벡터 대수

벡터 미적분학에서 대수(비미분) 연산은 벡터 대수로 불리며, 벡터 공간에 대해 정의되고 벡터 필드에 전체적으로 적용된다.기본 대수 연산은 다음과 같이 구성됩니다.

벡터 미적분 표기법

작동	표기법	묘사
벡터 덧셈	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	두 벡터를 더하면 벡터가 생성됩니다.
스칼라 곱셈	$\displaystyle a\mathbf {v}$	스칼라와 벡터의 곱셈으로 벡터가 생성됩니다.
도트 제품	$\displaystyle \mathbf {v} _{1} \cdot \mathbf {v} _{2}$	두 벡터의 곱셈으로 스칼라가 생성됩니다.
크로스 프로덕트	$\displaystyle \mathbf {v} _{1} \times \mathbf {v} _{2}$	$R3(\$ displaystyle $\mathbb {R} ^{$ 3 $\mathbb {R} ^{3}$ 에서 2개의 벡터의 곱셈으로 (의사) 벡터를 생성합니다.

또한 일반적으로 사용되는 두 가지 트리플 제품이 있습니다.

벡터 미적분 삼중곱

작동	표기법	묘사
스칼라 트리플 곱	$\displaystyle \mathbf {v} _{1} \cdot \left(\mathbf {v} _{2} \times \mathbf {v} _{3} \right)}$	두 벡터의 교차곱의 점곱입니다.
벡터 삼중곱	$\displaystyle \mathbf {v} _{1} \times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	두 벡터의 교차곱입니다.

연산자 및 정리

미분 연산자

벡터 미적분은 스칼라 또는 벡터 필드에 정의된 다양한 미분 연산자를 연구합니다. 이들은 일반적으로 "nabla $"$ 라고도 알려진 del 연산자( of $\displaystyle \nabla$ ) $\nabla$ 로 표현됩니다.세 가지 기본 벡터 연산자는 다음과 같습니다.^[2]

벡터 미적분의 미분 연산자

작동	표기법	묘사	표기 유추	도메인/범위
그라데이션	${\displaystyle\operatorname{grad}(f)=\displayla f}$	스칼라 필드의 변화 속도와 방향을 측정합니다.	스칼라 곱셈	스칼라 필드를 벡터필드에 매핑합니다.
발산	$\displaystyle \operatorname {div}(\mathbf {F})=\displayla \cdot \mathbf {F}$	벡터 필드의 지정된 지점에서 소스 또는 싱크의 스칼라를 측정합니다.	도트 제품	벡터 필드를 스칼라 필드에 매핑합니다.
컬	$\displaystyle \operatorname {f}(\mathbf {F})=\displayla \times \mathbf {F}$	$\mathbb {R} ^{3}$ 3 $({$ 의 벡터 필드의 점을 중심으로 회전하는 경향을 측정합니다.	크로스 프로덕트	벡터 필드를 (의사) 벡터필드에 매핑합니다.
$f$ 는 스칼라 필드를 $나타내고$ F는 벡터 필드를 나타냅니다.

또한 일반적으로 사용되는 두 개의 Laplace 연산자도 있습니다.

벡터 미적분의 라플라스 연산자

작동	표기법	묘사	도메인/범위
라플라시안	$\displaystyle \Delta f=\delta ^{2}f=\displayla \cdot \delta f}$	스칼라 필드의 값과 무한소 볼의 평균 간의 차이를 측정합니다.	스칼라 필드 간의 매핑.
벡터 라플라시안	$(\displaystyle \times \times \mathbf {F}) = \times \times \times \mathbf {F} )$	벡터 필드의 값과 극소 볼의 평균 간의 차이를 측정합니다.	벡터 필드 간에 매핑합니다.
$f$ 는 스칼라 필드를 $나타내고$ F는 벡터 필드를 나타냅니다.

야코비안 매트릭스라고 불리는 양은 적분 중 변수의 변화와 같이 함수의 영역과 범위가 다변수일 때 함수를 연구하는 데 유용합니다.

적분 정리

세 개의 기본 벡터 연산자는 미적분의 기본 정리를 더 높은 차원으로 일반화하는 대응하는 이론들을 가지고 있다.

벡터 미적분의 적분 정리

정리	진술	묘사
경사정리	$\displaystyle \int _{L\subset \mathbb {R}^{n}}\!\!\barphi \cdot d\mathbf {r} \=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\\\{\text{ for } \ L = L [p\to q] } }$	곡선 L 위의 스칼라 필드의 구배 선분은 곡선의 끝점 p와 q 사이의 스칼라 필드의 변화와 동일합니다.
발산 정리	$\displaystyle \underbrace \int \!\cdots \int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}} _{n}}, dV\=\underbrace {!\cdots \!\cdots \!\\\cdots\\\\cdots\} {nF} {1-mathb} {nF} {nF}$	n차원 고체 V 위의 벡터장 발산 적분은 고체의 ( $n-1)$ 차원 닫힌 경계 표면을 통과하는 벡터장의 흐름과 같다.
컬(켈빈-스토크스) 정리	$\displaystyle \iint _{\sigma \sigma \\sigma } ^{3}}(\displayla \times \mathbf {F})\cdot d\mathbf {Sigma } \ = \point _{\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	$\mathbb {R} ^{3}$ 3 $(\$ ^{ $3})$ 에서 $\mathbb {R} ^{3}$ 표면 δ 위의 벡터장 컬의 적분은 표면을 경계로 하는 닫힌 곡선 주위의 벡터장 순환과 동일합니다.
$§$ ${\displaystyle$ \ $varphi}$ 는 $\varphi$ 스칼라 $필드$ , F는 벡터 필드입니다.

2차원에서 발산 및 컬 정리는 그린의 정리로 감소한다.

그린의 벡터 미적분 정리

정리	진술	묘사
그린의 정리	$\displaystyle \iint _{A,\subset \mathbb {R}^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial y}}\right)dA\ = \point _{\cisco A}\left(L,dx+M,dy\right)}$	$\mathbb {R} ^{2}$ 2 $(\$ ^{ $2}})$ 의 $\mathbb {R} ^{2}$ 일부 영역 A에서의 벡터장 발산(또는 컬)의 적분은 영역을 경계로 하는 닫힌 곡선의 벡터장 플럭스(또는 순환)와 같습니다.
$분산$ 의 경우 F = ( $M, -L).$ $컬$ 의 경우 F = ( $L,$ $M, 0).$ $L$ 과 M은 ( $x,$ $y)$ 의 함수이다.

적용들

선형 근사

선형 근사는 복잡한 함수를 거의 동일한 선형 함수로 대체하는 데 사용됩니다.실수 값을 갖는 미분 가능한 $함수$ f $(x, y$ )가 주어지면, 다음 공식에 의해 ( $a,$ $b)$ 에 가까운 ( $x,$ $y)$ 에 대해 f $(x,$ $y$ )를 $근사할$ 수 있다.

\displaystyle f(x,y)\about \f(a,b)+{\tfrac f}(a,b)+{\tfrac f}(a,a)+{\tfrac f}(a,b),(y-b)}(y-b)}

오른쪽은 ( $a,$ $b)$ 에서 z = $f (x,$ $y)$ $그래프$ 에 접하는 평면의 방정식입니다.

최적화

여러 실제 변수의 연속 미분 가능한 함수의 경우, 함수의 모든 편미분이 P에서 0이면 점 P(즉, R에서ⁿ 점으로 보이는 입력 변수의 값 집합)가 중요하며, 구배가 0이면 동등하게 중요합니다.임계값은 임계점에서의 함수 값입니다.

기능이 매끄럽거나 적어도 2회 연속적으로 미분할 수 있는 경우 임계점은 국소 최대점, 국소 최소점 또는 안장점이 될 수 있다.다른 경우들은 2차 도함수의 헤시안 행렬의 고유값을 고려함으로써 구별될 수 있다.

페르마의 정리에 따르면, 미분 가능한 함수의 모든 국소 최대값과 최소값은 임계점에서 발생한다.따라서 국소 최대값과 최소값을 구하기 위해 이론적으로 구배 0과 이들 0에서 헤시안 행렬의 고유값을 계산하는 것으로 충분하다.

물리 및 엔지니어링

벡터 미적분은 특히 연구에 유용합니다.

일반화

다른 3매니폴드

벡터 미적분은 처음에 유클리드 3차원 $\mathbb {R} ^{3},$ , $\mathbb {R} ^{3},$ 3, $\mathbb {R} ^{3},$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{3}에 $\mathbb {R} ^{3},$ 대해 정의된다: 즉, 내부곱(도트곱)을 통해 정의된 노름(길이의 개념을 주는 것)을 넘어 추가적인 구조를 가진다.왼손잡이와 오른손잡이의 개념을 만들어줍니다.이러한 구조는 체적 형태와 벡터 미적분학에서 널리 사용되는 교차곱을 생성한다.

구배와 발산에는 내부 곱만 필요하며, 컬과 교차 곱은 좌표계의 핸들링도 고려해야 합니다(자세한 내용은 교차 곱과 핸들링 참조).

벡터 미적분은 다른 3차원 실벡터 공간에 정의될 수 있다. 만약 그들이 내적물(또는 더 일반적으로 대칭적인 비퇴화 형태)과 방향을 가지고 있다면; 이것은 유클리드 공간에 대한 등형사상보다 적은 데이터이며, 이것은 벡터 계산의 사실을 반영하는 좌표 세트(기준 프레임)를 필요로 하지 않기 때문이다.ulus는 회전 시 불변합니다(특수 직교 그룹 SO(3)).

더 일반적으로, 벡터 미적분은 3차원 지향 리만 다양체 또는 더 일반적으로 의사 리만 다양체에 정의될 수 있다.이 구조는 단순히 각 점의 탄젠트 공간이 내부 곱(더 일반적으로 대칭 비탄젠트 형식)과 방향을 가지거나 대칭 비탄젠트 메트릭 텐서와 방향이 있다는 것을 의미하며, 벡터 미적분이 각 점의 탄젠트 벡터의 관점에서 정의되기 때문에 작용한다.

기타 치수

대부분의 분석 결과는 벡터 미적분이 부분 집합을 형성하는 미분 기하학의 기계를 사용하여 보다 일반적인 형태로 쉽게 이해할 수 있습니다.그라데이션과 div는 구배 정리, 발산 정리, 라플라시안(수율 조화 분석)과 같이 다른 차원으로 즉시 일반화되지만, 컬과 교차 곱은 직접적으로 일반화되지 않습니다.

일반적인 관점에서 (3차원) 벡터 미적분의 다양한 필드는 한결같이 k-벡터 필드로 간주됩니다. 스칼라 필드는 0-벡터 필드, 벡터 필드는 1-벡터 필드, 의사 벡터 필드는 2-벡터 필드, 의사 벡터 필드는 3-벡터 필드입니다.고차원에는 추가 필드 유형(스칼라/벡터/의사벡터/의사벡터/의사벡터, 즉 0/1/n-1/n 치수에 대응하는 의사벡터)이 존재하므로 (의사)스칼라 및 (의사)벡터만 사용할 수 없다.

어떤 차원에서 벡터장의 비퇴화 형탰다고 가정하면, 스칼라 함수의 졸업생은 벡터 필드 및 div은 스칼라 함수,지만 차원에서만 벡터 필드는 벡터장의 3또는 7[3](그리고, 하찮게, 치수에 0또는 1)은 한 이어 3,7치수만에 십자가 모양의 제품 다른 dimen에서 일반화 정의될 수 있다.sionality는 n $n-1$ - $n-1$ 벡터를 생성하기 위해 n - 1( $표시$ 스타일 $n-1)$ 벡터가 $n-1$ $n-1$ 하거나 보다 일반적인 반대칭 쌍선형 곱인 대체 라이 대수이다.그라데이션과 div의 일반화, 그리고 컬이 일반화 될 수 있는 방법은 Curl: Generalizations에 자세히 설명되어 있습니다; 간단히 말해서, 벡터 필드의 컬은 바이벡터 필드이며, 이는 무한소 회전의 특별한 직교 리 대수로 해석될 수 있습니다; 하지만, 치수가 다르기 때문에 벡터 필드로는 식별할 수 없습니다 –는 3차원 회전의 3차원이지만 4차원 회전의 6차원(및 일반적으로 $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ ( $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ 2) $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ $($ $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ ) $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ { $displaystyle \textstyle {{\binom {n}{2$ }} $= ndisplayfrac {1}n(n-1$ )} = n차원 회전의 6차원입니다.

벡터 미적분에는 두 가지 중요한 대체 일반화가 있다.첫 번째 기하학 대수는 벡터 필드 대신 k-벡터 필드를 사용한다(3차원 이하에서는 모든 k-벡터 필드를 스칼라 함수 또는 벡터 필드로 식별할 수 있지만, 더 높은 차원에서는 그렇지 않다).이는 3차원 특유의 교차곱을 대체하여 2개의 벡터 필드를 가져오고 출력으로 벡터 필드를 제공합니다. 외부곱은 모든 차원에 존재하며 2개의 벡터 필드를 가져오며 출력으로 이벡터(2-벡터) 필드를 제공합니다.이 곱은 클리포드 대수를 벡터 공간의 대수 구조(방향 및 비퇴화 형식)로 산출한다.기하학 대수는 주로 물리학과 더 높은 차원에 대한 다른 응용 분야들의 일반화에 사용된다.

두 번째 일반화는 벡터장이나 k-벡터장 대신 미분 형식(k-벡터장)을 사용하며, 수학, 특히 미분 기하학, 기하학 위상 및 고조파 해석, 특히 지향성 의사 리만 다양체에 대한 호지 이론을 산출하는 데 널리 사용된다.이 관점에서 그라데이션, 컬, div는 각각 0형, 1형, 2형식의 외부도함수에 대응하고 벡터 미적분의 핵심정리는 모두 스톡스 정리의 일반형식의 특수한 경우이다.

이 두 일반화의 관점에서 벡터 미적분은 암묵적으로 수학적으로 구별되는 객체를 식별하기 때문에 표현은 간단하지만 기초적인 수학적 구조와 일반화는 명확하지 않습니다.기하학 대수의 관점에서 벡터 미적분은 벡터 필드 또는 스칼라 함수를 가진 k-벡터 필드를 암묵적으로 식별한다: 0-벡터 및 3-벡터, 1-벡터 및 벡터를 가진 2-벡터.미분 형식의 관점에서 벡터 미적분은 암묵적으로 k-형식을 스칼라 필드 또는 벡터 필드: 스칼라 필드가 있는 0-형식과 3-형식, 1-형식과 벡터 필드가 있는 2-형식으로 식별한다.따라서, 컬은 자연스럽게 벡터 필드 또는 1-폼을 입력으로 받아들이지만, 자연스럽게 출력으로 2-벡터 필드 또는 2-폼(따라서 의사 벡터 필드)을 가지며, 벡터 필드로 직접 벡터 필드를 가져가는 대신 벡터 필드로 해석됩니다; 이것은 다음과 같이 가지지 않는 고차원의 벡터 필드의 컬에 반영됩니다.벡터 필드를 출력합니다.

「」도 .

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