수학 에서 에드몽 라구에르 (1834–1886)의 이름을 딴 라구에르 다항식 (Laguere 다항식)은 라구에르 방정식 의 해법이다.
x y ″ + ( 1 − x ) y ′ + n y = 0 {\displaystyle xy"+(1-x)y'+ney=0} 2차 선형 미분 방정식이야 이 방정식은 n 이 음이 아닌 정수인 경우에만 비정식 해법 이 있다.
때때로 Laguerre 다항식 이라는 이름이 의 해법에 사용된다.
x y ″ + ( α + 1 − x ) y ′ + n y = 0 . (\displaystyle xy"+(\displaystyle +1-x)y'+ney=0~.} 여기서 n 은 여전히 음이 아닌 정수다. 그리고 나서 그들은 또한 여기서 행해지는 것 처럼 일반화된 라구에르 다항식 (대체로 연관된 라구에르 다항식 또는 드물게 소닌 다항식 , 발명가 니콜레이[1] 야코블레비치 소닌 의 이름을 따서 일반화된 라구에르 다항식)으로 명명된다.
보다 일반적으로, n 이 반드시 음이 아닌 정수가 아닐 때 라구에르 함수 는 해결책이다.
Laguerre 다항식(다항식)은 형식의 통합(숫자 계산)을 위해 가우스 사분법 (Gaussian 사분법에도 사용된다.
∫ 0 ∞ f ( x ) e − x d x . {\displaystyle \int _{0}^{\\inf(x)e^{-x}\,dx.}
이 다항식 0 L 1 로드리게스 공식 에 의해 정의될 수 있는 다항식 순서 다.
L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( e − x x n ) = 1 n ! ( d d x − 1 ) n x n , {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n! }}{{\frac {{d^{n}}}{dx^{n}}}}\왼쪽(e^{-x^{n}\오른쪽)={\frac {1}{n! }}}}\frac {d}{dx}-1\오른쪽)^{n}x^{n}x^{n}} 다음 섹션의 닫힌 형태로 축소.
내부 제품 에 관한 직교 다항식 이다.
⟨ f , g ⟩ = ∫ 0 ∞ f ( x ) g ( x ) e − x d x . {\displaystyle \langle f,g\angle =\int _{0}^{\f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}
라구에르 다항식 n ! Ln 셰퍼 수열이고
d d x L n = ( d d x − 1 ) L n − 1 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}} L_{n}=\왼쪽({\frac {d}{dx}-1\오른쪽) L_{n-1}. }
결합학에서 루크 다항식 은 라구에르 다항식과 거의 같으며, 변수의 기본적인 변화까지 있다. 트리코미-칼리츠 다항식 을 자세히 보십시오.
라구에르 다항식은 양자역학, 슈뢰딩거 방정식 의 해결방식의 방사형 부분에서 1전자 원자에 대해 발생한다. 그들은 또한 위상 공간의 양자역학 에서 오실레이터 시스템의 정적 위그너 기능을 설명한다. 그들은 Morse 전위 와 3D 등방성 고조파 오실레이터 의 양자역학에서 추가로 진입한다.
물리학자들은 때때로 여기서 사용되는 정의보다 n !의 인수에 의해 더 큰 라구에르 다항식들에 대한 정의를 사용한다. (따라서, 일부 물리학자들은 소위 연관된 라구에르 다항식의 정의를 다소 다르게 사용할 수도 있다.)
처음 몇 개의 다항식 처음 몇 개의 Laguerre 다항식:
n L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)\,} 0 1 1\displaystyle 1\,} 1 − x + 1 {\displaystyle -x+1\,} 2 1 2 ( x 2 − 4 x + 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{2}}(x^{2}-4x+2)\,} 3 1 6 ( − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{6}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,} 4 1 24 ( x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{24}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,} 5 1 120 ( − x 5 + 25 x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{120}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,} 6 1 720 ( x 6 − 36 x 5 + 450 x 4 − 2400 x 3 + 5400 x 2 − 4320 x + 720 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{1}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+2)\,},} n 1 n ! ( ( − x ) n + n 2 ( − x ) n − 1 + . . . + n ( n ! ) ( − x ) + n ! ) {\displaystyle {\tfrac {1}{n!}(-x)^{n}+n^{2}(-x)^{n-1}+... +n({n!}(-x)+n!)\,}
재귀 정의, 닫힌 형태 및 생성 함수 또한 처음 두 개의 다항식을 다음과 같이 정의하면서 반복적으로 Laguerre 다항식을 정의할 수 있다.
L 0 ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}(x)=1} L 1 ( x ) = 1 − x {\displaystyle L_{1}(x)=1-x} 그리고 1 1에 대해 다음과 같은 반복 관계 를 사용한다. L k + 1 ( x ) = ( 2 k + 1 − x ) L k ( x ) − k L k − 1 ( x ) k + 1 . {\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {(2k+1-x) L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)}{k+1}.} 더 나아가 x L n ′ ( x ) = n L n ( x ) − n L n − 1 ( x ) . {\displaystyle xL'_{n}(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x). }
일부 경계 값 문제를 해결할 때 특성 값은 다음과 같이 유용할 수 있다.
L k ( 0 ) = 1 , L k ′ ( 0 ) = − k . {\displaystyle L_{k}(0)=1, L_{k}'(0)=-k. }
닫힌 형태는
L n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( − 1 ) k k ! x k . {\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k! }}}x^{k}. }
마찬가지로 이들을 위한 생성함수도 다음과 같다.
∑ n = 0 ∞ t n L n ( x ) = 1 1 − t e − t x / ( 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\nft }t^{n} L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}e^{-tx/(1-t)}. }
음수 지수의 다항식은 양수 지수를 사용하여 표시할 수 있다.
L − n ( x ) = e x L n − 1 ( − x ) . {\displaystyle L_{-n}(x)=e^{x}L_{n-1}(-x) }
일반화된 라구에르 다항식 임의의 실제 α에 대해 미분 방정식의[2]
x y ″ + ( α + 1 − x ) y ′ + n y = 0 (\displaystyle x\,y")+\왼쪽(\displaystyle x\,y")+n\,y=0} 일반화된 Laguerre 다항식 또는 연관된 Laguerre 다항식 이라고 불린다.
또한 일반화된 Laguerre 다항식을 재귀적으로 정의하여 처음 두 다항식을 다음과 같이 정의할 수 있다.
L 0 ( α ) ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1} L 1 ( α ) ( x ) = 1 + α − x {\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=1+\alpha -x}
그리고 1 1에 대해 다음과 같은 반복 관계 를 사용한다.
L k + 1 ( α ) ( x ) = ( 2 k + 1 + α − x ) L k ( α ) ( x ) − ( k + α ) L k − 1 ( α ) ( x ) k + 1 . {\displaystyle L_{k+1}^{(\alpha )}^{\frac(x)={\frac {(2k+1+\alpha -x)L_{k}^{k+\alpha )}(x)-(x)-(\alpha )L_{k-1}^{k-1}(x){k+1}.{k+1}.{k+1}}}}}.
단순 Laguerre 다항식은 일반화된 Laguerre 다항식의 특별한 경우 α 0 이다.
L n ( 0 ) ( x ) = L n ( x ) . {\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x). }
그들을 위한 로드리게스 공식은
L n ( α ) ( x ) = x − α e x n ! d n d x n ( e − x x n + α ) = x − α ( d d x − 1 ) n n ! x n + α . {\displaystyle {\reasoned} L_{n}^{(\alpha )}(x)&={x^{-\alpha }e^{x} \overn n! }}{d^{n} \over dx^{n}}\왼쪽(e^{-x}x^{n+\i1\right)\\\[4pt]&=x^{-\i1}{\fract{\frac}{dx}-1\right) ^{n}}{n! }}}x^{n+\cHB }. \end{정렬}}}
그들을 위한 생성 기능은
∑ n = 0 ∞ t n L n ( α ) ( x ) = 1 ( 1 − t ) α + 1 e − t x / ( 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\nft }t^{n} L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{1-t)^{\alpha +1}e^{-tx/(1-t)}. }
처음 몇 개의 일반화된 Laguerre 다항식, Ln (k ) (x ) 일반화된 Laguerre 다항식의 명시적 예 및 속성 라그레 함수는 합체초기하함수 와 쿠머의 변환으로[3] L n ( α ) ( x ) := ( n + α n ) M ( − n , α + 1 , x ) . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x): ={n+\alpha \n}M(-n,\alpha +1,x) 선택 } 여기서 n αn {\ textstyle {n+\required n} 이항 계수 다. n 이 정수일 경우 함수는 n 의 다항식으로 감소한다. 그것은 대체적인 표현을[4] L n ( α ) ( x ) = ( − 1 ) n n ! U ( − n , α + 1 , x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )^{\frac {(-1)^{n}}{n!}{n!}U(-n,\alpha +1,x)} 금머의 제2종 기능 면에서는 이러한 일반화된 Laguerre 다항식 n 도에 대한 닫힌 형태는 다음과[5] L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n + α n − i ) x i i ! {\displaystyle L_{n}^{n}^{n(\alpha )}=\sum _{i=0}^{n(1)^{n+\alpha \선택 n-i}{\frac {x^{i}}{i}}{i! }}} 제품의 분화를 위한 라이프니츠의 정리 를 로드리게스의 공식에 적용함으로써 도출되었다. 처음 몇 가지 일반화된 Laguerre 다항식은 다음과 같다. L 0 ( α ) ( x ) = 1 L 1 ( α ) ( x ) = − x + ( α + 1 ) L 2 ( α ) ( x ) = x 2 2 − ( α + 2 ) x + ( α + 1 ) ( α + 2 ) 2 L 3 ( α ) ( x ) = − x 3 6 + ( α + 3 ) x 2 2 − ( α + 2 ) ( α + 3 ) x 2 + ( α + 1 ) ( α + 2 ) ( α + 3 ) 6 {\displaystyle {\reasoned} L_{0}^{{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+(\alpha +1)\\\ L_{2}^{{2}^{(\alpha )}-{\frac{x^{2}}-{2}}-(\alpha +2)+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +1)}{2}}\\\ L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}} 선행 항의 계수 는 (-1)/n n !; 0의 값인 상수 항은 L n ( α ) ( 0 ) = ( n + α n ) = n α Γ ( α + 1 ) + O ( n α − 1 ) ; {\displaystyle L_{n}^{n(\alpha )}(0)={n+\alpha \n}={\frac {n^{\alpha }}}}{\Gamma(\alpha +1)}}}}+ O\왼쪽(n^{\alpha -1}\오른쪽); } 만약 αnon-negative이 있다면, Ln(α)n다 진짜 엄격하게 긍정적인 뿌리(임((− 1)n− 나는 나는 n − 나는(α))나는 갈0n{\displaystyle \left(())^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha)}\right)_{i=0}^{n}}은 슈투름 체인), 이들은 모두 간격(0, n+α+(n− 1)n+α 뻗는다.{\displaystyle \left(0,n+\alpha+.(n-1 ){\sqrt{n+\}}\\\오른쪽]. } [citation needed 큰 n에 대한 다항식들의 점근거동(polyomials)은 다음과 같이 주지만, 고정 α 와 x > 0 은 다음과[6] [7] L n ( α ) ( x ) = n α 2 − 1 4 π e x 2 x α 2 + 1 4 죄를 짓다 ( 2 n x − π 2 ( α − 1 2 ) ) + O ( n α 2 − 3 4 ) , L n ( α ) ( − x ) = ( n + 1 ) α 2 − 1 4 2 π e − x / 2 x α 2 + 1 4 e 2 x ( n + 1 ) ⋅ ( 1 + O ( 1 n + 1 ) ) , 디스플레이 스타일 {\displaystyle}& L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\sin \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)\right)+ O\\left(n^{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}\오른쪽),\\[6pt]& L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x/2}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right),\end{aligned}}} 그리고 요약: L n ( α ) ( x n ) n α ≈ e x / 2 n ⋅ J α ( 2 x ) x α , {\displaystyle {\frac {L_{n}^{(\alpha )}\왼쪽({\frac {x}{n}}\오른쪽) }}{n^{\alpha }}}\관련 e^{x/2n}\cdot {\frac {J_{\alpha }\왼쪽(2{\sqrt {x}\오른쪽) }}{{\sqrt{x}^{\laim }}} 여기서 J α {\ displaystyle J_{\alpha }} 베셀 함수 다. 등고선 적분으로 위에 지정된 생성 함수를 고려할 때 다항식은 등고선 적분 으로 표현될 수 있다.
L n ( α ) ( x ) = 1 2 π i ∮ C e − x t / ( 1 − t ) ( 1 − t ) α + 1 t n + 1 d t , {\displaystyle L_{n}^{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}\point _{C}{\frac{e^{-xt/(1-t)}}}{{n+1}}},}} 등고선이 1에서 본질적인 특이점을 둘러싸지 않고 반시계 방향으로 원점을 한 바퀴 돈다.
재발관계 Laguerre 다항식:[8]
L n ( α + β + 1 ) ( x + y ) = ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) L n − i ( β ) ( y ) . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)^{{n+y)=\sum _{n=0}^{n_{i}^{i}^{(x)L_{n-i}^{n-i}^{\beta )}}(y)}. }
라구에르 다항식들은 재발 관계를 만족시킨다.
L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n L n − i ( α + i ) ( y ) ( y − x ) i i ! , {\displaystyle L_{n}^{n(\alpha )^{n(x)=\sum _{n=0}^{n_{n-i}^{n_{n-i}^{(\alpha +i)}{\frac {(y-x)^{i}}}{i! }},} 특히 L n ( α + 1 ) ( x ) = ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{n(\alpha +1)^{x(x)=\sum _{n=0}^{n_{n}^{{n_{n}^{(\alpha )}(x)}} 그리고 L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( α − β + n − i − 1 n − i ) L i ( β ) ( x ) , {\displaystyle L_{n}^{n(\alpha )^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \선택 n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),} 또는 L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( α − β + n n − i ) L i ( β − i ) ( x ) ; {\displaystyle L_{n}^{n(\alpha )^{n}{\i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \n 선택 n-i}L_{i}^{(\beta -i)};} 게다가 L n ( α ) ( x ) − ∑ j = 0 Δ − 1 ( n + α n − j ) ( − 1 ) j x j j ! = ( − 1 ) Δ x Δ ( Δ − 1 ) ! ∑ i = 0 n − Δ ( n + α n − Δ − i ) ( n − i ) ( n i ) L i ( α + Δ ) ( x ) = ( − 1 ) Δ x Δ ( Δ − 1 ) ! ∑ i = 0 n − Δ ( n + α − i − 1 n − Δ − i ) ( n − i ) ( n i ) L i ( n + α + Δ − i ) ( x ) {\displaystyle {\reasoned} L_{n}^{(\alpha )}-(x)-\sum _{j=0}^{\\ 델타 -1}{n+\alpha \n-j}(1)^{j}{\frac{x^{j}}{j! }}&=(-1)^{\ 델타 }{\frac {x^{\ 델타 }{{(\Delta -1)! }}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \n-\delta -i}{(n-i){n \n \}}}선택 L_{i}^{(\알파 +\Delta )}\(x)\[6pt]&=(-1)^{\ 델타 }{\frac {x^{\ 델타 }{{(\Delta -1)! }}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\알파 -i-1 \n-\Delta -i}{(n-i){n \선택 i}}}}} L_{i}^{(n+\알파 +\Delta -i)}(x)\end{aigned}}}}
그것들은 4개의 3점 법칙을 도출하는 데 사용될 수 있다.
L n ( α ) ( x ) = L n ( α + 1 ) ( x ) − L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) = ∑ j = 0 k ( k j ) L n − j ( α + k ) ( x ) , n L n ( α ) ( x ) = ( n + α ) L n − 1 ( α ) ( x ) − x L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) , 또는 x k k ! L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( n + i i ) ( n + α k − i ) L n + i ( α − k ) ( x ) , n L n ( α + 1 ) ( x ) = ( n − x ) L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) + ( n + α ) L n − 1 ( α ) ( x ) x L n ( α + 1 ) ( x ) = ( n + α ) L n − 1 ( α ) ( x ) − ( n − x ) L n ( α ) ( x ) ; {\displaystyle {\reasoned} L_{n}^{{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n1}^{{n-1}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)=(x)=\sum _{j=0}^{k }}{k \ j}L_{n-j}^{(\알파 +k)}(x),\\[10pt]n 선택 L_{n}^{n}^{(\alpha )}(x)(x)&=(n+\alpha ){n-1}^{{n-1}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\[10pt]> {\text{or}\\\frac {x^{k}}{k! }}}{{n}^{{n}^{n(\alpha )}^{k}-=\sum _{i=0}^{n}-i}{n+i \선택 k-i_{n+i}^{n_{n+i}^{n(\alpha -k)}^{x),\\\[10pt]n L_{n}^{{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}+(x+\alpha )L_{n-1}^{n-1}^{n-1}(x)\[10pt]x]x L_{n}^{{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{n-1}^{(x)-(n-x)L_{n}^{n(\alpha )}(x);\end{aligned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
그들은 결합하여 이와 같은 추가적인 유용한 재발 관계를 제공한다.
L n ( α ) ( x ) = ( 2 + α − 1 − x n ) L n − 1 ( α ) ( x ) − ( 1 + α − 1 n ) L n − 2 ( α ) ( x ) = α + 1 − x n L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) − x n L n − 2 ( α + 2 ) ( x ) {\displaystyle {\reasoned} L_{n}^{{n}^{(\alpha )}(x)&=\왼쪽(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\오른쪽) L_{n-1}^{(\alpha )}-(x)-\좌(1+{\frac {\alpha -1}{n}\우) L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\[10pt]& ={\frac {\alpha +1-x}{n}{n}{n1}^{{n}{n}{n}{n}{n-2}^{{n-2}^{{n-2}}(\alpha +2)}(x)\end{aigned}}}}}}}}}}}}}
L n α x {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)} 가 α alpha } n {\displaystyle n} 때문에 부분분수분해성 이 있다.
n ! L n ( α ) ( x ) ( α + 1 ) n = 1 − ∑ j = 1 n ( − 1 ) j j α + j ( n j ) L n ( − j ) ( x ) = 1 − ∑ j = 1 n x j α + j L n − j ( j ) ( x ) ( j − 1 ) ! = 1 − x ∑ i = 1 n L n − i ( − α ) ( x ) L i − 1 ( α + 1 ) ( − x ) α + i . {\displaystyle}{\frac {n!\, L_{n}^{(\alpha )}(x)}{(\alpha +1)_{n}}}&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}\,\,{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)! }}\\\&=1-x\sum _{i=1}{n}{\frac {L_{n-i}^{(-)L_{n-i}}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}{\alpha +i}}{\alpha +i}}}. \end{정렬}}} 두 번째 동일성은 다음 과 같은 정수로 따르며, L n α x {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)} ( − x ) i i ! L n ( i − n ) ( x ) = ( − x ) n n ! L i ( n − i ) ( x ) . {\displaystyle {\frac {(-x)^{i}{i! }}}{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n! }}}}{{i}^{(n-i)}(x). } 세 번째 동일성에 대해서는 본 섹션의 네 번째와 다섯 번째 동일성을 적용한다.
일반화된 라게르 다항식의 파생상품 일반화된 Laguere 다항식 k 시간의 파워 시리즈 표현을 구별하면
d k d x k L n ( α ) ( x ) = { ( − 1 ) k L n − k ( α + k ) ( x ) 만일 k ≤ n , 0 그렇지 않으면 {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\begin{cases}(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)&{\text{if }}k\leq n,\\0&{\text{otherwise. }}}\end{case}}
이는 위의 공식의 특별한 경우(α 0 )를 가리킨다: 정수 α k
L n ( k ) ( x ) = ( − 1 ) k d k L n + k ( x ) d x k , {\displaystyle L_{n}^{(k)}^{(-1)^{k}{\frac {d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}}}}},} k 에 의한 이동은 파생상품에 대한 일반적인 괄호 표기법과 혼동을 일으키기도 한다.
더욱이 다음 방정식은 다음을 포함한다.
1 k ! d k d x k x α L n ( α ) ( x ) = ( n + α k ) x α − k L n ( α − k ) ( x ) , {\displaystyle {\frac {1}{k! }}{{\frac{d^{k}}{dx^{}}x^{\l_{n}^{\lpha )}(x)={n+\alpha \k^{}{}^{}x,},} 카우치의 공식으로 일반화해서 L n ( α ′ ) ( x ) = ( α ′ − α ) ( α ′ + n α ′ − α ) ∫ 0 x t α ( x − t ) α ′ − α − 1 x α ′ L n ( α ) ( t ) d t . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.}
두 번째 변수 α 에 관한 파생상품은 형태를 가진다.[9]
d d α L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n − 1 L i ( α ) ( x ) n − i . {\d}{d}{d\alpha }}{n_{n}^{}}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}}{n-i}}}}}. } 이는 아래 등고선 적분 표현을 통해 명백하다.
일반화된 라게르 다항식들은 미분 방정식을 따른다.
x L n ( α ) ′ ′ ( x ) + ( α + 1 − x ) L n ( α ) ′ ( x ) + n L n ( α ) ( x ) = 0 , {\displaystyle xL_{n}^{(\alpha ){(\alpha )\prime \premy }(x)+(\alpha +1-x) L_{n}^{{n}^{(\alpha )\premy }}+nL_{n}^{(\alpha )}=0,} 일반적인 라구에르 다항식의 k번째 파생상품에 의해 준수되는 방정식과 비교될 수 있다.
x L n [ k ] ′ ′ ( x ) + ( k + 1 − x ) L n [ k ] ′ ( x ) + ( n − k ) L n [ k ] ( x ) = 0 , {\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \premy \premy }(x)+(k+1-x) L_{n}^{[k]\프라임 }(x)+(n-k) L_{n}^{[k]}(x)=0,} 여기서 L n k ] x ≡ k L n x x k {\ displaystyle L_{n}^{ }(x)\equiv {\frac {d^{ {n}(x dx^{k}}}}}}}}}}}.
스터름-리우빌 형식에서 미분 방정식은
− ( x α + 1 e − x ⋅ L n ( α ) ( x ) ′ ) ′ = n ⋅ x α e − x ⋅ L n ( α ) ( x ) , {\displaystyle -\n(x^{\alpha +1}e^{-x}\cdot L_{n}^{n}^{x)(x)^{\premy }\오른쪽)=n\cdot x^{\cdot x^{-e^{-x}\cdot L_{n(x)},},},},}}}},}}}}}}}},}}}}}}},},}
이것은 L (α) n n 의 고유 벡터임을 보여준다.
직교성 일반화된 Laguerre 다항식은 가중 함수α −x : [10]
∫ 0 ∞ x α e − x L n ( α ) ( x ) L m ( α ) ( x ) d x = Γ ( n + α + 1 ) n ! δ n , m , {\displaystyle \int _{0}^{\x^{\x^{-x}L_{n}^{x(x)L_{m}^{x(\alpha )}(x)dx={\frac {\Amma(n+\alpha +1){n! }}}\1908 _{n,m}}
그 다음으로부터.
∫ 0 ∞ x α ′ − 1 e − x L n ( α ) ( x ) d x = ( α − α ′ + n n ) Γ ( α ′ ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infit }x^{-x}L_{n}^{-}^{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \n 선택 n}\감마(\alpha') }
γ( x α 1 1 {\displaystyle \Gamma(x,\alpha +1,1
∫ 0 ∞ L n ( α ) ( x ) L m ( α ) ( x ) Γ ( x , α + 1 , 1 ) d x = ( n + α n ) δ n , m , {\displaystyle \int_{0}^{n}^{{n}^{(\lpha )}(x)L_{m}^{m}^{(\alpha )}(x)\감마(x,\alpha +1,1)dx={n+\delta \{n,m}을 선택하십시오.
연관된 대칭 커널 다항식의 표현(크리스토펠-다르복스 공식) [citation needed
K n ( α ) ( x , y ) := 1 Γ ( α + 1 ) ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) L i ( α ) ( y ) ( α + i i ) = 1 Γ ( α + 1 ) L n ( α ) ( x ) L n + 1 ( α ) ( y ) − L n + 1 ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) x − y n + 1 ( n + α n ) = 1 Γ ( α + 1 ) ∑ i = 0 n x i i ! L n − i ( α + i ) ( x ) L n − i ( α + i + 1 ) ( y ) ( α + n n ) ( n i ) ; {\displaystyle {\begin}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&: ={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{ \frac{x^{i}}{i! }}{{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \선택 n}{n 선택 i};\end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
재귀적으로
K n ( α ) ( x , y ) = y α + 1 K n − 1 ( α + 1 ) ( x , y ) + 1 Γ ( α + 1 ) L n ( α + 1 ) ( x ) L n ( α ) ( y ) ( α + n n ) . {\displaystyle K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}. }
게다가[clarification needed
y α e − y K n ( α ) ( ⋅ , y ) → δ ( y − ⋅ ) . \displaystyle y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\delta(y-\cdot)로. }
투란의 불평등 은 여기서 파생될 수 있는데, 그것은 다음과 같다.
L n ( α ) ( x ) 2 − L n − 1 ( α ) ( x ) L n + 1 ( α ) ( x ) = ∑ k = 0 n − 1 ( α + n − 1 n − k ) n ( n k ) L k ( α − 1 ) ( x ) 2 > 0. {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0. }
수소 원자 의 양자 기계적 처리에는 다음과 같은 적분 이 필요하다.
∫ 0 ∞ x α + 1 e − x [ L n ( α ) ( x ) ] 2 d x = ( n + α ) ! n ! ( 2 n + α + 1 ) . {\displaystyle \int _{0}^{\nft }x^{\nft }e^{-x}\left[] L_{n}^{(\alpha )}}(x)(\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )! }}{n!}(2n+\cHB +1). }
시리즈 확장 함수에 (공식) 영상 시리즈 확장을 허용
f ( x ) = ∑ i = 0 ∞ f i ( α ) L i ( α ) ( x ) . {\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x). }
그러면
f i ( α ) = ∫ 0 ∞ L i ( α ) ( x ) ( i + α i ) ⋅ x α e − x Γ ( α + 1 ) ⋅ f ( x ) d x . {\displaystyle f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.}
시리즈는 다음과 같은 경우에만 연관 된 힐버트 2 0, ∞]
‖ f ‖ L 2 2 := ∫ 0 ∞ x α e − x Γ ( α + 1 ) f ( x ) 2 d x = ∑ i = 0 ∞ ( i + α i ) f i ( α ) 2 < ∞ . {\displaystyle \ f\ _{L^{2}}^{2}: =\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}} f(x) ^{2}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{i+\alpha \choose i} f_{i}^{(\alpha )} ^{2}<\infty .}
확장의 추가 예 모노미알 은 다음과 같이 표현된다.
x n n ! = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n + α n − i ) L i ( α ) ( x ) , {\displaystyle {\frac{x^{n}}{n! }}}=\sum _{i=0}^{n(1)^{n}{n+\alpha \선택 n-i}L_{i}^{{i}^{(\alpha )}(x),} 이항체 가 파라메트리제이션(parametrization)을 갖는 동안 ( n + x n ) = ∑ i = 0 n α i i ! L n − i ( x + i ) ( α ) . {\displaystyle {n+x \n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\frac ^{i}}}{i! }}}{n_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ). }
이것은 바로 로 이어진다.
e − γ x = ∑ i = 0 ∞ γ i ( 1 + γ ) i + α + 1 L i ( α ) ( x ) 수렴성 iff. ℜ ( γ ) > − 1 2 {\displaystyle e^{-\property x}=\sum _{i=0}^{\frac {\property ^{i}}{{(1+\property )^{i+\pair +1}}}}} L_{i}^{{{i}^{(\alpha )}(x)\qquad {\text{convergent ifff }}}}\re(\gamma )}-{\tfrac {1}{1}:{2}}:} 지수함수의 경우 불완전한 감마 함수 는 다음을 나타낸다. Γ ( α , x ) = x α e − x ∑ i = 0 ∞ L i ( α ) ( x ) 1 + i ( ℜ ( α ) > − 1 , x > 0 ) . {\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=x^{-e^}\sum _{i=0}^{\frac {L_{i}^{(\alpha )}{1+i}}}}\qquad \re(\alpha )-1,x0\\ }
양자역학에서 양자역학에서 수소와 유사 한 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식은 구형 좌표에서 변수를 분리하여 정확하게 해결할 수 있다. 파형 함수의 방사형 부분은 (일반화된) 라구에르 다항식이다.[11]
Franck-Condon 근사치의 바이브론 전환 도 Laguerre 다항식을 사용하여 설명할 수 있다.[12]
곱셈 정리 Erdelyi 는 다음의 두 곱하기 이론들 을 제시한다.
t n + 1 + α e ( 1 − t ) z L n ( α ) ( z t ) = ∑ k = n ∞ ( k n ) ( 1 − 1 t ) k − n L k ( α ) ( z ) , e ( 1 − t ) z L n ( α ) ( z t ) = ∑ k = 0 ∞ ( 1 − t ) k z k k ! L n ( α + k ) ( z ) . {\displaystyle {\displaysty}&t^{n+1+\properties }e^{(1-t)z} L_{n}^{n}^{(\alpha )}}=\sum _{k=n}^{\influt }{{1}\{t}}{k-n_{k}^{k_{n}^{k_{n}^{n}^(z),\[6pt]&e^{1-t}z} L_{n}^{{n}^{(\알파 )}=\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac{(1-t)^{k}z^{k}}}{k! }}}{n}^{(\알파 +k)}(z)}. \end{정렬}}}
헤르미테 다항식과의 관계 일반화된 Laguerre 다항식들은 Hermite 다항식들 과 관련이 있다.
H 2 n ( x ) = ( − 1 ) n 2 2 n n ! L n ( − 1 / 2 ) ( x 2 ) H 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n 2 2 n + 1 n ! x L n ( 1 / 2 ) ( x 2 ) {\displaystyle {\reasoned} H_{2n}(x)&=(-1)^{n2}^{2n}n! L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\[4pt] H_{2n+1}(x)(-1)^{n2}^{2n+1}n!x L_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aigned}}}} 여기서 H n x )exp(-x 2 ) 에 기초한 헤르미테 다항식 , 이른바 "피시스트 버전"이다.
이 때문에 일반화된 라구에르 다항식은 양자 고조파 발진기 의 치료에서 발생한다.
초기하 함수에 대한 관계 Laguerre 다항식은 초기하 함수 , 특히 결합초하계 함수 의 관점에서 정의될 수 있다.
L n ( α ) ( x ) = ( n + α n ) M ( − n , α + 1 , x ) = ( α + 1 ) n n ! 1 F 1 ( − n , α + 1 , x ) {\displaystyle L_{n}^{n(\alpha )}^(x)={n+\alpha \n1}M(-n,\alpha +1,x)={\frac(\alpha +1)_{n}{n! }}\,_{1}F_{1}{1}(-n,\알파 +1,x)} 여기 n {\ displaystyle (a)_{n}} Pochhammer 기호 다.
하디-힐 공식 일반화된 라구에르 다항식들은 하디-힐 공식을[14] [15]
∑ n = 0 ∞ n ! Γ ( α + 1 ) Γ ( n + α + 1 ) L n ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) t n = 1 ( 1 − t ) α + 1 e − ( x + y ) t / ( 1 − t ) 0 F 1 ( ; α + 1 ; x y t ( 1 − t ) 2 ) , {\displaystyle \sum \{n=0}^{\inflat }{\frac {n!\,\Gamma \left(\alpha +1\오른쪽)}{\Gamma \left(n+\alpha +1\오른쪽)}}}}}}}}}} L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-(x+y)t/(1-t)}\,_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\frac {xyt}{(1-t)^{2}}}\right),} 여기서 왼쪽 α {\displaystyle \alpha >-1} t 1 {\displaystyle t <1} . 0 F 1 ( ; α + 1 ; z ) = Γ ( α + 1 ) z − α / 2 I α ( 2 z ) , {\displaystyle \,_{0}F_{1}(;\알파 +1;z)=\,\감마(\알파 +1)z^{-\알파 /2} I_{\alpha }\왼쪽(2{\sqrt {z}\오른쪽),} (일반화된 초기하 함수 참조), 이 또한 다음과 같이 기록할 수 있다. ∑ n = 0 ∞ n ! Γ ( 1 + α + n ) L n ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) t n = 1 ( x y t ) α / 2 ( 1 − t ) e − ( x + y ) t / ( 1 − t ) I α ( 2 x y t 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflat }{\frac {n! }}{\감마(1+\알파 +n)}}} L_{n}^{{n}^{n}^{n}^{n}^{n}}(y)t^{n}={\frac {1}{(xyt)^{\alpha /2}(1-t)}e^{-(x+y)/(1-t)}e^{-(x+y)} I_{\alpha }\왼쪽({\frac {2{\\sqrt{xyt}}}}{1-t}\오른쪽). } 이 공식은 헤르미테 다항식 을 위한 메흘러 커널 을 일반화한 것으로, 위에서 주어진 라구에르와 헤르미테 다항식의 관계를 이용하여 그것에서 회복할 수 있다.
물리학 스케일링 협약 일반화된 라구에르 다항식은 수소 원자 궤도에 대한 양자파 기능을 설명하기 위해 사용된다. 이 주제에 대한 입문 문헌에서 일반화된 라구에르 다항식에는 이 글에서 제시된 스케일링과는 다른 스케일링이 사용된다.[16] [17] [18] 여기서 취해지는 관례에서 일반화된 라구에르 다항식들은 다음과 같이 표현될 수 있다.
L n ( α ) ( x ) = Γ ( α + n + 1 ) Γ ( α + 1 ) n ! 1 F 1 ( − n ; α + 1 ; x ) , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma(\alpha +n+1) }{\감마(\알파 +1)n! }}\,_{1}F_{1}(-n;\알파 +1;x), }
여기서 1 F 1 a x {\displaystyle \,_{1}F_{ 1}(a;b;x)} 결합초기하함수 다. 와 같은 물리학 문헌에서 일반화된 라게르 다항식들은 대신 다음과 같이 정의된다.
L ¯ n ( α ) ( x ) = [ Γ ( α + n + 1 ) ] 2 Γ ( α + 1 ) n ! 1 F 1 ( − n ; α + 1 ; x ) . {\displaystyle {\L}_{n}^{{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\frac[\gamma(\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma(\alpha +1)n! }}\,_{1}F_{1}{1}(-n;\알파 +1;x). }
물리학자 버전은 표준 버전과 관련된다.
L ¯ n ( α ) ( x ) = ( n + α ) ! L n ( α ) ( x ) . {\displaystyle {\l}_{n}^{(\alpha )}(x)=(n+\alpha )! L_{n}^{(\alpha )}(x). }
물리학 문헌에는 덜 자주 쓰이기는 하지만 또 다른 관습이 있다. 이 관례에 따라 라구에르 다항식들은 다음에 의해 주어진다.
L ~ n ( α ) ( x ) = ( − 1 ) α L ¯ n − α ( α ) . {\displaystyle {\tilde {{L}_{n}^{(\alpha )}^{(x)=-1)^{\alpha }{\bar{{L}_{n-\alpha }^{\alpha )}. }
참고 항목 메모들 ^ N. Sonine (1880). "Recherches sur les fonctions cylindriques et le développement des fonctions continues en séries" . Math. Ann. 16 (1): 1–80. doi :10.1007/BF01459227 . S2CID 121602983 . ^ A&S 페이지 781 ^ A&S 페이지 509 ^ A&S 페이지 510 ^ A&S 페이지 775 ^ 쎄게, 페이지 198. ^ D. Borwein, J. M. Borwein, R. E. Crandall, "유효한 라구에르 점증약물", SIAM J. Number . Number. 논어, 제46권(2008), 제6권, 페이지 3285–3312 도이 :10.1137/07068031X ^ A&S 방정식(22.12.6), 페이지 785 ^ Koepf, Wolfram (1997). "Identities for families of orthogonal polynomials and special functions". Integral Transforms and Special Functions . 5 (1–2): 69–102. CiteSeerX 10.1.1.298.7657 doi :10.1080/10652469708819127 . ^ "Associated Laguerre Polynomial" .^ Ratner, Schatz, Mark A., George C. (2001). Quantum Mechanics in Chemistry . 0-13-895491-7: Prentice Hall. pp. 90–91. {{cite book }}: CS1 maint : 위치(링크 ) ^ Jong, Mathijs de; Seijo, Luis; Meijerink, Andries; Rabouw, Freddy T. (2015-06-24). "Resolving the ambiguity in the relation between Stokes shift and Huang–Rhys parameter" . Physical Chemistry Chemical Physics . 17 (26): 16959–16969. Bibcode :2015PCCP...1716959D . doi :10.1039/C5CP02093J . hdl :1874/321453 . ISSN 1463-9084 . PMID 26062123 . ^ C. Truesdell, "특수 기능에 대한 추가 및 곱셈 이론에 대하여 ", 국립과학원 수학교육회 (1950) 페이지 752–757. ^ Szegő, 페이지 102. ^ W. A. Al-Salam(1964), "라구에르 와 기타 다항식의 운영적 표현", Duke Math J. 31 (1): 127–142. ^ Griffiths, David J. (2005). Introduction to quantum mechanics (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall. ISBN 0131118927 ^ Sakurai, J. J. (2011). Modern quantum mechanics (2nd ed.). Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0805382914 ^ a b Merzbacher, Eugen (1998). Quantum mechanics (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 0471887021 ^ Abramowitz, Milton (1965). Handbook of mathematical functions, with formulas, graphs, and mathematical tables . New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0 ^ Schiff, Leonard I. (1968). Quantum mechanics (3d ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0070856435 ^ Messiah, Albert (2014). Quantum Mechanics . Dover Publications. ISBN 9780486784557 ^ Boas, Mary L. (2006). Mathematical methods in the physical sciences (3rd ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471198260 참조 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22" . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .G. Szegő, 직교 다항식 , 제4판, Amer. 수학, 사회, 콜로크 제23권 아머 수학, 과학, 프로비던스, 리디아, 1975년 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 B . 스페인, M.G. 스미스, 수학물리학 기능 , 반 노스트랜드 라인홀드 컴퍼니, 1970년 런던. 10장에서는 라구에르 다항식을 다룬다. "Laguerre polynomials" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press , 2001 [1994]Eric W. Weisstein , "Laguerre Polyomial ", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.George Arfken and Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists . Academic Press. ISBN 978-0-12-059825-0 외부 링크
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)\\[4pt]&=x^{-\alpha }{\frac {\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}}{n!}}x^{n+\alpha }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3da75c424f96519163fefd32b0e64d06da87a94)
(는) 일반화된 
![{\displaystyle \left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\,\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268387cf6ed314caa46b2a11e87acbaf9695875d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\sin \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right),\\[6pt]&L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x/2}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65232999dd61f4298266965f24f79d6d0923b05)
(는) 
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e449381aff6f2b593def172ab03c17cb1bb57dfb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}L_{n-j}^{(\alpha +k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}\\{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x);\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c41078870f1a019f4dd86d6716be8fa960adbf8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc32e1d35979f9126c29a1b4fe1d3ae723d4641d)
(
도 
![{\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{[k]}(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d6805dbdf16f74423e00fc23ca5ea675eabd49)
![{\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94adaf2e2b6fca61a722420bcb1a66576e10593a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbc06de0ef9a87d70e951a09cacec0b7da13396)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb8646b87b220d879aec2c64ff9e7e15228b32a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419e3fd18bf2b0ef484d747b9670be1f38888684)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015273f34e288fc1847a90dd793e433e9dbb23d0)
(이 경우 상승 요인)을 나타내는 
![{\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bfdcde9315fd8f61b7556fb8b93652a9ba59f2)
