모스 포텐셜

물리학자 필립 M의 이름을 딴 모스 잠재력. Morse는 이원자 분자의 잠재적 에너지를 위한 편리한 원자간 상호작용 모델이다. 결합되지 않은 상태의 존재 등 결합파괴 효과를 명시적으로 포함하기 때문에 양자 조화 진동자보다 분자의 진동 구조에 대한 더 좋은 근사치다. 또한 실제 채권의 조화성과 오버론 및 결합 대역의 비제로 전환 확률을 설명한다. 모스 전위는 또한 원자와 표면 사이의 상호작용과 같은 다른 상호작용을 모형화하는 데 사용될 수 있다. 단순성(적합 매개변수 3개만 사용) 때문에 현대 분광학에서는 사용되지 않는다. 그러나, 그것의 수학적 형태는 분광 데이터를 적합시키기 위해 사용되는 가장 인기 있는 잠재적 에너지 함수인 MLR(Morse/Long-range) 전위에 영감을 주었다.

전위 에너지 함수

모스 전위(파란색) 및 고조파 발진기 전위(녹색) Ω으로 균등하게 간격을 두는 고조파 오실레이터 전위의 에너지 수준과 달리, Morse 전위 수준 간격은 에너지가 분리 에너지에 접근함에 따라 감소한다. 분리에너지 D는_e 최하위(v = 0) 진동 수준의 영점 에너지로 인해 분리에 필요한₀ 실제 에너지보다 크다.

모스 전위 에너지 함수는 형태다.

V'(r)=D_{e}(1-e^{-a(r-r_{e}})^{2}

여기서 $r$ ${\$ $displaystyle$ $r}$ 은 $r$ 원자 사이의 거리, $r_{e}$ $r_{e}$ ${\$ 는 $r_{e}$ 평형 결합 거리, $D_{e}$ e ${\$ 는 $D_{e}$ 우물 깊이(분산 원자에 대해 정의됨)이며 $,$ {\ $displaystyle$ a $}$ 은 전위의 '폭 $a$ '을 제어한다( $보다$ 작음 $).$ $a$ 즉, 우물이 클수록 더 크다. 본드의 분리 에너지는 우물 깊이에서 $E_{0}$ 영점 에너지 $E_{0}$ ${\$ 을 빼서 계산할 수 있다. 본드의 힘 상수( $V'(r)$ )는 테일러가 $r=r_{e}$ = $r=r_{e}$ e ${\$ r=r_{e} 주위에 $V'(r)$ 있는 $V'(r)$ ( r $V'(r)$ ) $V'(r)$ {\ $displaystyle V'(r)}$ 을(를 $a$ r = $r=r_{e}$ e {\ $displaysty r$ $=r_{e})$ 의 두 번째 파생형으로 확장하여 $r=r_{e}$ 확인할 수 있으며, 여기서 $a$ 는 ${\$ disparamaramarametern $.$

a={\sqrt {k_{e}/2D_{e}}},

여기서 $k_{e}$ $k_{e}$ ${\$ 는 $k_{e}$ 웰의 최소에서 힘의 상수다.

전위 에너지의 0은 임의적이기 때문에 모스 전위 방정식은 상수 값을 더하거나 빼서 얼마든지 다시 쓸 수 있다. 원자-표면 상호작용을 모델링하는 데 사용되면, 에너지 0을 다시 정의하여 Morse 전위가 될 수 있다.

V(r)=V'-D_{e_{e}=D_{e}(1-e^{-a(r-_{e}})^{2}-D_{e}}

보통 다음과 같이 쓰여 있다.

V(r)=D_{e}(e^{-2a(r-r_{e})}}-2e^{-a(r-r_{e}})}

여기서 $r$ $r$ 은(는) 이제 표면에 수직인 좌표가 된다 $r$ . 이 $r$ 는무한 r {\ $displaystyle$ r $}$ 에서 0에 접근하며 $r$ 최소 $-D_{e}$ - $-D_{e}$ $-D_{e}$ ${\$ 와 같음, $r=r_{e}$ r $r=r_{e}$ = $r=r_{e}$ $r=r_{e}$ ${\$ 모스 잠재력이 단거리 반발 용어(전자)와 장거리 매력 용어(후자)의 조합임을 분명히 보여준다. 레너드 존스의 잠재력

진동 상태 및 에너지

조화 발진기(회색)와 모스(검은색) 전위 곡선이 질소에 대한 동일한 진동 수준에 대한 고유 기능(하모니 발진기와 모스의 경우 녹색 및 파란색)과 함께 표시된다.

양자 조화 발진기와 마찬가지로 모스 전위의 에너지와 고유성은 연산자 방법을 사용하여 찾을 수 있다.^[1] 한 가지 접근방식은 해밀턴에 인자화 방법을 적용하는 것이다.

Morse probledinger 방정식 중 $\Psi _{n}(r)$ ( $\Psi _{n}(r)$ ) $\Psi _{n}(r)$ 및 $\Psi _{n}(r)$ $E_{n}$ ${\$ 과 같이 Morse 전위에 정지 상태를 쓰려면 다음과 같은 슈뢰딩거 방정식을 사용한다 $E_{n}$ .

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}:{\frac {\partial ^{2}}:{\partial r^{2}}}+V(r)\오른쪽)\PSI _{n}(r)=E_{n}\PSI _{n}(r),

새로운 변수를 도입하는 것이 편리하다.

x=ar{\text{;  }}x_{e}=ar_{e}{\text{;  }}\lambda ={\frac {\sqrt {2mD_{e}}}{a\hbar }}{\text{;  }}\varepsilon _{n}={\frac {2m}{a^{2}\hbar ^{2}}}E_{n}.

그런 다음 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 간단한 형태를 취한다.

\left(-{\frac {\partial ^{2}}: {\partial x^{2}}+V(x)\오른쪽)\Psi _{n}(x)=\varepsilon _{n}\Psi _{n}(x),

V(x)=\lambda ^{2}\좌(e^{-2\좌(x-x_{e}\우)}-2e^{-\좌(x-x_{e}\우)\우)).

그것의 고유값과 고유값은 다음과 같이 기록할 수 있다.^[2]^{[failed verification]}

\varepsilon _{n}=-\left(\data -n-{\frac {1}{1}{2}}\오른쪽)^{2},

어디에

n=0,1,\ldots ,\왼쪽[\flda -{\frac {1}{1}{2}}\오른쪽],

[x]는 x보다 작은 가장 큰 정수를 나타낸다.

\Psi _{n}(z)=N_{n}z^{\lambda -n-{\frac {1}{1}:{2}}: e^{-{\frac {1}{2}}z}L_{n}^{(2\lambda -2n-1)}(z),

여기서 $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ = $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ - $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ ( x $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ - $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ = $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ [ $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ ! ( $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ - $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ - 1 $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ ) ] $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ ( $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ - $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ ) $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ $z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}$ 2 {\ $displaysty z=2\lambda e^{-\\\\\lumbda$ e^{-\ $text(x-x_{e}\rig)}}}}{{{{{}}}}{{{{{{{{{n}}}}}}}}}}}}}}}\n!$ $\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma($ 2 $\lambda$ -n $)}}\right]^{\frac{1}{2$ }}:00 $}$ 및 $){\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}}(z)$ 는 $L_{n}^{(\alpha )}(z)$ 일반화된 Laguere:

L_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {z^{-\alpha }e^{z}}{n!}}{{\frac{d^{n}}}{dz^{n}}}\왼쪽(z^{n+\alpha }e^{-z}\right)={\frac {\gamma(\alpha +1)/\Alpha +1){n!}}\,_{1}F_{1}{1}(-n,\알파 +1,z),

좌표 연산자의 행렬 요소에 대한 다음과 같은 해석식도 존재한다.^[3]

\left\langle \Psi _{m} x \Psi _{n}\right\rangle ={\frac {2(-1)^{m-n+1}}{(m-n)(2N-n-m)}}{\sqrt {\frac {(N-n)(N-m)\Gamma (2N-m+1)m!}{\감마(2N-n+1)n!}}}.

$N=\lambda -1/2$ $m>n$ 은 $m>n$ > $m>n$ n {\ $displaystyle$ m $>n$ } $N=\lambda -1/2$ 및 N = $N=\lambda -1/2$ - 1 / $N=\lambda -1/2$ {\ $displaystyle$ N=\ $lambda -1/$ 2}에 유효하다 $N=\lambda -1/2$ 초기 변수의 고유값은 다음과 같은 형식을 갖는다.

E_{n}=h\nu _{0}(n+1/2)-{\frac {\frac }\\frac {\\flock[h\nu _{0}(n+1/2)\right]^{2}}:{4D_{e}}}

여기서 $n$ $n$ 은 $n$ 진동 양자수이고 $\nu _{0}$ 0 ${\$ 은 주파수의 단위를 가진다 $\nu _{0}$ . 후자는 다음을 통해 입자 질량 $,$ $m$ {\ $displaystyle m}$ 및 Morse 상수와 수학적으로 관련이 있다.

\nu _{0}={\frac {a}{2\pi }}{\sqrt {2D_{e}/m}}.

양자 고조파 오실레이터에서 진동 수준 사이의 에너지 간격은 $h\nu _{0}$ $h\nu _{0}$ $[\$ 에서 일정하지만, 인접 수준 간의 에너지는 Morse $v$ 에서 $v$ v{\ $displaystyle v}$ 이 증가함에 따라 감소한다 $h\nu _{0}$ 수학적으로 모스 레벨의 간격은

E_{n+1}-E_{n}=h\nnu _{0}-(n+1)(h\nu _{0}^{2}/2D_{e}\,

이 경향은 실제 분자에서 발견되는 조화성과 일치한다. $n_{m}$ 이 방정식은 n $n_{m}$ ${\$ 의 일부 값 이상으로 실패하며 여기서 $n_{m}$ $E(n_{m}+1)-E(n_{m})$ $E(n_{m}+1)-E(n_{m})$ $E(n_{m}+1)-E(n_{m})$ ) - $E(n_{m}+1)-E(n_{m})$ ( $E(n_{m}+1)-E(n_{m})$ $E(n_{m}+1)-E(n_{m})$ ) $E(n_{m}+1)-E(n_{m}}}$ 는 $E(n_{m}+1)-E(n_{m})$ 0 또는 음수로 계산된다. 구체적으로 말하자면

n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}

n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}

=

n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}

D

n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}

-

n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}

n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}

0

n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}

n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}

n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}

{\

}}}}{h

\nu_{0}}}}}}

정수 부분.

이 실패는 Morse probled에서 한정된 수의 바운드 수준과 바운드 $n_{m}$ 상태를 유지하는 일부 최대 $n_{m}$ $n_{m}$ ${\$ 에 기인한다. $n_{m}$ $n_{m}$ ${\$ 이상의 에너지의 경우 가능한 모든 $E_{n}$ 수준이 허용되며 $E_{n}$ n ${\$ 에 대한 방정식이 더 이상 유효하지 않다 $E_{n}$ $n_{m}$

$n_{m}$ $n_{m}$ ${\$ 이하 $n_{m}$ $E_{n}$ ${\$ 은(는) 비회전 이원자 분자의 참 진동 구조에 대한 좋은 근사치 입니다 $E_{n}$ . 실제로 실제 분자 스펙트럼은 일반적으로¹ 형태에 적합하다.

E_{n}/hc=\omega _{e}(n+1/2)-\omega _{e}\chi _{e}(n+1/2)^{2}\,

여기서 $\omega _{e}$ 상수 $\omega _{e}$ $\omega _{e}$ ${\$ 및 $\omega _{e}\chi _{e}$ $\omega _{e}\chi _{e}$ { $\omega _{e}\chi _{e}$ ${\$ 는 Morse 전위의 파라미터와 직접 관련될 수 있다 $\omega _{e}\chi _{e}$ .

치수 분석에서 분명히 알 수 있듯이, $\omega _{e}$ 이유로 마지막 방정식은 분광식 표기법을 사용하며 $,$ $E=\hbar \omega$ = $E=\hbar \omega$ $E=hc\omega$ $displaystyle$ $\$ $omega_$ { $e}$ 는 $\omega _{e}$ $Ω$ $e$ = $E=hc\omega$ $E=hc\omega$ {\ $displaystyle E=\hbaromega$ $}$ 에 의해 주어진 각도 주파수가 아니다 $E=\hbar \omega$

모스/장거리 전위

현대적(고해상도) 분광법에 Morse 형태를 유용하게 만든 Morse 전위의 확장은 MLR(Morse/Long-range) 전위다.^[4] MLR 전위는 잠재적 에너지 곡선에 의해 이원자 분자의 분광 및/또는 에너지 데이터를 나타내는 표준으로 사용된다. N₂,^[5] Ca₂,^[6] KLi,^[7] MgH,^[8]^[9]^[10] Li₂,^[4]^[11]^[12]^[13]^[9] ^[14]^[15]Cs₂₂,^[16] Sr, ^[9]^[17]ArXe,^[18] LiCa, LiNa₂,^[19]^[20] Br₂,^[21] Mg,^[22]^[23] HF, ^[22]^[23]HCl, ^[22]^[23]HBr,^[22]^[23] HI, ^[8]MgD₂,^[24] Be, ^[25]NaH의 여러 전자 상태에 사용되어 왔다.^[26] 보다 정교한 버전은 다원자 분자를 위해 사용된다.

참고 항목

참조

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