선형스팬

수학에서 벡터(벡터 공간으로부터)로 표시된 벡터(벡터 공간으로부터)의 세트 S의 선형 스팬(선형 선체^[1] 또는 just span이라고도 함)은 세트를 포함하는 가장 작은 선형 서브스페이스다.^[2][3] S를 포함하는 모든 선형 하위 영역의 교차점 또는 S 원소의 선형 결합 집합으로 특징지어질 수 있다. 그러므로 벡터 세트의 선형 스팬은 벡터 공간이다. 스팬은 모종과 모듈로 일반화할 수 있다.

벡터 공간 V가 집합 S의 범위임을 표현하기 위해, 일반적으로 S 스팬 V, S 생성 V, S 스팬 V, S에 의해 V가 생성됨, S는 V의 스패닝 세트, S는 V의 생성 세트.

정의

필드 K에 벡터 공간 V가 주어지면 벡터(필수 무한대는 아님)의 세트 S의 범위는 S를 포함하는 V의 모든 서브스페이스의 교차점 W로 정의된다. W는 S에 의해 또는 S에 있는 벡터에 의해 확장된 하위공간이라고 한다. 반대로 S를 W의 스패닝 세트라고 하는데, 우리는 S가 W의 스패닝 세트라고 한다.

또는 S의 범위는 위의 정의에서 따르는 S의 원소(벡터)의 모든 유한한 선형 결합의 집합으로 정의할 수 있다.^[4][5][6][7]

${\displaystyle \operatorname {span}(S)=\왼쪽\{{\왼쪽.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\;\right \;k\in \mathb {N},v_{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.}$

무한 S의 경우, 무한 선형 결합(즉, 그러한 합이 Banach 공간과 같이 어떻게든 정의된다고 가정하여 무한 합을 포함할 수 있는 경우)은 정의에 의해 제외된다. 즉, 이러한 합을 허용하는 일반화는 동등하지 않다.

예

실제 벡터 공간 R은³ 스패닝 세트로 {(-1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}을(를) 가지고 있다. 이 특별한 스패닝 세트 또한 기본이다. (-1, 0, 0)을 (1, 0, 0)으로 대체하면 R의³ 표준적 기초를 형성하기도 한다.

동일한 공간에 대한 또 다른 스패닝 세트는 {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1), ½, 3), (1, 1, 1)}}}, 그러나 이 집합은 선형으로 의존하기 때문에 기준이 아니다.

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} 집합은 R의³ 스패닝 집합이 아니다. 그 범위는 마지막 구성요소가 0인 R의³ 모든 벡터의 공간이기 때문이다. 이 공간은 또한 세트 {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}에 의해 확장되며, (1, 1, 0)은 (1, 0)과 (0, 1, 0)의 선형 결합이다. 그러나 R. (R의³ 하위 집합으로 해석될 경우)에² 걸쳐 있다.

빈 집합은 R에서³ 가능한 모든 벡터 공간의 부분 집합이고, {(0, 0, 0)}은 이러한 모든 벡터 공간의 교차점이기 때문에 빈 집합은 {(0, 0, 0)의 스패닝 집합이다.

함수 xⁿ 집합 여기서 n은 다항식의 공간에 걸쳐 있는 음이 아닌 정수다.

정리

정리 1: 벡터 공간 V의 비어 있지 않은 부분 집합 S에 의해 확장되는 하위 공간은 S에 있는 벡터의 모든 선형 결합의 집합이다.

이 정리는 너무나 잘 알려져 있어서 때로는 집합의 스팬의 정의라고 일컬어지기도 한다.

정리 2: 벡터 공간 V의 모든 스패닝 세트 S는 적어도 V로부터 어떤 선형 독립 벡터 세트만큼 많은 원소를 포함해야 한다.

정리 3: V를 유한차원 벡터 공간이 되게 한다. V에 걸쳐 있는 벡터 세트는 필요한 경우 벡터를 폐기하여 V의 기준으로 축소할 수 있다(즉, 세트에 선형 종속 벡터가 있는 경우). 선택의 공리가 유지된다면, 이는 V가 유한한 치수를 가지고 있다는 가정 없이 사실이다.

이것은 또한 V가 유한한 차원일 때 기본이 최소 스패닝 세트임을 나타낸다.

일반화

공간에서의 점 범위의 정의를 일반화하면, X의 순위가 전체 지면^{[citation needed]} 세트의 순위와 같으면, 매트로이드의 지면 세트의 부분집합 X를 스패닝 세트라고 한다.

벡터 공간 정의도 모듈로 일반화할 수 있다.^[8][9] R-모듈 A와 요소 집합 a₁, …, a_n, a로 구성된 A의 서브모듈이 주어지면₁, a는_n 순환모듈의 합이다.

${\displaystyle Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{n}^{n}r_{k}a_{k}{k}{\Big }r_{k}\in R\right\}}}}}}$

원소 a의_i 모든 R-선형 조합으로 구성된다. 벡터 공간의 경우와 마찬가지로 A의 어떤 부분집합에 의해 확장되는 A의 하위집합은 그 부분집합을 포함하는 모든 하위집합들의 교차점이다.

닫힌 선형경간(기능분석)

기능 분석에서 벡터 집합의 닫힌 선형 스팬은 해당 집합의 선형 스팬을 포함하는 최소 닫힌 집합이다.

X가 표준 벡터 공간이라고 가정하고 E를 X의 비어 있지 않은 부분 집합으로 두십시오. ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{Sp}}}$ $){\displaystyle {\overline {Sp}}(E)}$ 또는$$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{Span}}}$ $)}{\displaystyle${\$overline {\operatorname {Span}}}}}}(E)$가 나타내는 E의 닫힌 선형 스팬은 X의 모든 닫힌 선형 서브스페이스의 교차점이다$.$

이것의 수학적 공식 중 하나는

${\displaystyle {\overline {Sp}}}}}}}{{u\in X \all \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp}(E):\ x-u\ <\varepsilon \}}}}$

함수 집합의ⁿ 닫힌 선형 스팬은 간격 [0, 1]에서 x이며, 여기서 n은 음이 아닌 정수로서 사용되는 표준에 따라 달라진다. L² 규범을 사용할 경우 닫힌 선형 스팬은 간격의 사각형 통합 함수의 힐버트 공간이다. 그러나 최대 규범을 사용할 경우 닫힌 선형 스팬은 간격의 연속 함수의 공간이 될 것이다. 어느 경우든 닫힌 선형 스팬은 다항식이 아닌 함수를 포함하므로 선형 스팬 자체에 포함되지 않는다. 그러나 닫힌 선형경간에서 함수 집합의 카디널리티는 연속체의 카디널리티로, 다항식 집합과 동일한 카디널리티가 된다.

메모들

집합의 선형 범위는 닫힌 선형 범위에서 밀도가 높다. 더욱이, 아래 보조정리부에 언급된 바와 같이, 닫힌 선형스팬은 실제로 선형스팬의 닫힘이다.

닫힌 선형 스팬은 닫힌 선형 서브 스페이스를 다룰 때 중요하다(그 자체는 매우 중요하다, Riesz의 보조정리 참조).

유용한 보조정리

X를 표준 공간으로 하고 E를 X의 비어 있지 않은 부분 집합으로 한다. 그러면

(따라서 닫힌 선형 스팬을 찾는 일반적인 방법은 먼저 선형 스팬을 찾은 다음 그 선형 스팬을 닫는 것이다.)

참고 항목

• 아핀 선체
• 원뿔 조합
• 볼록 선체

인용구

원천

교과서

• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (4th ed.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (3rd ed.). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462.
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
• Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049.

웹

• Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics" (PDF). University of California, Davis. Retrieved 27 September 2011.
• Weisstein, Eric Wolfgang. "Vector Space Span". MathWorld. Retrieved 16 Feb 2021.
• "Linear hull". Encyclopedia of Mathematics. 5 April 2020. Retrieved 16 Feb 2021.

외부 링크

• 선형 결합 및 범위: 벡터의 선형 결합 및 범위 이해, khanacademy.org
• Sanderson, Grant (August 6, 2016). "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of Linear Algebra – via YouTube.