일반화 치환 행렬

수학에서, 일반화 순열 행렬(또는 단항 행렬)은 순열 행렬과 같은 0이 아닌 패턴을 가진 행렬이다. 즉, 각 행과 각 열에 정확히 하나의 0이 아닌 항목이 존재한다.0이 아닌 항목이 1이어야 하는 순열 행렬과 달리 일반화된 순열 행렬에서는 0이 아닌 항목이 0이 아닌 값이 될 수 있습니다.일반화 순열 행렬의 예는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle {bmatrix} 0&3&0\\0&7&0&0\1&0&0\0&0&{\displayrt {2}}\end {bmatrix}).}$

구조.

가역행렬 A는 가역대각행렬 D와 (암묵적으로 가역) 치환행렬 P의 곱으로 쓸 수 있는 경우에만 일반화 치환행렬이다.

$(\displaystyle A=DP)$

그룹 구조

필드 F에 엔트리가 있는 n × n 일반화 치환 행렬 세트는 일반 선형 그룹 GL(n, F)의 하위 그룹을 형성하며, 여기서 비칭 대각 행렬 그룹 δ(n, F)이 정규 하위 그룹을 형성한다.실제로, 일반화 순열 행렬은 대각 행렬의 정규화 행렬이며, 이는 일반화 순열 행렬이 대각 행렬이 정규인 GL(n, F)의 가장 큰 부분군임을 의미합니다.

일반화 치환 매트릭스의 추상군은 F와_n S의^× 화환 제품이다.구체적으로는 대칭군_n S에 의한 δ(n, F)의 반직접 곱임을 의미한다.

S_n ⋉ δ ( n , F )

여기서_n S는 좌표를 허용함으로써 작용하며 대각행렬 δ(n, F)는 n배 곱(ⁿF)과^× 동형이다.

정확히 말하면, 일반화된 치환 행렬은 이 추상적인 화환 제품의 (충실한) 선형 표현이다. 즉, 행렬의 부분군으로서의 추상적인 그룹의 실현이다.

서브그룹

• 모든 항목이 1인 부분군은 정확히 대칭 그룹과 동형인 순열 행렬입니다.
• 모든 엔트리가 ±1인 부분군은 부호화된 치환 행렬로, 초팔면체 군입니다.
• 엔트리가 $유니티{\displaystyle {}_{}}$의 m번째 루트인 서브그룹(\$displaystyle \mu$ _${m})$은 일반화 대칭 그룹과 동형입니다.
• 대각행렬의 부분군은 아벨, 정규, 최대 아벨 부분군이다.몫군은 대칭군이고, 이 구조는 사실 일반 선형군의 와일군이다: 대각 행렬은 일반 선형군의 최대 토러스이고(그리고 그들만의 중심화), 일반화 순열 행렬은 이 토러스의 정규화 행렬이며, 몫${\displaystyle ,}$ $N{\displaystyle }$ (${\displaystyle T)}$ /${\displaystyle Z}$ ( T / ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle N}$ ( /${\displaystyle }$)${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle S_{}}$n \ $displaystyle$ N$(T)$ / $Z(T$) =$N(T)$ / $T\cong S_{n}$ 은$$ 와일기이다.

특성.

• 비음수 행렬과 그 역행렬이 모두 음이 아닌 행렬인 경우(즉, 음이 아닌 항목이 있는 행렬) 행렬은 일반화 치환 행렬입니다.
• 일반화 순열 행렬의 행렬식은 다음과 같이 주어진다.
  $$\displaystyle \det(G)=\det(P)=\operatorname {sgn}(\pi)\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{n}$$

  
  ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 sgn ${\displaystyle (}$ ($$ ) {$display$ \$operatorname {sgn$$}$ ( \$pi$ $)$는 P$${ \ $displaystyle$P$$ } 및 ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$11과 $관련$된 치환$기호$입니다${\displaystyle .{\mathrm{dn}}_{}}$ ${$ $displaystyle d_{11},$ \$ldots$,$d_{n$$\}$는$display style$d의 $대각{\displaystyle }$ 요소입니다.

일반화

엔트리를 필드가 아닌 링에 배치함으로써 더 일반화할 수 있습니다.이 경우 0이 아닌 엔트리가 링 내의 유닛이어야 할 경우 다시 그룹을 가져옵니다.한편, 0이 아닌 엔트리가 0이 아니라 반드시 반전할 수 없는 경우에만 필요한 경우, 이 행렬 세트는 대신 반군을 형성합니다.

행렬 곱셈은 그룹 요소를 추가하는 것이 아니라 그룹 요소의 단일 쌍만 곱하는 것을 이해하면서, 0이 아닌 엔트리가 그룹 G에 있는 것을 스키마적으로 허용할 수도 있습니다.이는 곱하는 행렬의 요소가 곱셈과 덧셈을 허용해야 하므로 표기법의 오용이지만, (공식적으로 올바른) 추상 $그룹{\displaystyle }$ G$$ S n \ $displaystyle$G\$wr S_{$n}($$대칭 그룹에 의한 그룹 $G$의 화환 산물)에는 시사적인 개념이다.

서명된 치환 그룹

부호화 치환행렬은 0이 아닌 엔트리가 ±1인 일반화 치환행렬이며, 정수의 역수를 갖는 정수 일반화 치환행렬이다.

특성.

• Coxeter $그룹{\displaystyle {}_{}}$ $(\$이며, $순서$는 $!(\displaystyle$ 2$^{n}n$입니다.
• 이는 하이퍼큐브와 교차 폴리토프의 대칭 그룹입니다.
• 기초(부호가 없는) 치환과 동일한 결정 인자를 갖는 행렬의 지수 2 하위 그룹은 콕서터 $그룹{\displaystyle {}_{}}$ $(\$이며, 데미하이퍼큐브의 대칭 그룹이다.
• 직교 그룹의 부분군입니다.

적용들

Monomial 표현

단항 행렬은 단항 표현의 맥락에서 표현 이론에서 발생합니다.군 G의 단항 표현은 화상 θ(G)가 단항 행렬군의 부분군인 G의 선형 표현 θ : G → GL(n, F)이다.

레퍼런스

• Joyner, David (2008). Adventures in group theory. Rubik's cube, Merlin's machine, and other mathematical toys (2nd updated and revised ed.). Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9012-3. Zbl 1221.00013.