행렬 로그

수학에서 행렬의 로그는 후자 행렬의 행렬 지수화가 원래 행렬과 같은 또 다른 행렬이다. 따라서 스칼라 로그의 일반화이며 어떤 의미에서는 행렬의 역함수가 기하급수적이다. 모든 행렬에 로그가 있는 것은 아니며 로그가 있는 행렬에는 로그가 두 개 이상 있을 수 있다. 행렬의 로그에 대한 연구는 행렬에 로그가 있을 때 그것은 Lie 그룹에 있고 로그는 Lie 대수학의 벡터 공간의 해당 요소이기 때문에 Lie 이론으로 이어진다.

정의

행렬 A의 지수 정의는 다음과 같이 정의된다.

{\

A}\equiv \sum _{n=0}^{\inflt }{\frac{A^{n}}{n!

}}}

.

행렬 B를 지정하면, $또 A$ 다른 행렬 A는 e = $B$ 일 $경우$ 행렬 로그 $B$ 라고 한다. 지수함수는 복잡한 숫자( $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$ : $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$ i $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$ = $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$ $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$ $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$ i $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$ = $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$ - 1 ${\displaystyle$ e $^{\pi i}=e^{3\pi$ i $}-1})$ 에 대해 편향적이지 않기 때문에, $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$ 숫자에는 복합 로그가 여러 개 있을 수 있으며, 그 결과 일부 행렬은 아래에서 설명하는 것처럼 두 개 이상의 로그가 있을 수 있다.

파워 시리즈 표현식

B가 ID 매트릭스에 충분히 가까운 경우, B의 로그는 다음과 같은 전력 시리즈를 사용하여 계산할 수 있다.

\log(B)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1}{\frac {(B-I)^{k}}{k}}}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}-{\frac {(B-I)^{4}}{4}}+\cdots

.

$\left\|B-I\right\|<1$ 으로 $\left\|B-I\right\|<1$ $\left\|B-I\right\|<1$ - $\left\|B-I\right\|<1$ < 1 ${\displaystyle \left\B-I\right\<1$ 그러면 앞의 시리즈가 수렴되고 e $e^{\log(B)}=B$ log $e^{\log(B)}=B$ ( $e^{\log(B)}=B$ ) $e^{\log(B)}=B$ $e^{\log(B)}=B$ ${\displaystyle$ e $^{\log(B)}=B$ ^[1]

예제: 평면의 회전 로그

비행기의 회전은 간단한 예를 들어준다. 원점 주위의 각도 α의 회전을 2×2 매트릭스로 나타낸다.

A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\end{pmatrix}}.

정수 n의 경우 행렬

B_{n}=(\알파 +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\end{pmatrix},

A의 로그라고 할 수 있다.

증명

$displaystyle log(A)=$ $~~e^{B_{n}}=A$ ${n}~}$ $log(A)=B_{n}~$ $~~e^{B_{n}}=A$ $~~e^{B_{n}}=A$ = A $~~e^{B_{n}}=A$

$displaystyle e^{B_{n}}=\sum$ $}}B_{n}^{k}~}$ 여기서 $e^{B_{n}}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}B_{n}^{k}~$

$(B_{n})^{0}=1~I_{2},$

$(B_{n})^{1}=(\알파 +2\pi n){\\begin{pmatrix}0&-1\+1&0\\\end{pmatrix},$

$(B_{n})^{2}=(\알파 +2\pi n)^{2}{\\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\end{pmatrix},$

$(B_{n})^{3}=(\알파 +2\pi n)^{3}{\begin{pmatrix}0&1\-1&0\\\end{pmatrix},$

$(B_{n})^{4}=(\알파 +2\pi n)^{4}~I_{2}$
…

$\sum _{k=0}^{\infit }{1 \over k!}B_{n}^{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\cos(\alpha )\\end{pmatrix}=A~.$
qed.

따라서 A행렬은 로그가 무한히 많다. 이는 회전각이 2㎛의 배수까지만 결정된다는 사실에 해당한다.

Lie 이론의 언어에서 회전 행렬 A는 Lie 그룹 SO(2)의 요소들이다. 해당 로그 B는 모든 스큐 대칭 행렬로 구성된 리 대수 so(2)의 요소다. 행렬

{\pmatrix}0&1\\-1&0\\end{pmatrix}

Lie 대수학의 발생기 so(2)이다.

존재

행렬에 로그가 있는지 여부에 대한 문제는 복잡한 설정에서 고려할 때 가장 쉬운 해답을 가지고 있다. 복잡한 행렬은 변환 불가능한 경우에만 로그가 있다.^[2] 로그는 고유하지 않지만, 행렬에 음의 실제 고유값이 없는 경우 스트립 {z ∈ C - - < 임즈 < π}}에 모두 고유값이 놓여 있는 독특한 로그가 있다. 이 로그는 주 로그로 알려져 있다.^[3]

정답은 실제 환경에 더 많이 관련되어 있다. 실제 행렬은 변환 불가능한 경우에만 실제 로그가 있고 음의 고유값에 속하는 각 요르단 블록이 짝수 횟수로 발생하는 경우 실제 로그가 있다.^[4] 반전 가능한 실제 행렬이 요르단 블록의 조건을 만족시키지 못하면 비현실 로그만 가지고 있다. 이것은 스칼라 케이스에서 이미 볼 수 있다: -1에서는 로그의 어떤 가지도 실제일 수 없다. 실제 2×2 행렬의 실제 행렬 로그의 존재는 이후 섹션에서 고려된다.

특성.

A와 B가 모두 양확률 매트릭스일 것이다.

\operatorname {tr} {\log {(AB)}=\operatorname {tr} {\log {(A)}+\operatorname {tr} {\log {(B)},

A와 B가 통근할 경우, 즉 AB = BA,

\log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}\,

이 방정식⁻¹ B = A로 대체하면, 사람은 얻게 된다.

\log {(A^{-1})}=-\log {(A)

마찬가지로, 이제 비통행 A와 B의 경우,^[5]

\log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\puty }\\!\!dz~~{\frac {I}{A+zI}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).

추가 예: 3D 공간에서의 회전 로그

ℝ³에서 회전 R ∈ SO(3)는 3×3 직교 매트릭스에 의해 주어진다.

그러한 회전 행렬 $R$ 의 로그는 축 각도에서 명시적으로 로드리게스의 회전 공식의 대칭 부분으로부터 쉽게 계산할 수 있다. 최소 프로베니우스 표준의 로그 값을 산출하지만, $R$ 이 고유하지 않은 경우 -1과 같은 고유값을 갖는 경우 실패한다.

추가로 주의할 점은 회전 행렬 A와 B가 주어진 경우,

d_{g}(A,B):=\\log(A^{\top }B)\ _{F}

회전 행렬의 3D 다지관의 지오데틱 거리.

대각선 가능 행렬의 로그 계산

대각선이 가능한 매트릭스 A에 대한 ln A를 찾는 방법은 다음과 같다.

A의 고유 벡터 행렬 V를 찾는다(V의 각 열은 A의 고유 벡터임).

V의 역 V를⁻¹ 찾아라.

내버려두다

A'=V^{-1}AV.\,

그러면 A′은 대각선 원소가 A의 고유값인 대각선 행렬이 된다.

\log A'

\log A'

\log A'

\log A'

{\

A

'}

을(를) 얻으려면 A′의 각 대각선 요소를 (자연) 로그로 교체하십시오

\log A'

그러면

[\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.\,}

A가 실제일지라도 A의 로그가 복잡한 행렬일 수 있다는 사실은 실제와 양의 항목이 있는 행렬이 음수 또는 심지어 복잡한 고유값을 가질 수 있다는 사실에서 나타난다(예: 회전 행렬의 경우 사실이다). 행렬 로그의 고유성은 복잡한 숫자의 로그가 고유하지 않은 데서 비롯된다.

대각선이 불가능한 행렬의 로그

위에 설명된 알고리즘은 다음과 같은 비대각 가능 행렬에 대해 작동하지 않는다.

{\bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}.

그러한 행렬의 경우, 요르단 분해를 찾아야 하며, 위와 같은 대각선 항목의 로그 값을 계산하기보다는 요르단 블록의 로그 값을 계산한다.

후자는 요르단 블록을 다음과 같이 쓸 수 있다는 것을 알아차림으로써 달성된다.

B={\begin{pmatrix}\lambda&1&, 0&, 0&, \cdots &, 0\\0&, \lambda&1&, 0&, \cdots &, 0\\0&, 0&, \lambda&1&, \cdots, 0\\\vdots &, \vdots &, \vdots &, \ddots &, \ddots &, \vdots \\0&, 0&, 0&, 0&, \lambda&1\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&, \lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda{\begin &.{pmatrix}1&, \lambda ^{)}&, 0&, 0&, \cdots, 0\\0& &, 1&, \lambda ^{)}&, 0&, \cdots &, 0\\0&, 0&, 1&, \lambda ^{)}&, \cdots, 0\\\vdots &, \vdots &, \v &.점 &\ddots &\dots &\vdots \\0&0&0&1&\lambda ^{-1}\0&0&0&0&1\\end{pmatrix}=\lambda(I+K)}

여기서 K는 주 대각선 위와 아래에 0이 있는 행렬이다. (1개의 로그가 시도되는 행렬이 반전될 수 있다는 가정 하에 숫자 λ은 0이 아니다.)

그 다음 메르카토르 시리즈로

\log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}:{2}}+{x^{3}}}{3}}}-{\frac {x^{4}}}}

얻어먹다

\log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots

이 시리즈는 한정된 수의 항(m이 K의 치수라면 K는^m 0)을 가지므로 합이 잘 정의되어 있다.

이 접근법을 사용하면 찾을 수 있다.

\log {\bmatrix}1&#1\0&1\end{bmatrix}={\bmatrix}0&1\0&0\end{bmatrix}}.

기능 분석 관점

정사각형 행렬은 유클리드 공간 R에서ⁿ 선형 연산자를 나타낸다. 여기서 n은 행렬의 치수다. 그러한 공간은 유한한 차원이기 때문에 이 연산자는 실제로 경계된다.

복합 평면의 오픈 세트에 정의된 홀오모르픽 함수 f와 경계 선형 연산자 T에 주어진 홀오모르픽 기능 미적분학의 도구를 사용하여, f가 T의 스펙트럼에 정의되는 한 f(T)를 계산할 수 있다.

f(z)=log z 함수는 원점을 포함하지 않은 복잡한 평면에서 간단히 연결된 오픈 세트에서 정의될 수 있으며, 그러한 영역에서는 홀로모픽이다. 이는 T의 스펙트럼이 원점을 포함하지 않는 한 ln T를 정의할 수 있고, 원점에서 T의 스펙트럼을 넘지 않는 무한대로 가는 경로가 있다는 것을 의미한다(예를 들어, T의 스펙트럼이 원 안에 있는 원이라면 ln T를 정의할 수 없다).

R에ⁿ 대한 선형 연산자의 스펙트럼은 그 행렬의 고유값 집합이며, 유한한 집합도 있다. 원점이 스펙트럼에 없는 한(행렬은 변위할 수 없는 경우) 전항의 경로 조건이 충족되고, ln T는 잘 정의된다. 행렬 로그의 고유성은 행렬의 고유값 집합에 정의된 로그의 분기를 둘 이상 선택할 수 있다는 사실에서 비롯된다.

거짓말 집단 이론의 관점

Lie groups 이론에는 Lie 대수 g에서 해당 Lie group G까지의 지수적 지도가 있다.

\displaystyle \exp :g\오른쪽 화살표 G.}

행렬 Lie 그룹의 경우, g와 G의 원소는 제곱 행렬이고 지수도는 행렬 지수화에 의해 주어진다. 역지도 $\log =\exp ^{-1}$ = $\log =\exp ^{-1}$ - $\log =\exp ^{-1}$ ${\$ 는 다중값이며 $\log =\exp ^{-1}$ 여기서 설명하는 행렬 로그와 일치한다. 로그는 Lie 그룹 G에서 Lie 대수 g로 지도한다. 지수 지도는 0 행렬 ${\underline {0}}\in g$ 의 근린 U와 ${\underline {0}}\in g$ 행렬 $1$ 의 ${\underline {1}}\in G$ V ${\underline {1}}\in G$ 의 국부적 차이점형이며 $, 따라서$ ( $매트릭스) 로그$ 는 지도로서 잘 정의된다 ${\underline {1}}\in G$ ^[6]

\log :V\subset G\오른쪽 화살표 U\subset g.\,

자코비 공식의 중요한 관점은 다음과 같다.

[\displaystyle \log(\det(A))]=\mathrm {tr}(\log A)~.}

참고 항목

메모들

^ 홀 2015 정리 2.8
^ 하이암(2008), 정리 1.27
^ 하이암(2008), 정리 1.31
^ 컬버 (1966년)
^ S 애들러(IAS)가 게시하지 않은 메모
^ 홀 2015 정리 3.42

참조

Gantmacher, Felix R. (1959), The Theory of Matrices, 1, New York: Chelsea, pp. 239–241.
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Culver, Walter J. (1966), "On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix", Proceedings of the American Mathematical Society, 17 (5): 1146–1151, doi:10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6, ISSN 0002-9939.
Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7.
Engø, Kenth (June 2001), "On the BCH-formula in so(3)", BIT Numerical Mathematics, 41 (3): 629–632, doi:10.1023/A:1021979515229, ISSN 0006-3835

[1] 홀 2015 정리 2.8

[2] 하이암(2008), 정리 1.27

[3] 하이암(2008), 정리 1.31

[4] 컬버 (1966년)

[5] S 애들러(IAS)가 게시하지 않은 메모

[6] 홀 2015 정리 3.42

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