투란의 정리

그래프 이론에서, 투란의 정리는 주어진 크기의 완전한 하위 그래프를 가지고 있지 않은 비방향 그래프에 포함될 수 있는 가장자리 수를 제한한다.주어진 성질을 가진 가장 크거나 가장 작은 그래프를 연구하는 영역인 극단 그래프 이론의 중심 결과 중 하나로, 주어진 서브그래프가 없는 그래프에서 최대 에지 수에 대한 금지된 서브그래프 문제의 특별한 경우다.

$($$r{\displaystyle }$+${\displaystyle }$$1$ ){\$displaystyle$ (r$$$+$1)} -vertex$$ click ${\displaystyle K_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$+ 1 ${\$를 포함하지 않는 n ${\$$displaystyle n}$ 정점$$ 집합을 같거나 거의 같은 크기의 $r$ ${\displaystyle r}$ 부분으로 분할하고 두 개의 v를 연결하여 그래프의 예를 구성할 수 있다$$.서로 다른 두 부분에 속할 때마다 가장자리에 있는 irts.결과 그래프는 투란 $그래프{\displaystyle }$ T${\displaystyle (n}$, r${\displaystyle }$) ${\displaystyle T(n,r)}.$투란의 정리에는 투란 그래프가 모든 K-프리_r+1 n-vertex 그래프 중에서 가장 많은 에지 수를 가지고 있다고 되어 있다.

투란의 정리, 그리고 극단적인 경우를 제시하는 투란 그래프는 1941년 헝가리 수학자 팔 투란이 처음 설명하고 연구했다.^[1]삼각형이 없는 그래프의 정리의 특별한 경우는 맨텔의 정리로 알려져 있다; 그것은 네덜란드의 수학자인 윌렘 맨텔에 의해 1907년에 명시되었다.^[2]

성명서

Turán's theorem states that every graph ${\displaystyle G}$ with ${\displaystyle n}$ vertices that does not contain ${\displaystyle K_{r+1}}$ as a subgraph has at most as many edges as the Turán graph ${\displaystyle T(n,r)}$. For a fixed value of ${\displaystyle r}$, this graph has

가장자리, Little-o 표기법 사용.직관적으로 $이것$은 n ${\displaystyle n}$이(가) 커짐에$$ 따라 $T{\displaystyle (n}$, r${\displaystyle }$) ${\displaystyle T(n,r)}$에 포함된 가장자리 비율이 $1$ - ${\displaystyle \frac{1}{}}$ r ${\$1}{$r}}}}$에 가까워진다는 것을 의미한다$.$ 다음 증빙의 상당수는${\displaystyle }$상한을 (${\displaystyle \frac{1}{}}$ - 1${\displaystyle }$- 1 - 1 - 1 - 1 r${\displaystyle }$) ${\displaystyle \frac{{n\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}${$displaystypector$ stypector stypector $styputep)$로 한다$.$$1-{\frac{1}{r}\오른쪽){\frac{n^{2}}:{2}}:}$^[3].

교정쇄

아이그너 & 지글러(2018년)는 투란의 정리를 증명하는 다섯 가지 다른 증거를 열거하고 있다.^[3]

대부분의 증거는 그래프가 완전한 다중 사이트 그래프인 경우로 축소하고, $가능$한 한 크기가 같을 수 있는 r ${\displaystyle r}$개일$$ 때 가장자리 수가 최대화된다는 것을 보여준다.이 단계는 수행할 수 있음

유도

이것은 투란의 원본 증거였다.$최대{\displaystyle }$ 에지 수가 있는 n ${\displaystyle K_$${r+1$} 정점에$$ $대해{\displaystyle {}_{}}$ K ${\displaystyle r_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ K_{r+1}$$-자유$$ 그래프를 취하십시오.$K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$최대성에 의해 존재함)$$을 찾아 정점을 ${\displaystyle K_{}}$ $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 $있는{\displaystyle }$ r ${\displaystyle r}$ 정점의$$ $세트$ A$${\$displaystystyle$ $A$$}$와 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle r}$ ${\displaystystyle n-r}$ 다른$$ 정점의 $세트$ B$}$로 분할한다.

이제 위 가장자리를 다음과 같이 묶을 수 있다.

• $정확히{\displaystyle }$${\displaystyle }$( r$$ ) {\$displaystyle {\binom {r}{2}}$개의 가장자리가$$ A ${\displaystyle A}$ 안에 있다$.$
• $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 꼭지점은 모든$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$$}$과(${\displaystyle 와}$) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$ 사이에 최대${\displaystyle }$( r${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle )}$ $B$$n-r)$ 에지가$$ 있다$.$
• $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 내의 가장자리 수는 귀납 가설에 의한$$ $T{\displaystyle (n}$- ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle T(n-r,r)$의 최대 에지 수입니다$$.

이 한계를 추가하면 결과가 나온다.^[1][3]

최대 정도 정점

이 증거는 Paul Erdős 덕분이다.가장 큰 수준의$$ 꼭지점 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) 취하십시오.$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에 인접하지 않은$$ 정점의 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 집합과$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에 인접한 $정점$의 B ${\displaystyle B}$ 집합을 고려하십시오$.$

이제 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 내의 모든 에지를 삭제하고$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 B ${\displaystyle B}$ 사이에 모든 에지를 그려 보십시오$.$ 이렇게 하면 최대성 가정에 의해 정점 수가 증가하며 $그래프{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$r + ${\displaystyle 1_{}}${\$displaystyle K_{r+$1} -1} -1은 자유$$ 상태가 유지된다.이제 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) ${\displaystyle K_{}}$ r ${\$ -r} -free이므로$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에서도 같은 주장을 반복할 수 있다$.$

이 주장을 반복하면 결국 서로 다른 독립 집합의 각 두 꼭지점 사이에 가장자리가 있는 독립 집합의 집합인 투란 그래프와 같은 형태의 그래프가 생성된다.간단한 계산을 통해 이 그래프의 가장자리 수가 모든 독립된 세트 크기가 가능한 한 거의 같을 때 최대화된다는 것을 알 수 있다.^[3][4]

완벽한 다중 사이트 최적화

이 증명뿐만 아니라 Zykov Symmetrization 증명도 그래프가 완전한 다중 사이트 그래프인 경우로 축소하는 것을 포함하며, $가능$한 한 유사하게 r ${\displaystyle r}$의 독립적 크기가 있을 때 가장자리 수가 최대화된다는 것을 보여준다.이 단계는 다음과 같이 수행할 수 있다.

$S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{S\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle S_{}}$ r ${\$을 다중 사이트 그래프의 독립 집합으로 한다$$.두 꼭지점은 동일한 독립 집합에 있지 않은 경우에만 그들 사이에 가장자리가 있기 때문에, 가장자리 수는 다음과 같다.

여기서 왼손은 직접 계산에서 따르고, 오른손은 보충 계산에서 나온다.To show the ${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{r}}\right){\frac {n^{2}}{2}}}$ bound, applying the Cauchy–Schwarz inequality to the ${\textstyle \sum \limits _{i}\left S_{i}\right ^{2}}$ term on the right hand side suffices, since ${\textstyle \$$합계 \limits _{i}\왼쪽 S_{i}\오른쪽 =n$

투란 그래프가 최적임을 증명하기 위해서는 크기 면에서 ${\displaystyle {두}_{}}$ ${\$가 1 이상 차이가$$ 나지 않는다고 주장할 수 있다.In particular, supposing that we have ${\displaystyle \left S_{i}\right \geq \left S_{j}\right +2}$ for some ${\displaystyle i\neq j}$, moving one vertex from ${\displaystyle S_{j}}$ to ${\displaystyle S_{i}}$ (and adjusting edges accordingly) would increase the value합계의이는 가장자리 수에 대한 위의 식 중 어느 한 쪽에 대한 변화를 조사하거나, 이동된 꼭지점의 정도가 증가한다는 점에 유의함으로써 알 수 있다.

라그랑기안

이 증거는 모츠킨&스트라너스(1965) 때문이다.${\displaystyle {\mathrm{시작}}_{}}$은 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$1$,2,\ldots ,n$이라는 정점이 있는 K ${\displaystyle r_{}}$+ 1 ${\$자유$$ 그래프를 고려하고 함수의 최대화를 고려한다.

$모든{\displaystyle \mathrm{}}$ 음이 아닌 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$2${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 합계 1 ${\displaystyle 1}.$ 이$$ 함수는 그래프와 그 가장자리의 라그랑지안으로 알려져 있다$.$

그들의 증거 뒤에 있는 아이디어는 ${\displaystyle x_{}}$i , ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 모두 0이 아닌 반면$$, ${\displaystyle i}$, j ${\displaystyle i,j}$가 그래프에 인접하지 않으면$$ 함수라는 것이다.

is linear in ${\displaystyle t}$. Hence, one can either replace ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ with either ${\displaystyle (x_{i}+x_{j},0)}$ or ${\displaystyle (0,x_{i}+x_{j})}$ without decreasing the value of the function.따라서 함수를 최대화하는 $최대{\displaystyle }$ r ${\displaystyle r}$개의$$ 0이 아닌 변수가 있는 점이 있다.

Now, the Cauchy–Schwarz inequality gives that the maximal value is at most ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{r}}\right)}$. Plugging in ${\displaystyle x_{i}={\frac {1}{n}}}$ for all ${\displaystyle i}$ gives that the maximal value is at least ${\displaystyle \frac{E}{n^2}}$${\displaystyle {\frac {}{n^{2}}:$ 원하는 바운드를 부여한다$.$^[3][5]

확률론적 방법

이 증거의 핵심 주장은 카로와 위가 독자적으로 찾아냈다.이 증거는 노가 알론과 조엘 스펜서의 저서 "확률론적 방법"에서 나온 것이다.${\displaystyle {도}_{}}$ $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$d ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$…${\displaystyle {}_{}}$ n ${\$이(가) 있는 모든 그래프에는 적어도 독립적인 크기의 집합이 있음을$$ 증명한다.

증명자는 다음과 같은 독립된 세트를 찾으려고 시도한다.

• $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$-free$$ 그래프의 정점 순열을 임의로 고려하십시오.
• 정점 앞에 있는 정점에 인접한 모든 정점을 선택하십시오.

정도 $d{\displaystyle }${\$displaystyle d$}의 꼭지점이 $확률{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 1${\displaystyle \frac{d}{}}$ + ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\${1$}{d+1}$에 포함되므로 이 프로세스는 선택한 집합에서$$ 평균 S ${\displaystyle S}$ $정점$을 제공한다$.$

이 사실을 보완 그래프에 적용하고, 코시-슈워즈 불평등을 이용하여 선택한 집합의 크기를 경계하는 것은 투란의 정리를 증명한다.^[3]자세한 내용은 조건부 확률의 방법 § 투란의 정리를 참조하십시오.

지코프 대칭

아이그너와 지글러는 그들의 다섯 가지 증명 중 마지막 것을 "가장 아름다운 것"이라고 부른다.그 기원은 불명확하지만, 투란의 정리를 일반화한다는 자이코프의 증명에서 사용되었기 때문에 그 접근법을 흔히 자이코프 대칭화라고 부른다.${\displaystyle {\mathrm{이}}_{}}$ 증거는 K ${\displaystyle r_{}}$+ 1 ${\$자유$$ 그래프를 취하여 에지 카운트를 증가시키면서 투란 그래프와 더욱 유사하게 만드는 단계를 적용함으로써 이루어진다.

특히 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$-free$$ 그래프에 따라 다음과 같은 단계가 적용된다.

• $u{\displaystyle }$, ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle$ u$,v}$이(가) 비인접 정점이고 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$보다 높은 학위를 가진$$ 경우$,$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) $u{\displaystyle }$ ${\displaystystyle u}$의 복사본으로$$ 교체하십시오$.$ 모든 비인접 정점이 같은 학위를 가질 때까지 반복하십시오.
• $u{\displaystyle }$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$ ${\$displaystyle u$,v,w}이($가$$) $u$ , ${\displaystyle v}$ , v ${\$$displaystyle u,v}$ 및 $v{\displaystyle }$, 비인접적이지만$$ $u{\displaystyle }$ ,$$w${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$ ${\$$displaystyle$ $u,w}$ 인접해 있는 경우, u$$ ${\displaystystyle u$$}$ 및$$$}$ 모두를 v$\}$의 복사본으로$$ 교체하십시오.

이 모든 단계는 가장자리 수를 증가시키면서 그래프 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$을 자유롭게$$ 유지한다.

이제, 비접근성은 동등성 관계를 형성한다.동등성 등급은 어떤 최대 그래프라도 투란 그래프와 동일한 형태를 부여한다.최대 정도 정점 증명에서와 같이, 간단한 계산은 모든 독립된 세트 크기가 가능한 한 거의 같을 때 가장자리 수가 최대화된다는 것을 보여준다.^[3]

맨텔의 정리

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle r=2}$에 대한 투란의 정리 중 특별한 경우는 맨텔의 정리다$$.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -vertex$$ triangle-free 그래프에서 최대 에지 수는 $\lfloor {\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}\rfloor .}$ ${\displaystyle \l^{2}/4\rfloor .}.$ 즉$$^[2], 삼각 자유 그래프를 얻으려면$$ ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\$ K_${n}$에서 에지의 거의 절반을 삭제해야 한다.

맨텔의 정리의 강화된 형태는 적어도 $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ $[\displaystyle$ n$^{2$$}/4$$}$ 가장자리가$$ 있는 해밀턴 그래프는 완전한 양분 그래프 $K{\displaystyle {}_{}}$/ $n$/ $또는$범순환 그래프여야 한다. 또는 그것은$$ 삼각형을 포함할 뿐만 아니라 다른 모든 양의 사이클도 포함해야 한다.그래프의 꼭지점 수까지의 적당한 ^[7]길이

맨텔의 또 다른 정리의 강화는 $모든{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n$} -vertex$$ 그래프의 가장자리는 가장자리 또는 삼각형인 최대${\displaystyle {}^{}}$ n ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle \rfloor }${\$displaystyle \l^{2}/4\rfloor }$의 분류로 덮일 수 있다고 명시하고 있다.산호로서 그래프의 교차로 번호(모든 가장자리를 덮는 데 필요한 최소 분류 수)는 최대${\displaystyle }$most ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle \l^{2}/4\rfloor }$이다$.$^[8]

일반화

기타 금지된 하위 그래프

Turan의 $정리$를 ${\displaystyle {보면}_{}}$K ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ + 1$${\$displaystyle K_{r$+1$}$ -free$$ 그래프에서 가장 많은 수의${\displaystyle 가장자리}$가${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{1}{}}$ -${\displaystyle }$1 ${\displaystyle r}$ +${\displaystyle \mathrm{o}}$( ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ) ${\displaystyle \frac{{n\mathrm{}}^{}}{}}$2 {\$displaystyle \left($1-${\$frac{1$}{r}+o(1)\right){\frac{n^{$2$\}\}.$Erdős-Stone 정리에서는 다른 모든 그래프에서 $o{\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle o(n^{2})$ 오류까지의$$ 에지 수를 찾는다.

(Erdős–Stone) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 색수 $\chi {\displaystyle }$( ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \chi (H)}$을(를) 가진 그래프라고$$ 가정합시다$.$$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 하위 그래프가 없는 그래프에서 가능한 최대 에지 수는$$

$${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{\chi(H)-1}+(1)\오른쪽){\frac{n^{2}}:}$$

여기서 $o{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle o(1)}$ 상수는$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에만 의존한다$.$

$투란{\displaystyle }$ 그래프 $T{\displaystyle (n}$ ,${\displaystyle \chi }$( ${\displaystyle H}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle T(n,\chi (H)-$1)는$$H ${\displaystyle H}$의 복사본을 포함할 수 없으므로$$ 투란 그래프가 하한을 설정함을 알 수 있다$.$$K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}의 색수 r${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r+1$}이$($가) 있기 때문에$,$ 투란의 정리는 H ${\displaystyle H}$이(가) $K{\displaystyle {}_r}$ + ${\displaystyle 1_{}}${\$displaystystyle K_{r+1}$인 특수한 경우다$.$

일부 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 복사본 없이 그래프에 몇 개의 가장자리를 포함할 수 있는지에 대한 일반적인 문제는$$ 금지된 하위 그래프 문제다.

기타 수량 최대화

투란 정리의 또 다른 자연적인 확장자는 다음과 같은 질문이다: 그래프에 ${\displaystyle {\mathrm{K}}_{}}$ $r{\displaystyle {}_{}}$+ 1 ${\$가 없다면, $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$의 복사본은 몇 개까지$$ 가질 수 있는가?투란의 정리는 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a=2$ 자이코프의 정리는 이 질문에 다음과 같이 대답한다.

(지코프의 정리)${\displaystyle {\mathrm{K}}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$+ 1 ${\$}$초$와 ${\displaystyle {가능}_{}}$한 $최대{\displaystyle }$ 수의 K a {\$displaystyle$ K_${$$a}$가 없는 n ${\$ $n}$ 정점에$$ 대한 그래프는 Turan 그래프 $T{\displaystyle (n}$, ${\displaystyle r}$) ${\displaystyty T(n,r)}$이다.

이것은 자이코프(1949)가 자이코프 대칭리제이션^[1][3](Zykov Symmetrization)을 사용하여 처음 보여주었다.Since the Turán Graph contains ${\displaystyle r}$ parts with size around ${\displaystyle {\frac {n}{r}}}$, the number of ${\displaystyle K_{a}}$s in ${\displaystyle T(n,r)}$ is around ${\displaystyle {\binom {r}{a}}\left({\frac {n}{r}}\right)$$^{a$ 2016년 알론·시켈만의 논문은 다음과 같은 일반화를 주는데, 이는 투란 정리의 에르도스 스톤 일반화와 유사하다.

색 수 χ(H)>{\displaystyle \chi(H)>.}과(Alon-Shikhelman, 2016년)레트 H{H\displaystyle} 된 그래프이다.K의 그래프에서 H{H\displaystyle}의 복사본과 함께 가장 큰 가능한 한 많은{\displaystyle K_{}}s(1+시(1))− 1a)(nχ(H)− 1)(χ(H).${\displaystyle(1+o(1))$${\binom {\chi(H)-1}{a}\왼쪽({\frac {n}{\chi(H)-1}\오른쪽)^{a}$$}$^[9]

Erdős-Stone에서와 같이 Turan 그래프 $T{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ,${\displaystyle \chi }$( ${\displaystyle H}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle T(n,\chi (H)-1)$는 원하는 수의 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$를 획득한다$.$

에지 클라이크 지역

투란의 정리는 그래프가 $1{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle r\frac{\mathrm{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\$을$($를) 엄격히 초과하는 에지 동형성 밀도를 갖는 경우 ${\displaystyle K_{}}$ r ${\$를 0이 아닌 숫자로 나타낸다고 되어 있다.훨씬 더 일반적인 질문을 할 수 있다: 그래프의 가장자리 밀도가 주어진다면 K ${\displaystyle r_{}}$ ${\$의 밀도에 대해 뭐라고 말할 수 있는가?

이 질문에 대답할 때 문제가 되는 것은 주어진 밀도의 경우 어떤 그래프에 의해서가 아니라 어떤 무한한 그래프 순서에 의해 접근하는 것이 있을 수 있다는 것이다.이를 처리하기 위해 가중치 있는 그래프나 그래폰이 고려되는 경우가 많다.특히 그래프에는 그래프의 무한 시퀀스 제한이 포함되어 있다.

주어진 에지 밀도 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$의 경우 가장 큰 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$ 밀도의$$ 구조는 다음과 같다$.$

무한대에 접근하는$$ 정점 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$을(를) 선택하십시오.정점의$$ $d{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\sqrt{d}N}$ 집합을 선택하고 선택한 집합에 있는 경우에만 두 정점을 연결하십시오.

$이$를 통해 $K{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$$displaystyle K_{r}$ d k${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$. ${\displaystyle$ d$^{k/2}}.}$ 가장$$ 작은 K r {\$displaystyle K_{r$} 밀도의$$ 구성은 다음과 같다$.$

무한에 접근하는 정점을 여러 개 취한다.t{\displaystyle지} 정수가 1− 1t− 1<>d≤ 1− 1t{\displaystyle 1-{\frac{1}{t-1}}<>d\leq 1-{\frac{1}{t}}}.{\displaystyle지},고 총 에지 밀도는 부품의 크기 선택된 밀폐된 모든 부품은 독특한 작은 부분과 동일한 크기를 가지고-partite 그래프 잡거라 d$(\displaystyle$ d$\})$

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{r}}{}}$ -${\displaystyle \frac{}{}}$1 ${\$의 경우$,$ (${\displaystyle }$r${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle(r-1)$-partite인$$ 그래프를 제공하므로 ${\displaystyle K_{}}$ r ${\$s}$s$}s를 제공하지 않는다.

하한은 라즈보로프(2008)^[10]가 삼각형 사례로 입증했고, 이후 레이허(2016)에 의해 모든 파벌로 일반화됐다.^[11]상한은 크러스칼-카토나 정리의 결과물이다.

참고 항목

• 에르드-스톤 정리, 금지된 투란 그래프에서 금지된 투란 그래프로 투란의 정리를 일반화한 것이다.

참조