메르텐스 추측

수학에서 Mertens 추측이란 Mertens 함수 $M{\displaystyle }$($){\displaystyle M(n)}$이$({\displaystyle }$가) ±$$ {\$displaystyle \pm{\sqrt{n}}}$에 의해 경계가 된다는$$ 말이다$.$이제는 반증하지만, 리만 가설을 암시하는 것으로 나타났다.토마스 조앤스 슈틸트제스가 1885년 찰스 에르미테에게 보낸 편지(1905년)와 프란츠 메르텐스(1897년)가 다시 인쇄했으며 앤드류 오들리즈코와 헤르만 테 리엘(1985)이 반증했다.그것은 많은 양의 계산적 증거에도 불구하고 거짓으로 판명된 수학적인 추측의 현저한 예다.

정의

숫자 이론에서, 우리는 머텐스 함수를

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu(k),}$

여기서 μ(k)는 뫼비우스 함수이며, 메르텐스 추측으로는 모든 n > 1에 대해,

${\displaystyle M(n) <{\sqrt {n}}.}$

추측의 분산

스틸트제스는 1885년 $m{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \equiv }$ M${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$/ ${\displaystyle n\sqrt{}}$ ${\$가 경계가 되어 있다고 주장했으나 증거를 발표하지는 않았다.^[1](${\displaystyle m}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle m(n)}$의 관점에서$,$ Mertens 추측으로는- 1< ( )< 1 < ${\displaystyle -1<m(n)<1}.$

1985년 앤드류 오들리즈코와 헤르만 테 리엘레는 렌스트라-렌스트라-로바스츠 격자 기준 감소 알고리즘을 사용하여 머텐스 추정이 거짓임을 입증했다.^[2][3]

( < - 1 ${\$m($n)<-1.009\displays }$ 및 )> 1 ${\displaystyle \limsup m(n)1.06.$$}$

나중에 첫 번째 counterrexample이 e ${\displaystyle {3.21}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{64}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {10}^{}}$ 1${\displaystyle {.39}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{64}^{}}^{}}$ ${\$ 약 $10^{1$} 아래에 나타난다는 것이 밝혀졌다$.$$39\cHB 10^{64}}}$하지만$$^[4] 10 이상¹⁶.^[5]이후 상한은 $e{\displaystyle {}^{\mathrm{}1}}$.${\displaystyle {59}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ 10 ${\displaystyle {{40}^{}}^{}}$ ${\$ 또는$$^[6] 약 ${\displaystyle {10}^{}}$ 6${\displaystyle {.91}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle {{10}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{39}^{}}^{}}$ ${\displaystyle 10^{6.91\times 10^{39}}$로 낮아졌지만$$, 명시적인 counteerexample은 알려져 있지 않다.

반복 로그의 법칙에 따르면 μs를 +1s와 -1s의 무작위 시퀀스로 대체하면 첫 번째 n 항의 부분 합계 성장 순서는 √n 로그 n에 대한 (확률 1) √ n 로그 n에 대한 것으로, m(n)의 성장 순서는 √log n 주위에 있을 수 있다.성장의 실제 구매 다소, 1990년대 초 Gonek이 m(n)의 성장 주문(로그⁡ 로그⁡ 로그⁡ n)다 conjectured[7]가 작5/4, 응 씨(2004년), 발견적 주장에 근거하여, 리만 가설과 월에 대해 특정한 추측이 가능할 것이라고 추측에 의해 확인되었다{\displaystyle(\log\log n\log)^{5/4},}.e리만 제타 함수의 ^[8]0의 평균 동작

In 1979, Cohen and Dress found the largest known value of ${\displaystyle m(n)\approx 0.570591}$ for M(7766842813) = 50286,^{[citation needed]} and in 2011, Kuznetsov found the largest known negative value ${\displaystyle m(n)\approx -0.585768}$ for M(11609864264058592345) = −1995900927.^[9]2016년에 허스트는 n ≤ 10마다¹⁶ M(n)을 계산했지만 m(n)의 더 큰 값을 찾지 못했다.^[10]

2006년에 Kotnik과 te Riele은 상한선을 개선하였고 m(n)이 1.2184를 초과하는 n의 값이 무한히 많지만, 그러한 n에 대해서는 특별한 값을 부여하지 않고 있음을 보여주었다.^[11]2016년 허스트는 더 나아진 모습을 보여줌으로써

m ()< - ${\$m($n)<-1.837625\190 }$ 및 m > 1$\displaystyle \limsup m(n)>1.826054.$$}$

리만 가설과의 연결

리만 가설과의 연결은 리만 제타 함수의 역수에 대한 디리클레 시리즈에 기초한다.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta(s)}}=\sum _{n=1}^{n=1}{n=1}^{\flac {\mu(n)}{n^{s}}}}}}}$

지역 ( )> ${\displaystyle {\mathcal {Re}s>1}$에서 유효 이것을 Stieltjes 적분으로 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta(s)}}=\int _{0}^{\inty }x^{-s}dM(x)}$

부품별로 통합한 후, 멜린 변환으로서 제타 함수의 역수를 구한다.

${\displaystyle {\frac {1}{s\zeta(s)}}=\좌측\{\\\mathcal {M}M\right\}(-s)=\int_{0}^{0}{\x^{-s}M(x)\,{\frac {dx}}.}$

멜린 반전 정리를 이용하여 우리는 이제 M을 다음과 같은 관점에서 표현할 수 있다.로서 ½ζ

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{2\pi i}\int _{\sigma -i\inflt }^{\x^{s}}{s\s\zeta}}},ds}$

그것은 1 < < < 2>에 유효하며, 리만 가설의 ½ < σ < 2>에 유효하다.이로부터 멜린 변환 적분은 수렴되어야 하며, 따라서 M(x)은 다음보다 큰 모든 지수 e에 대해 O(x^e)여야 한다.1/2. 이로부터 다음과 같다.

$[\displaystyle M(x)=O{\Big (}x^{\tfrac {1}{2}}+\엡실론}{\Big )}}}}}}$

모든 양의 ε은 리만 가설과 동등하기 때문에, 따라서 더 강한 메르텐스 가설에서 따랐을 것이고, 슈틸트제스의 가설에서 따온 것이다.

$[\displaystyle M(x)=O{\Big (}x^{\tfrac {1}{1}{2}}{\Big )}.}$

참조

추가 읽기

• Kotnik, Tadej; te Riele, Herman (2006). "The Mertens Conjecture Revisited". In Hess, Florian (ed.). Algorithmic number theory. 7th international symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23--28, 2006. Proceedings. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4076. Berlin: Springer-Verlag. pp. 156–167. doi:10.1007/11792086_12. ISBN 3-540-36075-1. Zbl 1143.11345.
• Kotnik, T.; van de Lune, J. (2004). "On the order of the Mertens function" (PDF). Experimental Mathematics. 13 (4): 473–481. doi:10.1080/10586458.2004.10504556. Archived from the original (PDF) on 2007-04-03.
• Mertens, F. (1897). "Über eine zahlentheoretische Funktion". Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a. 106: 761–830.
• Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), "Disproof of the Mertens conjecture" (PDF), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985 (357): 138–160, doi:10.1515/crll.1985.357.138, ISSN 0075-4102, MR 0783538, Zbl 0544.10047
• Pintz, J. (1987). "An effective disproof of the Mertens conjecture" (PDF). Astérisque. 147–148: 325–333. Zbl 0623.10031.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag, pp. 187–189, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300
• Stieltjes, T. J. (1905), "Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre #79", in Baillaud, B.; Bourget, H. (eds.), Correspondance d'Hermite et Stieltjes, Paris: Gauthier—Villars, pp. 160–164

• Weisstein, Eric W. "Mertens conjecture". MathWorld.

외부 링크

• "A Prime Surprise (Mertens Conjecture)". Numberphile. January 23, 2020. Archived from the original on 2021-12-21 – via YouTube.