혼합(수학)

수학에서 혼합은 물리학에 기인한 추상적인 개념이다: 일상 세계에서 혼합되는 되돌릴 수 없는 열역학 과정을 설명하려는 시도: 페인트 혼합, 음료 혼합, 산업 혼합 등.

그 개념은 확률적 과정과 측정 보존 역동적 시스템에 대한 연구인 에고다이컬 이론에 나타난다. 강한 혼합, 약한 혼합 및 위상학적 혼합을 포함하여 혼합에 대한 몇 가지 다른 정의가 존재하며 마지막 정의는 조치를 정의할 필요가 없다. 혼합에 대한 몇 가지 다른 정의는 계층적 순서로 배열될 수 있다. 따라서 강한 혼합은 약한 혼합을 의미한다. 게다가 약한 혼합(따라서 강한 혼합도 포함)은 인간성을 내포하고 있다. 즉, 약하게 혼합되는 모든 시스템은 또한 인간성이라는 것이다(그래서 사람들은 혼합이 인간성보다 더 강한 개념이라고 말한다).

비공식적 설명

혼합의 수학적 정의는 물감, 음료, 조리 재료, 산업 공정 혼합, 연기가 가득한 방에서의 연기 등과 같은 혼합의 일상적인 매일의 과정을 포착하는 것을 목표로 한다. 수학적인 엄격함을 제공하기 위해, 그러한 설명은${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle A\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \mu }$, T${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X,{\mathcal{A},\mu ,T)}$로 쓰여진 측정 보존 동력학적 시스템의 정의로부터 시작된다$.$

세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$는 믹싱 볼, 연기가 가득 찬 방 등 채울 총 공간으로 파악된다. 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$과(와) 하위 공간의 자연 볼륨을 정의하는 데 이해된다$$. 서브 스페이스 컬렉션은 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$로 표시되며$,$ 주어진 $서브셋{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \subset }$ X ${\displaystyle A\subset$ X$}$의 크기는 $\mu {\displaystyle (A}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mu(A)}$이며$,$ 크기는 그 볼륨이다. Naely, $사람들$은 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${\$$mathcal{A}}$이 X {\$displaystyle X}$의 전원 집합이라고 상상할$$ 수 있었다$;$ 이것은 공간의 모든 하위 집합이 볼륨을 가지는 것은 아니기 때문에(명확히, Banach-Tarski 역설). 따라서 일반적으로 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 측정 가능한 하위 집합, 즉 볼륨이 있는 하위 집합으로 구성된다$$. 교차로, 유니언 및 세트 보완을 통해 구성할 수 있는 서브셋 모음인 보렐 집합으로 항상 간주된다. 이러한 집합은 항상 측정할 수 있다.

The time evolution of the system is described by a map ${\displaystyle T:X\to X}$. Given some subset ${\displaystyle A\subset X}$, its map ${\displaystyle T(A)}$ will in general be a deformed version of ${\displaystyle A}$ – it is squashed or stretched, folded or cut into pieces. 수학적인 예로는 제빵사의 지도와 편자 지도가 있는데, 둘 다 빵 제조에서 영감을 받은 것이다. 세트 $T{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle T(A)}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과(와) 볼륨이 같아야 하며$$$,$ 스퀴싱/스레칭은 공간의 볼륨이 변경되지 않으며, 공간 분포만 변경되지 않아야 한다. 그러한 시스템은 "측정-보존(면적-보존, 볼륨-보존)"이다.

세트의 크기를 지도 아래 보존할 필요성과 조화시키려 할 때 형식적인 어려움이 발생한다. The problem arises because, in general, several different points in the domain of a function can map to the same point in its range; that is, there may be ${\displaystyle x\neq y}$ with ${\displaystyle T(x)=T(y)}$. Worse, a single point ${\displaystyle x\in X}$ has no size. These difficulties can be avoided by working with the inverse map ${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$; it will map any given subset ${\displaystyle A\subset X}$ to the parts that were assembled to make it: these parts are ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\m$$atcal{A$ 사물이 어디서 왔는지 "잃어버린 트랙"이 아니라는 중요한 속성을 가지고 있다. 더욱 강하게, ${\displaystyle 그것}$은 (측정 보존) $지도{\displaystyle \mathcal{}}$ A${\displaystyle }$→ A ${\$에서 일부 지도 $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to$ X$}$의 역이라는$$ 중요한 속성을 가지고 있다$.$ The proper definition of a volume-preserving map is one for which ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$ because ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ describes all the pieces-parts that ${\displaystyle A}$ came from.

사람들은 이제 그 시스템의 시간 진화를 연구하는 데 관심이 있다. 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A\mathcal{}}$ ${\$이(가) 오랜 시간 동안$$(${\displaystyle 즉}$, $\cup {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cup _{k=1}^{n$){n) 모든$X$를 방문하는 경우$}}T^{k}(A)}$이(가) $대형{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n}$에 $대해{\displaystyle }$ 모든$$X {\$displaystyle$ X$}$에 접근함),$$ 시스템이 에고딕적이라고 한다. 모든 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 이러한 방식으로 동작할$$ 경우, 시스템은 보수적인 시스템으로, 일부 하위 $세트{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$이(가) 떠돌아다니지만 결코 반환되지 않는 분산 시스템과는 대조적으로 배치된다. 예를 들어, 물이 내리막길을 따라 흐른다면, 물이 한 번 내려가면 다시는 위로 올라오지 않을 것이다. 그러나 이 강 바닥에서 형성되는 호수는 잘 섞일 수 있다. 에고다이컬 분해 정리는 모든 에고다이컬 시스템은 보수적인 부분과 방산적인 부분의 두 부분으로 나눌 수 있다고 명시하고 있다.

혼합은 인간성보다 강한 표현이다. Mixing asks for this ergodic property to hold between any two sets ${\displaystyle A,B}$, and not just between some set ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle X}$. That is, given any two sets ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$, a system is said to be (topologically) mixing if there is an integer ${\displaystyle N}$ such that, for all ${\displaystyle A,B}$ and ${\displaystyle n>N}$, one has that ${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$. Here, ${\displaystyle \cap }$ denotes set intersection and ${\displaystyle \varnothing }$ is the empty set.

위상학적 혼합에 대한 정의는 혼합에 대한 비공식적인 아이디어를 제공하기에 충분해야 한다(아래 주어진 형식적 정의와 동일하다). 그러나 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $및{\displaystyle }$ B$$ ${\displaystyle B$의 볼륨에 대해서는 언급하지 않았으며, 실제로 볼륨과 함께 명시적으로 작동하는 또 다른 정의가 있다. 실제로 몇 개; 한 개는 강한 혼합과 약한 혼합을 둘 다 가지고 있다; 강한 혼합 시스템은 항상 약하게 혼합되지만, 그들은 불평등하다. 측정 기반 정의는 위상학적 혼합의 정의와 호환되지 않는다. 하나는 있지만 다른 하나는 아닌 시스템이 있다. 일반적인 상황은 흐린 상태로 남아 있다. 예를 들어, ${\displaystyle 세\mathcal{}}$ ${\displaystyle \mathrm{세트}}$ $A{\displaystyle ,}$ B${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \in }$ A ${\$에서 3-믹싱을 정의할 수 있다$.$ 2020년 현재, 2-믹싱이 3-믹싱을 내포하고 있는지는 알려져 있지 않다. (만약에 1-믹스를 "1-믹싱"이라고 생각한다면, 1-믹싱이 2-믹스를 내포하고 있는 것이 아니라, 에고딕적이지만 혼합되지 않는 시스템이 있다는 것은 분명하다.)

강한 혼합의 개념은 한 쌍의 세트의 부피를 참고하여 만들어진다. 예를 들어, 예를 들어, 옥수수 시럽이나 샴푸 같은 종류의 끈적한 액체 컵에 혼합되어 있는 컬러 $염료$ $A$를 생각해 $보십시오.$ 실제 경험에 따르면 끈적끈적한 액체를 섞는 것은 꽤 어려울 수 있다: 보통 용기에는 염료를 섞는 것이 어려운 구석이 있다. 접근하기 어려운 모서리를 B $세트$ ${\$det B {\display $style$ B$}$ 혼합의 문제는 $그렇다면{\displaystyle }$ A {\$displaystyle A}$이$($가$)$ 충분히 오랜 시간 $후$에 B$${\$displaystyle B$$}$에 침투할 수 있을 뿐 아니라 $다른$ 곳에서와$$같은 $비율$로 B {\$displaystyle$ B}을(를$$) 채울 수 있을까?

하나는 강한 혼합의 정의를 다음과 같은 요구 사항으로 구한다.

$\displaystyle \lim _{n\to \ft}\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu(A)\mu(B)}$

시간 매개 변수 $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $n$$}$은(는) $테스트{\displaystyle }$ $볼륨{\displaystyle }$$$B {\$displaystyle$B$$}을$($를$)$ 고정하면서$$$$ A {\$displaystyle$ A}을$(를)$ 혼합하는 역할을$$ 한다. 제품 $\mu {\displaystyle (A}$) ${\displaystyle \mu (B}$) ${\displaystyle \mu(A)\mu(B)}$는 조금 더 교묘하다. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 볼륨이 전체 볼륨의 10%이며, 염료$$ A {\$displaystyle$ A$} 볼륨$도 전체 볼륨의 10%가$$ 된다고 상상해 보십시오. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 균일하게 분포되어 있으면 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 10%를 점유하고 있으며$,$ 따라서 혼합한 후에는 $B{\displaystyle }${\$displaystyle$B}에$$ $있는{\displaystyle }$ A ${\displaystystyle$ A$}$의 일부가 전체 볼륨의 1%가$$ 된다. 즉, $\mu {\displaystyle }$(${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle \cap }$ B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu }$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle \mu }$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle )}$ . ${\displaystyle \mu \left ({\mbox{후-믹싱}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\$mu (B)\mu$)\mu$ (B$)$$}}$ 이$$ 발상의 산물은 베이지스 정리와 확률적으로 지나가는 것 이상의 유사성을 가지고 있다; 이것은 사고가 아니라, 이론과 확률 이론이 같은 이론이라는 결과를 가지고 있다: 서로 다른 표기법을 사용함에도 불구하고 같은 공리(콜모고로프 공리)를 공유하고 있다.

정의에서$$ $T{\displaystyle {}^{}}$ n ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ T$^{n}A}$ 대신 T$$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ T^{-$n}A}$를 사용하는 이유는 약간 미묘하지만, T${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {\mathrm{A}}^{}}$ ${\displaystyle$ T$^{-1}A}$를 사용하여$$ 측정 보존 맵의 개념을 정의한 동일한 이유에서 비롯된다. 얼마나 많은 염료가 코너 $[\displaystyle B}$에 섞였는지를 볼 때$,$ 사람들은 그 염료가 어디에서 왔는지를 보고 싶어한다. (아마도, 그것은 과거에 어느 때 윗부분에 쏟아졌을 것이다.) "출발"할 수 있는 모든 장소가 결국 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 혼합된다는 것을 확실히 해야 한다$.$

동적 시스템에 혼합

${\displaystyle \mathrm{Let}}{\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle A}$ ,${\displaystyle \mu }$, T ) ${\displaystyle$ ($X,{\mathcal{A},\mu$ ,$T)$은 측정 보존 역동적인 시스템이며, T는 시간 진화 또는 시프트 연산자다. $시스템$은 A${\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ A ${\$에 대해 다음이 있는 경우 강한 혼합이라고 한다.

$\displaystyle \lim _{n\to \ft}\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu(A)\mu\mu(B)}$

$이산{\displaystyle {}^{}}$ 정수 n 대신 연속 변수에 의해 파라메트리된 이동의 경우 T${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ T$^{-n}$이(${\displaystyle {가}_{}}$) T$$g {\$displaystyle T_{g}$로 대체되고$$ g는 연속 시간 파라미터가 된다.

역동적인 시스템은 만약 그것이 있다면 약한 혼합이라고 한다.

${\displaystyle \lim_{n\to \frac {1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\왼쪽 \mu(A\cap T^{-k}B)-\mu(B)\mu(B)\right =0)}$

즉 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$}$은${\displaystyle }\mu {\displaystyle (A}$ μ${\displaystyle T^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$B ) - $)$→ 0$${\$displaystyle \mu(A\cap$ T$^{-n}B$)-\$mu(A)\mu($B)\$to$ 0$}$이면 강한 혼합이며, 통상적인 의미에서는$$ 약한 혼합이다$$.

$\displaystyle \left \mu(A\cap T^{-n}B)-\mu(A)\mu(B)\오른쪽 \to 0,}$

$\mu {\displaystyle (A}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{-n}}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mu (A}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mu (}$A )$$μ(${\displaystyle B}$) {\$displaystyle \mu \left(A\cap$ T$^{-n}B\right)\mu(B$)\$to$\mu($A)\$mu$$$)}.$ 따라서 강한 혼합은 약한 혼합을 의미하며, 이는 인간성을 의미한다. 그러나, 그 반대는 사실이 아니다: 약하게 섞이지 않는 에고다이내믹 시스템이 존재하고, 강하게 섞이지 않는 다이너믹 시스템이 약하게 섞이지 않는다. 샤콘 제도는 역사적으로 미싱이 약하지만 미싱이 강하지 않은 체계의 첫 사례였다.^[1]

${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ L$^{2}}$ 제형$$

측정값 보존 역동적 시스템의 인간성, 약한 혼합 및 강한 혼합의 특성도 관측 가능성의 평균으로 특징지어질 수 있다. By von Neumann's ergodic theorem, ergodicity of a dynamical system ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ is equivalent to the property that, for any function ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$, the sequence ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ conces X f ${\displaystyle \mu }$[\${\displaystyle displaystyle}$ $\int _{X}f\,d\$mu $\},$ 즉 $\int {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ μ$[\displaystyle$ \int _{X}f\,d\$mu$}]에 대한 강렬하고 의미에서의 vergeesargees

${\displaystyle \lim _{N\to \ft}\왼쪽\{1 \over N}\sum _{N-1}f\circu T^{n}-int _{X}f\,d\mu \right\{L^{2}(X,\mu )=0}=0}=0.}$

동적 시스템$({\displaystyle X\mathcal{}}$, A ,${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle(X$, ${\mathcal {A},\mu, T)$이 기능 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ $및{\displaystyle }$ g$$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}(X}$, ${\displaystyle \mu }$)에 대해 ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu)})$에 약하게 혼합된$$ 경우

${\displaystyle \lim _{N\to \ft \}{1 \over N}\sum _{N-1}^{N-1}\왼쪽 \int _{X}f\cdot gd\mu -\int_{X}f\,d\cdot \int \int _{X}g\rig\rig\rig\rig\mu 오른쪽 =0.}$

A dynamical system ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ is strongly mixing if, for any function ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu ),}$ the sequence ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ converges weakly to ${\displaystyle \int$$_{X}f\,d\mu ,}$즉$$, 모든 함수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }\int_{X}f\cdot g\,d\mu =\int_{X}f\,d\mu \cdot \int_{X}g\,d\mu.}$

Since the system is assumed to be measure preserving, this last line is equivalent to saying that the covariance ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Cov} (f\circ T^{n},g)=0,}$ so that the random variables ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ and ${\displaystyle g}$$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 증가함에 따라 직교하게 된다. 실제로 이 기능은 모든 함수 $g{\displaystyle }$ ,${\displaystyle$ g$,}$에 대해 작동하므로$$, 임의 $변수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$t ${\displaystyle {Tn}^{}}${\$displaystyle f\circus$ T$^{n}}$과 g$${\$displaysty g}$이(가) n ${\displaystyn}$이(가) 증가함에 따라 독립되는$$ 속성으로 혼합을 비공식적으로 볼 수 있다.

동적 시스템의 제품

Given two measured dynamical systems ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ and ${\displaystyle (Y,\nu ,S),}$ one can construct a dynamical system ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$ on the Cartesian product by defining ${\displaystyle (T\times S)(x,y)=(T(x),S(y)}$${\displaystyle )}$ .${\displaystyle (T\times$S)($x,y)=(T(x), S(y)).}$ 그러면$$ 다음과 같은 약한 혼합의 특성이 나타난다.

제안. A dynamical system ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ is weakly mixing if and only if, for any ergodic dynamical system ${\displaystyle (Y,\nu ,S)}$, the system ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$ is also ergodic.

제안. 동적 시스템$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle T}$) ${\displaystyle (X,\mu ,$${\displaystyle T}$$)}$이$($가) 만약 (${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}}$ 2,${\displaystyle {}^{}\mu \mu }$ , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \times }$ T${\displaystyle }$) {\$displaystyle (X^{2},\muotimes \mu ,T\time T)}$이(가) 또한 에고딕적이면$$ 약하게 혼합된다$$. 그렇다면${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}\mu }$μ ${\displaystyle \mu }$μ , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\time T)}$도 약하게 섞이고 있다$$.

일반화

위에 주어진 정의를 때로는 강한 2믹스라고 부르기도 하는데, 이는 혼합의 높은 순서와 구별하기 위해서입니다. 강력한 3믹스 시스템은 다음을 위한 시스템으로 정의될 수 있다.

$\displaystyle \lim _{m,n\to \infit }\mo(A\cap T^{-m-n}C)=\mu(A)\mu(B)\mu(C)\mu(C)}$

A, B, C의 모든 측정 가능한 세트에 대한 홀드. 우리는 강한 k-mixing을 유사하게 정의할 수 있다. 모든 k = 2,3,4 ...에 대해 강력한 k-믹스 시스템을 모든 주문의 혼합이라고 한다.

강한 2믹스가 강한 3믹스를 내포하고 있는지는 알 수 없다. 강력한 m-mixing은 인간성을 내포하고 있는 것으로 알려져 있다.

예

원의 비합리적인 회전, 그리고 보다 일반적으로 토러스 위에 있는 수정 불가능한 번역은 에르고딕적이지만 르베그 측정에 관해서는 강하게 또는 약하게 혼합되지 않는다.

혼돈으로 간주되는 많은 지도들이 다이오드 지도, 아놀드의 고양이 지도, 편자 지도, 콜모고로프 자동화, 아노소프 흐름(부수 곡률의 콤팩트 다지관의 접선 다발의 지오데틱 흐름)을 포함한 몇몇 잘 조화되지 않은 척도를 위해 강하게 섞이고 있다.

위상혼합

혼합 형식은 시스템의 위상만을 사용하여 조치에 호소하지 않고 정의될 수 있다. ${\displaystyle \mathrm{연속}}$ 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ X ${\displaystyle f:X\to X}$은(는) 비어 있지 않은 모든 쌍에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ A${\displaystyle }$, B ${\displaystyle \subset }$ X ${\displaystyle A,B\subset X}$과$($와) 같은 정수 n이 있으면 위상학적으로 전이적이라고 한다$$.

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

${\displaystyle {여기}^{}}$서 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 f의 n번째 반복이다. 연산자 이론에서는 위상학적으로 전이된 경계 선형 연산자(위상학 벡터 공간의 연속 선형 지도)를 보통 하이퍼순환 연산자라고 부른다. 유랑 세트에 의해 관련 사상이 표현된다.

Lemma: If X is a complete metric space with no isolated point, then f is topologically transitive if and only if there exists a hypercyclic point ${\displaystyle x\in X}$, that is, a point x such that its orbit ${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$ is dense in X.

시스템은 만약 $열린{\displaystyle }$집합 A {\$displaystyle$ $}$과 B {\$displaystyle B}$에 모든 n >$$ $displaystyle N}$에 대한 정수 N이 존재한다면 토폴로지적으로 혼합된다고 한다

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing.}$

${\displaystyle {연속}^{}}$ 시간 시스템의 경우, $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ f$^{n}}$은(는) 흐름 ${\displaystyle g_{}}$ g$${\$displaystyle \varphi _{g}$로 대체되며 빈 가{g $display$ > N {\$displaystystyle \Vert >N}$에 대해 유지되어야 한다

약한 위상학적 혼합은 (위상에 관한) 시프트 운영자의 고유 특성이 일정하지 않은 연속성을 가지는 것이다.

위상학적 혼합은 의미하지도 않고, 약하거나 강한 혼합에 의해 암시되지도 않는다: 위상학적으로 혼합이 약하지만 위상학적으로 혼합되지 않는 시스템의 예와 위상학적으로 혼합되지만 강한 혼합은 아니다.

확률적 공정에서 혼합

( ) -< t< ${\$<${\displaystyle t\mathbb{}}$$<\infit }}}}$ 확률 공간${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, P $){\displaystyle (\Oomega ,{mathcal{F},\mathb {P})}}}}}$에 대한 확률 과정이다$.$ 프로세스 맵이 토폴로지와 함께 부여될 수 있는 시퀀스 공간, 제품 토폴로지. 이 위상의 오픈 세트를 실린더 세트라고 한다. 이 실린더 세트는 보렐 σ-알지브라, 즉 σ-알지브라(Borel σ-algebra)를 생성하는데, 위상이 포함된 smallest-알지브라 중 가장 작다.

강력한 혼합 계수라고$$하는 함수 α {\displaystyle $\alpha$ $\}$을(를) 정의하십시오.

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{ \mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B) :-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

모든− ∞<>로− ∞과의<>∞{\displaystyle-\infty<>s<,\infty}. 기호는 X는 b{\displaystyle X_{}^{b}}, ≤ ≤ b≤ ∞{\displaystyle-\infty \leq\infty b\leq a\leq}은 σ-algebra의 sub-σ-algebra을 나타낸다;실린더 세트의 시간 사이에 a와 b, 없애주는σ-algebra 유전자 지정된 그것의 집합입니다.에 의해 정격${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,{}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots,X_{b$

그 과정은 ∞{\displaystyle(X_{t})_{-\infty<>t<,\infty}}에 굳게 섞어 만약 s로α(s)→ 0{\displaystyle \alpha(s)\to 0}→ ∞{\displaystyle s\to\infty}. 즉, 강력한mixing 과정과 방식으로 항상 있어{\display에 똑같은 모습을 하고 있다고 말해도 과언이 아니다라고 한다− ∞<>t<>(Xt).스타일 t}는모든 이벤트, 시간 t $이전$의 $이벤트,$ 시간 t 이전의$$ $이벤트{\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{시간}}$ t${\displaystyle }$+ s$${\$displaystyle t+s}$이(가) s${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaysty s\to \inft$ $\};$ 보다 구어적으로, 그 과정은 강한 의미에서 그 역사를 잊어버리는$$ 경향이 있다.

Markov 프로세스에서 혼합

Suppose ${\displaystyle (X_{t})}$ were a stationary Markov process with stationary distribution ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ and let ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} )}$ denote the space of Borel-measurable functions that are square-integrable with respect to the measure ${\displaystyle$$\mathb {Q}$} . 또한 let

${\displaystyle {\mathcal {E}_{t}\varphi(x)=\mathb {E}[\varphi(X_{t})]\mid X_{0}=x]}$

$L$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle Q\mathbb{}}$)$$. {\$displaystyle L^{2}(\mathb {Q}$ )에 대한 조건부 기대 연산자를 나타낸다$.$

${\displaystyle Z=\왼쪽\{\\varphi \in L^{2}(\mathb {Q}):\int \varphi \,d\mathb {Q} =0\right\}}}$

제곱합성 함수의 공간을 평균 0으로 나타낸다.

프로세스 {x_t}의 ρ-믹싱 계수는

${\displaystyle \rho_{t}=\sup_{\varphi \in Z:\\\\varphi \{2}=1}{2}=1}\mathcal{E}\{t}\varphi \{2}.}$

이러한 계수가 t → ∞로 0으로 수렴하면 ρ-믹스라고 하고, 일부 Δ > 0에 대해서는 ρ_t < e를^−δt 지수 붕괴율에 의한 m-믹스라고 한다. 정지된 마르코프 공정의 경우 계수 ρ은_t 지수 속도로 붕괴하거나 항상 1과 같을 수 있다.^[2]

프로세스 {x_t}의 α-믹싱 계수는

${\displaystyle \alpha \{t}=\suppy \in Z:\\\varphi \ \\\barphi \{\inprety }=1}\\mathcal{E}_{t}\varphi \{1}.}$

이러한 계수가 t → ∞로 0으로 수렴하면 α믹스라고 하고, 일부 Δ > 0에 대해서는 α_t < γe를^−δt, 일부 비증가함수 $\xi {\displaystyle }$ t(t)을 만족하면$$ α믹스라고 하며, α_t < $function$(t)를 준우량 붕괴율의 α믹스라고 한다$.$

${\displaystyle {\frac {\ln \xi(t)}{t}\to 0}$

$t{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle t\to \inflt$^[2]

α-믹싱 계수는 항상 α-믹싱_t 계수보다_t 작기 때문에 공정이 α-믹싱이라면 반드시 α-믹싱이 될 것이다. 그러나 when_t = 1일 때 공정이 여전히 α-믹싱일 수 있으며, 부존재 붕괴율이 있을 수 있다.

β-믹싱 계수는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \beta \{t}=\int \sup _{0\leq \varpi 1}\왼쪽 {\mathcal {E}_{t}\varphi(x)-int \varphi \d\mathb {Q} 오른쪽 \mathb {Q}.}}$

이러한 계수가 t → ∞로 0으로 수렴하면 β-믹싱이라고 하며, 일부 Δ > 0에 대해서는 β_t < γe를^−δt, 일부 비증가함수 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaysty \xi}$에 대해서는 βξ_t(t) → 0을 t로 하면 하위존 붕괴율을 갖는 β-믹싱이다.

${\displaystyle {\frac {\ln \xi(t)}{t}\to 0}$

$t{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle t\to \inflt$^[2]

엄격히 정지된 마르코프 프로세스는 주기적인 재발 해리스 체인인 경우에만 β-믹싱이다. β-믹싱 계수는 항상 α-믹싱 계수보다 크므로 공정이 β-믹싱이라면 α-믹싱도 된다. β-믹싱과 β-믹싱 사이에는 직접적인 관계가 없다. 둘 중 어느 것도 다른 것을 암시하지 않는다.

참조