비데사게스 평면

Non-Desarguesian plane

수학에서 데사게스 평면은 데사게스의 정리(지라르 데사게스의 이름을 딴 이름)를 만족시키지 못하는 투영 평면, 즉 데사게스 평면이 아닌 평면을 말한다.데스아게스의 정리는 2가 아닌 차원의 모든 투사적 공간에서 사실이다.[1] 즉, 2와 같지 않은 차원의 투사적 공간은 필드 위에 있는 고전적 투사적 기하학(또는 분할 고리)뿐이다.그러나, 데이비드 힐버트는 일부 투영 비행기가 그것을 만족시키지 못한다는 것을 발견했다.[2][3] 이러한 예에 대한 현재의 지식 상태는 완전하지 않다.[4]

예

유한한 경우와 무한히 데스투게스가 아닌 비행기 모두 많은 예가 있다.데스투게스가 아닌 무한대의 비행기의 알려진 예로는 다음과 같은 것들이 있다.

유한한 비 데스투게스 평면에 대해서는 기껏해야 8의 투사 평면은 모두 데스투게스이지만, 순서 9의 비데스주의 예는 각각 91점과 91선을 가지고 있다.[5]다음 구성 요소:

유한 및 무한 비 데카게스 평면의 수많은 다른 구조물이 알려져 있다. 예를 들어 뎀보스키(1968년)를 참조한다.알려진 모든 유한한 비 데카게스 평면의 구조는 순서가 적절한 프라임 파워인 평면, 즉 p는 프라임이고 e는 1보다 큰 정수인 p형식의 정수인e 평면을 생산한다.

분류

한프리드 렌츠는 1954년에[6] 투사 비행기에 대한 분류 계획을 주었고 이것은 1957년에 아드리아노 바로티가 다듬었다.[7]이 분류 체계는 평면의 콜라인먼트 그룹이 허용하는 점-선 전이성의 유형을 기반으로 하며 투영 평면의 Lenz-Barlotti 분류로 알려져 있다.53종류의 목록은 뎀보스키(1968, 페이지.124–5)에 제시되어 있으며, 유한 및 무한 사례 모두에서 당시 알려진 존재 결과 표(이러한 줄선 그룹과 평면 모두에 대하여)가 126페이지에 나타난다.2007년 현재, 「이 중 36개가 유한집단으로 존재한다.7에서 12 사이는 유한 투사 평면으로 존재하며, 14 또는 15 중 한 쪽이 무한 투사 평면으로 존재한다.[4]

다른 분류 체계가 존재한다.가장 간단한 것 중 하나는 투영 평면을 조정하는 데 사용할 수 있는 평면 테너리 링(PTR)의 유형을 기반으로 한다.종류는 밭, 꼬치밭, 대체 사단 고리, 세미필드, 근거리장, 오른쪽 근거리장, 퀘이필드, 오른쪽 퀘이필드가 있다.[8]

원뿔소와 난자

데사게스의 투영 평면에서 원뿔은 등가성이 입증될 수 있는 몇 가지 다른 방법으로 정의될 수 있다.데스투게스가 아닌 평면에서 이러한 증명들은 더 이상 유효하지 않으며 서로 다른 정의들은 비등등한 물체를 발생시킬 수 있다.[9]테오도르 G. 오스트롬은 이 원뿔형 인물들에게 원뿔형이라는 이름을 제안했지만 공식적인 정의를 제공하지 않았고 이 용어는 널리 사용되는 것 같지 않다.[10]

데스바게스의 비행기에는 다음과 같은 몇 가지 방법이 정의될 수 있다.

  1. 극성의 절대점 집합은 폰 스토트 원뿔체로 알려져 있다.평면이 특성 2의 영역에 걸쳐 정의되면 퇴보된 원뿔만 얻는다.
  2. 두 연필의 해당 선들의 교차점 세트는 투영적이지만 관점이 없는 것으로 Steiner 원뿔이라고 알려져 있다.연필이 시각적으로 연관되면 원뿔은 퇴화된다.
  3. 좌표가 2도의 되돌릴 수 없는 균질 방정식을 만족하는 점들의 집합.

게다가 유한한 데사게스 평면에서 다음과 같이 한다.

  1. PG(2,q)에서 q + 1 포인트의 집합, 3개의 콜린어가 없는 것을 타원형이라고 한다.만약 q가 이상하다면, 세그르의 정리로는 PG(2,q)의 타원형은 위 의미 3에서 원뿔이다.
  2. 오스트롬 원뿔은 조화 집합의 일반화에 기초한다.

아트지는 폰 스토트 코닉이 아닌 무우팡 비행기에서 슈타이너 코닉의 예를 들었다.[11]가너는 한정된 세미필드 평면에서 오스트롬 원뿔이 아닌 폰 스토트 원뿔의 예를 제시한다.[9]

메모들

  1. ^ Desargues의 정리는 차원 1에서는 공허하게 진실이다; 차원 2에서는 문제가 있을 뿐이다.
  2. ^ Hilbert, David (1950) [first published 1902], The Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie] (PDF), English translation by E.J. Townsend (2nd ed.), La Salle, IL: Open Court Publishing, p. 48
  3. ^ 기하학[Grundlagen 지오 메츠 라이는 해부학]의 힐베르트, 다비드(1990년)[1971년], 기초, 레오 Unger에 의해 우편 7410독일판(2영어 교육.), 라살, IL:오픈 법원 출판사, 아이 에스비엔 0-87548-164-7를 번역하다.이 페이지에 각주에 따르면 진품"첫번째"예 이전 버전에 출연하는 몰턴. 미국의 소소한 예가 이후에 개정판 교체됐다.
  4. ^ a b 와이벨 2007, 페이지 1296
  5. ^ 주문 9의 4개 비행기에 대한 설명은 Room & Kirkpatrick 1971을 참조하라.
  6. ^ Lenz, Hanfried (1954). "Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 57: 20–31. MR 0061844.
  7. ^ Barlotti, Adriano (1957). "Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (A,a) per cui un piano grafico risulta (A,a)-transitivo". Boll. Un. Mat. Ital. 12: 212–226. MR 0089435.
  8. ^ Colbourn & Dinitz 2007, 페이지 723 Leo Storme의 유한 기하학에 관한 기사.
  9. ^ a b Garner, Cyril W L. (1979), "Conics in Finite Projective Planes", Journal of Geometry, 12 (2): 132–138, doi:10.1007/bf01918221, MR 0525253
  10. ^ Ostrom, T.G. (1981), "Conicoids: Conic-like figures in Non-Pappian planes", in Plaumann, Peter; Strambach, Karl (eds.), Geometry - von Staudt's Point of View, D. Reidel, pp. 175–196, ISBN 90-277-1283-2, MR 0621316
  11. ^ Artzy, R. (1971), "The Conic y = x2 in Moufang Planes", Aequationes Mathematicae, 6: 30–35, doi:10.1007/bf01833234

참조