안정된 표준 번들

수학의 한 분야인 수술 이론에서, 미분 가능한 다양체의 안정적인 정규 다발은 안정적인 정규(결국, 접선) 데이터를 부호화하는 불변량이다.다지관, 특히 PL-매니폴드와 위상 다지관의 일반화를 위한 아날로그가 있다.또한 마이클 스피박의 ^[1]이름을 딴 스피박 구면 편파라는 푸앵카레 공간에 대한 호모토피 이론의 유사점이 있다.

임베디드에 의한 시공

(하슬러 휘트니의 정리에 의해 제공된) 유클리드 공간에 다양체의 삽입이 주어진다면, 그것은 정규 다발을 가지고 있다.임베딩은 고유하지 않지만, 유클리드 공간의 고차원의 경우 등방성까지 고유하며, 따라서 (다발의) 클래스는 유일하며 안정적인 정규다발이라고 불린다.

이 구조는 모든 Poincaré 공간 X에 대해 작동합니다. 유한 CW 복합체는 일반 위치를 통해 유클리드 공간에 안정적으로 고유한(최대 호모토피) 매립을 허용하며, 이 매립은 X에 대한 구면 보정을 생성합니다.제한된 공간(특히 PL-매니폴드 및 위상 매니폴드)의 경우 더 강력한 데이터를 얻을 수 있습니다.

세부 사항

2개의 $i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ i $i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ $i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ $i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ : $i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ $i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ $i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ m $i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ \ $displaystyle$ i , $i$ ' \ $displayrightarrow$ \ $mathbb$ { $R }$ ^ { $m$ }은 $i,i'\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ 내장 i를 통해 동위원소이다.유클리드 $i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m},$ $i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m},$ 에 X $i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m},$ $i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m},$ m $,$ $displaystyle i\hookrightarrow$ $j\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n},$ \ $mathbb$ ${$ $R} ^{m},$ $j\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n},$ : $j\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n},$ $j\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n},$ $,$ {\ $displaystyle j\hookrightarrow$ \ $mathbb {$ R $}$ ^{n $}$ 의 두 가지 포함 다지체 또는 기타 적절한 공간 X가 주어졌을 때, 이들은 일반적으로 동위원소가 아니다. $style$ m은 $m$ n $(\displaystyle$ n $)$ 일 $n$ 는 $없습니다$ .그러나 $N-m$ N $N-m$ - $N-m$ (\ displaystyle $N-m)$ 좌표를 $N-m$ 0으로 하면 이들을 더 큰 $\mathbf {R} ^{N}$ $\mathbf {R} ^{N}$ (\ $displaystyle$ $\mathbf {R} ^{N$ })에 삽입할 수 있습니다.

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

: X

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

m

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

×

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

{ ( 0

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

,

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

,

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

)

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

m ×

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

N -

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

R

i\colon X\hookrightarrow \mathbb {R} ^{m}\cong \mathbb {R} ^{m}\times \left\{(0,\dots ,0)\right\}\subset \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{N-m}\cong \mathbb {R} ^{N}

{

display style i

\

hook right arrow

\

mathbb

{ m

}

^ { r } \

cong

\

mathbb

{ R

}

^ {

right

} \

leftimes

\ right (

0 )

유클리드 공간의 인접한 사소한 복사본의 과정을 안정화라고 한다.따라서 유클리드 공간에 있는 임의의 두 개의 임베딩이 동일한 유클리드 공간에 매핑되도록 배열할 수 있다( $N=\max(m,n)$ $N=\max(m,n)$ $N=\max(m,n)$ ( $N=\max(m,n)$ , n $N=\max(m,n)$ ) { $displaystyle$ N $N=\max(m,n)$ = \ $max$ ( m $N=\max(m,n)$ , n ) $N=\max(m,n)$ ）。또한 $,$ N { $displaystyle$ N $N$ }이 충분히 $크다면$ , 이러한 임베딩은 동위원소이며, 즉 정리이다.

따라서 임베딩에는 고유한 안정적인 등방성 클래스가 있다: 이것은 특정한 임베딩(많은 임베딩이 있기 때문에)도 아니고, (타깃 공간이 고정되어 있지 않기 때문에) 등방성 클래스도 아니며, 오히려 안정적인 등방성 클래스 맵이 있다.이 (안정적인 클래스의) 임베딩과 관련된 일반 번들은 안정된 일반 번들이 됩니다.

N은 해당 매니폴드가 아닌 n에만 의존하기 때문에 힐버트 공간을 대상 공간으로 $n$ 하거나 충분히 $N$ 큰 $고정$ N(\ $displaystyle$ N $)$ 을 사용하여 대상 공간을 고정함으로써 이 안정적인 등방성 클래스를 실제 등방성 클래스로 대체할 수 있다.

보다 추상적으로 임베딩을 안정화시키는 것이 아니라 어떤 임베딩이든 취할 수 있으며, 그 후 충분한 수의 사소한 선다발과 벡터다발 직합을 취할 수 있다.이것은 안정화 임베딩의 통상다발과 정확히 일치한다.

구분공간에 의한 시공

n-매니폴드 M은 (호모토피까지) 분류 맵을 가진 탄젠트 번들을 가진다.

\displaystyle \tau _{M}\colon M에서 B로 {\textrm {O}}(n).}

$B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ $B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ ( $B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ ) $B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ $B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ $B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ ( \ $displaystyle$ B { \ $textrm$ { $O$ } （ $B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ n $B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ ） \ $to$ B { \ $textrm$ { $O$ } ） the $B{\textrm {O}}(n)\to B{\textrm {O}}$ the the with with composing （ n ）。 $M\subset \mathbb {R} ^{n+k}$ M $M\subset \mathbb {R} ^{n+k}$ $M\subset \mathbb {R} ^{n+k}$ + $M\subset \mathbb {R} ^{n+k}$ \ $displaystyle$ M \ $subset$ \ $mathbb$ { $R }$ $^$ { $n$ $M\subset \mathbb {R} ^{n+k}$ + k $k$ $M\subset \mathbb {R} ^{n+k}$ }( $k$ \ $displaystyle$ k） ) the $\tau _{M}$ the the $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)$ M : M $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)$ $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)$ O ( $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)$ ) \ $displaystyle$ \ $nu$ _ { M $}$ \ $text M$ \ $to B$ { $O$ （ $k$ } ) } ）。 $\tau _{M}\oplus \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n+k)$ ( $\tau _{M}\oplus \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n+k)$ + $\tau _{M}\oplus \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n+k)$ ) { $displaystyle$ \ $tau$ _ { M $\tau _{M}\oplus \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n+k)$ } \ $oplus$ \ $nu$ _ { M $\tau _{M}\oplus \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n+k)$ } \ $colon M$ \ to B { \ $textrm$ { $O }$ $（ n$ + $k$ ） trivial $\tau _{M}\oplus \nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(n+k)$ 。 $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}$ : $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}$ $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}$ O ( $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}$ ) $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}$ $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}$ O ( $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}$ \ $displaystyle$ \ $nu$ $_$ { $M$ } \ $colon$ M \ $to$ B { \ $textrm$ { $\nu _{M}\colon M\to B{\textrm {O}}(k)\to B{\textrm {O}}$ O } （ $k$ ） $\nu _{M}$ B { \ $textrm$ { $O$ } $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay

동기

다지체에 대한 법선 벡터의 본질적인 개념은 없습니다. 예를 들어 법선 공간은 어떤 차원에 포함되느냐에 따라 달라집니다.따라서 안정적인 법선 다지는 대신 법선 공간(및 법선 벡터)에서 사소한 덧셈까지 안정된 법선 공간의 개념을 제공합니다.

안정적인 접선 대신 안정적인 정규 분포를 따르는 이유는 무엇입니까?다지관의 일반화에는 관형 근방과 일반화에서 나오는 자연적이고 안정적인 정규형 구조가 있지만 국부 구조가 매끄럽지 않기 때문에 불안정한 정규형 구조가 없기 때문에 불안정한 정규 데이터가 사용된다.

공간 X에 걸친 구형 섬유는 구분 $공간$ B $G$ 에 대한 $X\to BG$ $X\to BG$ $X\to BG$ B $G$ 의 호모토피 클래스에 따라 분류되며 호모토피 그룹은 구의 안정적인 호모토피 그룹이다.

π

（ B

\pi _{*}(BG)=\pi _{*-1}^{S}

） =

\pi _{*}(BG)=\pi _{*-1}^{S}

s - 1

\pi _{*}(BG)=\pi _{*-1}^{S}

( \

displaystyle

\

pi

_ { * } ( BG ) = \

pi

_ { *-

1}^S

}

\pi _{*}(BG)=\pi _{*-1}^{S}

。

건망증 $B{\textrm {O}}\to BG$ $B{\textrm {O}}\to BG$ O $B{\textrm {O}}\to BG$ $B{\textrm {O}}\to BG$ {\ $displaystyle$ B ${\textrm {O}}\to$ BG $}$ 는 $B{\textrm {O}}\to BG$ 교정 시퀀스로 확장됩니다.

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

O

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

G

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

(

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

/

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

) {

displaystyle

B { \

textrm

{

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

O

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

}

bg bgBG （

G / { \

textrm

{

O

} ）

B{\textrm {O}}\to BG\to B(G/{\textrm {O}})

。

푸앵카레 공간 X는 탄젠트 다발을 가지고 있지 않지만 명확한 안정 구면 진동을 가지고 있다.이것은 미분 다양체에 대해 안정된 법선 다발과 관련된 구면 진동을 가지고 있다.따라서 미분 다양체의 호모토피 타입을 가진 X에 대한 일차적인 장애물은 구면 진동이 벡터로 상승하는 것이다.즉, Spivak 구면 $X\to BG$ X $X\to BG$ $X\to BG$ G $(\displaystyle$ X\ $to$ BG)는 X $X\to BG$ $X\to B{\textrm {O}}$ $X\to B{\textrm {O}}$ (\ $displaystyle$ X $\to$ B ${\textrm {O$ 로 들어 올려야 합니다. 이는 X $X\to B(G/{\textrm {O}})$ $(G$ $X\to B(G/{\textrm {O}})$ O $X\to B(G/{\textrm {O}})$ ) \ text $style X\text$ {G}에 해당합니다.ture는 $X\to B(G/{\textrm {O}})$ X $X\to B(G/{\textrm {O}})$ ( $X\to B(G/{\textrm {O}})$ / $X\to B(G/{\textrm {O}})$ ) { $displaystyle$ X \ $to$ B ( G / { \ $textrm$ { $O$ } } $X\to B(G/{\textrm {O}})$ 。2차 장애는 벽 수술 장애입니다.

적용들

안정적인 정상 다발은 수술 이론에서 주요 장애물로 기본입니다.

Poincaré 공간 X가 매끄러운 매니폴드의 호모토피 유형을 가지려면 X $X\to B(G/{\textrm {O}})$ ( $X\to B(G/{\textrm {O}})$ / $X\to B(G/{\textrm {O}})$ ) { $displaystyle$ X \ $to$ B ( G / { \ $textrm$ { $O$ }}} $X\to B(G/{\textrm {O}})$ 는 $X\to B(G/{\textrm {O}})$ null 호모토픽이어야 합니다.
2개의 다지관 사이의 $f\colon M\to N$ 당량 $f\colon M\to N$ : $f\colon M\to N$ → N { $displaystyle$ f $\conto$ N}이 미분형에 대하여 호모토피 당량 f $f\colon M\to N$ N { $displaystyle$ f\ $conto$ M $\to$ N $f\colon M\to N$ }이 $f\colon M\to N$ 되감기 위해서는 N의 안정된 법선다발을 M의 안정된 법선다발로 되돌려야 한다.

일반적으로 일반화는 (불안정) 접선 번들을 대체하는 역할을 합니다.

레퍼런스

^ Spivak, Michael (1967), "Spaces satisfying Poincaré duality", Topology, 6 (6): 77–101, doi:10.1016/0040-9383(67)90016-X, MR 0214071

[1] Spivak, Michael (1967), "Spaces satisfying Poincaré duality", Topology, 6 (6): 77–101, doi:10.1016/0040-9383(67)90016-X, MR 0214071

[1]

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목차

임베디드에 의한 시공

세부 사항

구분공간에 의한 시공

동기

적용들

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