PSL(2,7)

수학에서, 투영 특수 선형 군 PSL(2, 7)은 GL(3, 2)과 동형이며, 대수학, 기하학, 수론에서 중요한 응용을 갖는 유한 단순 군입니다.이것은 클라인 사분면의 자기 동형군이자 파노 평면의 대칭군입니다.168개의 원소를 가진 PSL(2, 7)은 60개의 원소를 가진 교대군₅ A 다음으로 가장 작은 노나벨 단순군이며, PSL(2, 5)과 동형입니다.

정의.

일반 선형 그룹 GL(2, 7)은 7개의 원소가 있는 유한 필드인 F 위의₇ 모든 가역 2×2 행렬로 구성됩니다.이들은 0이 아닌 행렬식을 갖습니다.부분군 SL(2, 7)은 단위 행렬식을 갖는 모든 행렬로 구성됩니다.PSL(2, 7)은 지수 그룹으로 정의됩니다.

SL(2, 7) / {I, −I}

I와 -I를 식별함으로써 얻을 수 있으며, 여기서 I는 정체 행렬입니다.이 기사에서, 우리는 G가 PSL(2, 7)과 동형인 모든 그룹을 나타내도록 합니다.

특성.

G = PSL(2, 7)에는 168개의 요소가 있습니다.이것은 가능한 열을 세어 보면 알 수 있습니다. 첫 번째 열에는 7 - 1 = 48개의 가능성이 있고² 두² 번째 열에는 7 - 7 = 42개의 가능성이 있습니다.우리는 7 - 1 = 6으로 나누어야만 결정 요인이 1과 동일하도록 하고, I와 -I를 식별할 때 2로 나누어야 합니다.결과는 (48 × 42) / (6 × 2) = 168입니다.

(n, q) = (2, 2) 또는 (2, 3)이 아닌 한, PSL(n, q)은 n, q ≥ 2(q는 소수의 어떤 거듭제곱)에 대해 단순하다는 것이 일반적인 결과입니다. PSL(2, 2)는 대칭군₃ S와 동형이고, PSL(2, 3)은 교대군₄ A와 동형입니다.사실, PSL(2, 7)은 교대 그룹₅ A = PSL(2, 5) = PSL(2, 4) 다음으로 두 번째로 작은 노나벨 단순 그룹입니다.

켤레 클래스와 환원 불가능한 표현의 수는 6개입니다.켤레 클래스의 크기는 1, 21, 42, 56, 24, 24입니다.환원 불가능한 표현의 차원 1, 3, 3, 6, 7, 8.

문자표

${rcccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&\\chi_{2}&1&0&\bar{sigma}}\\chi_{3}&3&3&3&1&1&1&1&1&\ma\ma\bar\ma\ma\ma _{6}&8&0&0&0&-1&1\\end{array},$

위치:

$\sigma = sigmafrac {-1+i{\sqrt {7}}{2}}.$

다음 표는 클래스의 요소 순서, 클래스의 크기, GL(3, 2)의 모든 대표자의 최소 다항식 및 PSL(2, 7)의 대표자에 대한 함수 표기의 관점에서 공액 클래스를 설명합니다.클래스 7A와 7B는 자기 형태에 의해 교환되므로 GL(3, 2)과 PSL(2, 7)의 대표자를 임의로 전환할 수 있습니다.

주문	크기	최소 폴리	기능.
1	1	x + 1	x
2	21	x2 + 1	−1/x
3	56	x3 + 1	2배
4	42	x3 + x2 + x + 1	1/(3 − x)
7	24	x3 + x + 1	x + 1
7	24	x3 + x2 + 1	x + 3

군의 순서는 168 = 3 × 7 × 8이며, 이는 3, 7, 8의 Sylow 부분군이 존재한다는 것을 의미합니다.처음 두 개를 설명하는 것은 쉽습니다, 그것들은 순환적입니다, 왜냐하면 어떤 원시 차수의 그룹도 순환적이기 때문입니다.켤레 클래스₅₆ 3A의 모든 원소는 Sylow 3-부분군을 생성합니다.공액 등급 7A₂₄, 7B의₂₄ 모든 원소는 Sylow 7-부분군을 생성합니다.Sylow 2-부분군은 8차 이면체군입니다.공액 등급 2A의₂₁ 모든 원소의 중심화제로 설명될 수 있습니다.GL(3, 2) 표현에서 Sylow 2-부분군은 위쪽 삼각형 행렬로 구성됩니다.

이 그룹과 해당 Sylow 2-벡터는 p = 2에 대한 다양한 정규 p-평가 정리에 대한 역반응을 제공합니다.

투영 공간에 대한 작용

G = PSL(2, 7)은 7개의 요소로 필드 위의 투영 선 P¹(7)에서 선형 분수 변환을 통해 작용합니다.

${\style{text{For}}\display ={pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\in {text{textPSL}}(2,7){\text{ and }}x\in \mathbb {P}^{1}\!(7),\\cdot x=sysfrac{ax+b}{cx+d}}}.$

P(7)의 모든¹ 방향 보존 자기 동형은 이러한 방식으로 발생하므로 G = PSL(2, 7)은 기하학적으로 투영 선 P¹(7)의 대칭 그룹으로 생각할 수 있습니다. 방향 보존 자기 동형의 전체 그룹은 대신 2차 확장 PGL(2, 7),투영 선의 교락 그룹은 점의 완전한 대칭 그룹입니다.

그러나 PSL(2, 7)은 또한 2개의 요소를 가진 필드에 대한 3×3 행렬의 특수(일반) 선형 그룹인 PSL(3, 2)(= SL(3, 2)과 동형입니다.유사한 방식으로, G = PSL(3, 2)은 파노 평면이라고도 알려진 두 개의 요소로 필드 위의 투영 평면² P(2)에 작용합니다.

( )∈ $PSL$ ( 2)\$displaystyle$ \displaystyle = ${pmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h$&i$\end {pmatrix}\text{\$text${$PSL}(3,2)\ \ } 및 x = (x y z ) ∈ P2 (2), γ x = (x + x x + cz d x + ey + fz g x + hy ) \ displaystyle \ \ mathbf {x} = pmatrix {pmatrix}x\y\z\end{pmathbf}의 \ mathbf\cd}, \mathbf\tx\tx\x\x\x\cdx\cdx\cd}, \mathbf\tx\

다시, P(2)의² 모든 자기 형태는 이러한 방식으로 발생하므로 G = PSL(3, 2)은 이 투영 평면의 대칭군으로 기하학적으로 생각할 수 있습니다.파노 평면은 팔색조 곱셈을 설명하는 데 사용될 수 있으므로 G는 팔색조 곱셈 테이블 집합에 작용합니다.

클라인 사분면 대칭

클라인 쿼티크는 4차 다항식에 의해 정의된 복소수 C에 대한 투영 다양성입니다.

xy³ + yz³ + zx³ = 0.

이것은 g = 3 속의 작은 리만 표면이며, 등각 자기 동형군의 크기가 최대 84(g-1)를 얻는 유일한 표면입니다.이 경계는 모든 g>1에 대해 유지되는 후르비츠 자기 형태 정리 때문입니다.이러한 "후르비츠 표면"은 드물며, 다음으로 존재하는 속은 g = 7이고, 그 다음은 g = 14입니다.

모든 후르비츠 표면과 마찬가지로, 클라인 쿼티는 일정한 음의 곡률 메트릭이 주어지고 리만 표면 또는 타일링의 대수 곡선과 정확히 동일한 표면의 대칭으로 3차 7각형 타일링의 몫으로 규칙적인 7각형 타일링으로 타일링될 수 있습니다.클라인 쿼티의 경우, 이것은 24 헵타곤에 의한 타일링을 산출하며, 따라서 G의 순서는 24 × 7 = 168이라는 사실과 관련이 있습니다.이중으로, 그것은 7차 삼각형 타일링의 몫으로서 각각 7도의 24개의 꼭짓점을 가진 56개의 정삼각형 타일링으로 타일링할 수 있습니다.

클라인의 쿼티는 표현 이론, 상동성 이론, 팔분의 곱셈, 페르마의 마지막 정리, 그리고 1등급의 가상 2차 수 필드에 대한 스타크의 정리를 포함한 수학의 많은 분야에서 발생합니다.

마티외 군

PSL(2, 7)은 Mathieu 그룹의₂₁ 최대 부분군입니다. M과₂₄ M 그룹은₂₁ PSL(2, 7)의 확장으로 구성될 수 있습니다.이러한 확장은 클라인 사분면 타일링의 관점에서 해석될 수 있지만 ^[1]타일링의 기하학적 대칭으로는 실현되지 않습니다.

순열 작업

PSL(2, 7) 그룹은 다양한 유한 집합에 작용합니다.

• 투영¹ 선 P(F)의 방향 보존 선형 자동화인 PSL(2₇, 7)의 원래 해석에서, 그것은 주어진 점을 고정하는 차수 21의 안정기와 함께 8개의 점에 과도적으로 작용합니다.그것은 또한 각 점 쌍에서 3차 안정화제와 함께 2-transit적으로 작용합니다; 그리고 그것은 3개의 점에서 2개의 궤도를 가지고 있고, 각 3개의 점에서 사소한 안정화제와 함께 있습니다. (더 큰 그룹 PGL(2, 7)은 급격하게 3-transit적으로 작용합니다.)
• PGL(3, 2)로 해석되는 파노² 평면 P(F₂)의 선형 자기 동형으로, 7개의 점에서 2-transit하게 작용하며, 각 점을 고정하는 차수 24의 안정기와 각 점 쌍을 고정하는 차수 4의 안정기가 있습니다.
• 클라인 사분면 타일링의 자기형태로 해석되며, 그것은 24개의 꼭짓점(또는 이중으로 24개의 헵타곤)에 과도적으로 작용하며, 7차(꼭짓점/헵타곤에 대한 회전에 해당)의 안정화기를 갖습니다.
• Mathieu 그룹₂₁ M의 부분군으로 해석되는 부분군은 21개의 점에서 비과도적으로 작용합니다.

레퍼런스

진일보한 내용

• Brown, Ezra; Loehr, Nicholas (2009). "Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)?" (PDF). Am. Math. Mon. 116 (8): 727–732. doi:10.4169/193009709X460859. Zbl 1229.20046. Archived from the original (PDF) on 2016-10-09. Retrieved 2014-09-27.

외부 링크

• 여덟 가지 방법: 클라인의 사차 곡선의 아름다움 (Silvio Levy, ed.)
• 이번 주 수학 물리학 발견 - 214주차 (존 바에즈)
• 수론의 클라인 쿼티크 (노암 엘키스)
• 투사형 특수 선형 그룹: PSL(3, 2)