분리 가능한 부분 미분 방정식

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
리스트 아이작 뉴턴 고트프리드 라이프니즈 레온하르트 오일러 에밀 피카르 요제프 마리아 회네브로이스키 에른스트 린델뢰프 루돌프 립시츠 아우구스틴루이코치 존 크랭크 필리스 니콜슨 칼 데이비드 톨메 룬지 마르틴 쿠타
v t

분리 가능한 부분 미분 방정식은 변수 분리 방법에 의해 낮은 차원성(더 작은 독립 변수)의 개별 방정식 집합으로 세분될 수 있는 방정식이다.이것은 일반적으로 어떤 특별한 형태나 대칭을 갖는 문제에 의존한다.이렇게 해서 편미분방정식(PDE)은 단순한 PDE의 집합이나, 심지어 문제를 1차원방정식으로 분해할 수 있는 경우 일반적인 미분방정식(OSE)을 풀면 해결할 수 있다.

변수 분리의 가장 일반적인 형태는 각 개별 좌표의 함수 산물에 의해 주어진 형태의 솔루션을 가정하여 해결책을 얻는 단순한 변수의 분리다.$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이라는 변수의 분리라는 특수한 형태가 있는데, 각 개별 좌표의 함수 곱에 좌표의 특정 고정 함수로서 용액을 작성함으로써 이루어진 것이다.$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$에 대한 라플레이스의 방정식은 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -변수의 분리를$$ 통한 해답을 인정하는 부분 미분 방정식의 예로서$$, 3차원 경우에는 6-sphere 좌표를 사용한다.

(이는 통합 쌍으로 나눌 수 있는 다소 다른 종류의 문제를 가리키는 분리 가능한 ODE의 경우와 혼동해서는안 된다. 변수의분리를 참조한다.)

예

예를 들어, 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle [-\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} )]\psi(\mathbf {x} )=E\psi(\mathbf {x} )}$

$\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle$\ \ $(\mathbf {x} )}$ 함수($$단순함을 위해 치수 없는 단위).(동등하게, 이질적인 헬름홀츠 방정식을 고려한다.)${\displaystyle 3차원}$의 $V{\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle V(\mathbf {x}$ )이$($가) 형식인 경우

${\displaystyle V(x_{1},x_{2},x_{3})=V_{1}(x_{1})+V_{2}(x_{2})+V_{3}(x_{3}),}$

then it turns out that the problem can be separated into three one-dimensional ODEs for functions ${\displaystyle \psi _{1}(x_{1})}$, ${\displaystyle \psi _{2}(x_{2})}$, and ${\displaystyle \psi _{3}(x_{3})}$, and the final solution can be written as ${\displaystyle \psi (\mathbf{x})={\psi }_1}$${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=\psi _{1}(x_{1})\cdot \psi _{2}(x_{2})\cdot \psi _{3}(x_{3})}$. (More generally, the separable cases of the Schrödinger equation were enumerated by Eisenhart in 1948.^[1])

참조