대수함수

수학에서 대수함수는 다항식의 근원으로 정의할 수 있는 함수다.꽤 자주 대수 함수는 한정된 수의 항을 사용하는 대수적 표현이며, 대수적 연산 추가, 뺄셈, 곱셈, 나누기, 분수까지의 상승만을 포함한다.그러한 기능의 예는 다음과 같다.

• ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt{x}}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}}{x^{3/7}-{\sqrt{7}}x^{1/3}}}}}}$

그러나 일부 대수적 함수는 그러한 유한한 표현(이것이 아벨-루피니 정리)으로 표현할 수 없다.예를 들어, Bring right에 대해서는, 암묵적으로 정의한 기능인 Bring right에 대해서는, 이 경우다.

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x{}^{}}$) ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0}$.

좀 더 정밀한 표현으로, 한 변수 x에서 도 n의 대수 함수는 그 영역에서 연속적이고 다항 방정식을 만족하는 $함수$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ y$=f(x)}$이다.

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0}$

여기서 계수 a_i(x)는 정수 계수를 갖는 x의 다항식 함수다.a_i(x)의 계수에 대해 대수적 숫자를 수용하면 동일한 등급의 함수를 얻을 수 있음을 알 수 있다.계수에서 초월수가 발생하는 경우 함수는 일반적으로 대수학이 아니라 이러한 계수에 의해 생성된 분야에 걸쳐 대수학이다.null

합리적인 숫자의 대수함수의 값, 그리고 보다 일반적으로 대수적 숫자의 값은 항상 대수적 숫자다.때로는 링 R에 대한 다항식인 ${\displaystyle {계수}_{}}$ a (${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle a_{i}(x)}$를 고려하기도 하고, 그 중 하나가 "R에 대한 함수 대수학"을 이야기한다.null

A function which is not algebraic is called a transcendental function, as it is for example the case of ${\displaystyle \exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)}$. A composition of transcendental functions can give an algebraic function: ${\displaystyle f(x)=\cos \a$$rcsin$ x$={\sqrt{1-x^{2$

도 n의 다항식 방정식은 최대 n뿌리(그리고 복잡한 숫자와 같은 대수적으로 닫힌 장에 정확히 n뿌리)를 가지고 있기 때문에, 다항식 방정식은 단일함수를 암묵적으로 정의하는 것이 아니라 n함수까지, 때로는 가지라고도 한다.단위 원의 방정식을 예로 들어보자: ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$+ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= 1${\$ y$^{2}+x^{2}=1.\}$이(가) 전체$$ 부호까지만 제외하고 y를 $결정$하므로${\displaystyle y\sqrt{\mathrm{}}}$ =${\displaystyle \sqrt{}}$± ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{{x\mathrm{}}^{}}}$2. {\$displaystyle$y=\$pm${\$sqrt{1-x^{2}.},},}.$

m 변수의 대수 함수는 m + 1 변수의 다항 방정식을 해결하는$$ $함수{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle f({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{m})$로 유사하게 정의된다.

${\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\reason,x_{m}=0).}$

일반적으로 p는 수정할 수 없는 다항식이어야 한다고 가정한다.그러면 대수함수의 존재는 암묵적 함수 정리에 의해 보장된다.null

형식적으로 필드 K에 대한 m 변수의 대수 함수는 이성 함수 K(x₁, ..., x_m)의 필드 대수적 폐쇄의 한 요소다.null

한 변수의 대수 함수

소개 및 개요

대수 함수의 비공식적인 정의는 그들의 특성에 대한 많은 단서를 제공한다.직관적인 이해를 얻기 위해서는 대수적 기능을 덧셈, 곱셈, 나눗셈, n번째 뿌리 취하기 등 일반적인 대수적 연산에 의해 형성될 수 있는 함수로 간주하는 것이 도움이 될 수 있다.이것은 지나치게 단순화된 것이다; 갈루아 이론의 근본적인 정리 때문에 대수적 함수는 급진주의자에 의해 표현될 필요가 없다.null

첫째, 모든 $다항함수{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ y$=p(x)}$는 단순히 방정식의 해법 y이기 때문에 대수함수라는 점에 유의하십시오$$.

${\displaystyle y-p(x)=0.\,}$

보다 일반적으로, 모든 합리적인 $함수{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{p}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{q}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$x ) ${\$은(는$$) 대수학이며, 의 해결책이 된다.

${\displaystyle q(x)y-p(x)=0.}$

더욱이 모든 다항 $y$= $p\text{exception 25:}$( x$\text{exception 25:}$) $\text{exception 25:}$ ${\$ y$={\sqrt[{n}]{p(x)}}}}$의 n번째 루트는 대수 함수로서$$ 방정식을 푼다.

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0.}$

놀랍게도 대수함수의 역함수는 대수함수다.만약 y가 의 해결책이라고 가정한다면.

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,}$

x의 각 값에 대해 x는 y의 각 값에 대한 이 방정식의 해법이기도 하다.실제로 x와 y의 역할과 용어를 서로 바꿔가며,

${\displaystyle b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.}$

y의 함수로 x를 쓰는 것은 역함수, 또한 대수함수를 준다.null

그러나 모든 함수에 역 함수가 있는 것은 아니다.예를 들어 y = x는² 수평선 테스트에 실패하며, 일대일 테스트는 실패한다.역은 대수적 "함수" $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle y\sqrt{}}$ ${\$ x$=\pm {\sqrt{y$ 이를 이해하는 또 다른 방법은 우리의 대수적 함수를 정의하는 다항 방정식의 가지 집합이 대수적 곡선의 그래프라는 것이다.null

복잡한 숫자의 역할

대수학적 관점에서 보면 복잡한 숫자는 대수적 함수의 연구에 아주 자연스럽게 들어간다.우선 대수학의 근본적인 정리에 의해 복잡한 숫자는 대수적으로 닫힌 장이다.따라서 모든 다항 관계 p(y, x) = 0은 y가 실제 값뿐만 아니라 복잡하다고 가정할 수 있다면, 각 지점 x에서 y에 대해 최소 하나의 솔루션(및 일반적으로 y의 p 정도를 초과하지 않는 다수의 솔루션)을 가질 것을 보장한다.따라서 대수함수의 영역과 관련된 문제는 안전하게 최소화될 수 있다.null

나아가 궁극적으로는 실제 대수함수에 관심이 있다고 하더라도 복잡한 숫자에 의존하지 않고 덧셈, 곱셈, 나눗셈, n번째 뿌리를 취한다는 관점에서 그 기능을 표현할 수 있는 수단이 없을 수도 있다(카수스 이레두시빌리스 참조).예를 들어 방정식에 의해 결정되는 대수적 함수를 고려한다.

${\displaystyle y^{3}-xy+1=0.\,}$

큐빅 공식을 사용하면

${\displaystyle y=-{\frac {2x}{{3}}{-sqrt[81-12x^{3}}}}}}}}{-frac {\sqrt[{3}}}}}}}}}}}}}{6}}}}.}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 3\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\text{exception 25:}}{}}$ 3${\displaystyle \frac{\text{exception 25:}}{}}$, ${\displaystyle x\leq${3$}{\frac {3$}{\$sqrt[{3}]{4}}}}}}$의 경우$$ 제곱근은 실제이고 입방근은 따라서 잘 정의되어 고유한 실제 뿌리를 제공한다.한편, > 4 의 경우 ${\displaystyle$ x$>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}}}}$ 제곱근은 실재가 아니며, 제곱근은 비실제 제곱근 중 하나를 선택해야 한다.따라서 세 개의 비실수 중에서 세제곱근을 선택해야 한다.공식의 두 항에서 동일한 선택이 수행되는 경우, 입방근에 대한 세 가지 선택사항은 첨부된 이미지에 표시된 세 가지 분기를 제공한다.null

표시된 그래프의 도메인에서 결과 함수가 실제 값을 받더라도, n번째 루트만 사용하여 이 함수를 표현할 방법이 없다는 것이 증명될 수 있다.null

보다 유의한 이론적 수준에서 복잡한 숫자를 사용하면 복잡한 분석의 강력한 기법을 사용하여 대수적 함수를 논할 수 있다.특히, 어떤 대수적 함수가 적어도 다중값의 의미에서는 사실상 분석함수라는 것을 보여주는 데 논거 원리를 사용할 수 있다.null

형식적으로 p(x, y)를 복합 변수 x와 y의 복합 다항식이 되게 한다.x₀ ∈ C가 y의 다항식 p(x₀, y)에 구별되는 0이 없다고 가정한다.대수적 함수가 x의₀ 인접 지역에서 분석적이라는 것을 보여줄 것이다. 이러한 각 0이 들어 있는 n개의 비 겹쳐지지 않는 디스크 Δ의_i 시스템을 선택하라.그럼 논쟁의 원칙에 의해.

${\displaystyle {1}{2\pi i}\point _{\partial \Delta _{i}{p_{0}(x_{0}y)}{p(x_{0}}}}}}}}{p_{0}}}}}\,dy=1.}$

연속성에 의해서, 이것은 또한 x의₀ 이웃에 있는 모든 x에 대해서도 유지된다. 특히 p(x, y)는 잔여 정리에 의해 주어지는 Δ에_i 하나의 루트만 가진다.

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}\point _{\partial \Delta_{p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}}}}}},dy}$

분석 기능이지null

모노드로미

전술한 분석의 증거는 x가 p(x, y)의 임계점이 아니라면 n개의 다른 기능 요소 f_i (x)의 시스템에 대한 표현을 도출했다는 점에 유의한다.임계점은 구별되는 0의 수가 p의 정도보다 적은 점이며, 이는 p의 최고도 항이 소멸하고, 차별이 소멸되는 경우에만 발생한다.따라서 그러한₁ 점 c, ..., c는_m 매우 많다.

임계점에 가까운 기능 요소 f의_i 속성에 대한 면밀한 분석을 사용하여 모노드로미 커버가 임계 지점(그리고 아마도 무한대의 지점)에 걸쳐 함몰되어 있음을 보여줄 수 있다.따라서 f의_i 홀로모픽 확장은 가장 나쁜 대수 극과 임계점에 대한 일반적인 대수 분기를 가진다.null

중요한 포인트에서 벗어나서,

${\displaystyle p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x)\cdots(y-f_{n})(x))}$

왜냐하면_i f는 정의상 p의 구별되는 0이기 때문이다.모노드로미 집단은 그 요소들을 허용함으로써 작용하며, 따라서 p.의 갈루아 집단의 모노드로미 표현을 형성한다(범용 피복공간에 대한 모노드로미 작용은 리만 표면 이론에서는 관련이 있지만 다른 개념이다).null

역사

대수적 함수를 둘러싼 생각은 적어도 르네 데카르트까지 거슬러 올라간다.대수적 기능에 대한 첫 번째 논의는 에드워드 워링의 1794년 '인간지식의 원리에 관한 에세이'에서 있었던 것으로 보인다.

서수를 나타내는 수량을, 뿌리의 분할과 추출의 일반적인 방법에 의해, 압시사 x의 대수적 함수가 되게 하고, x의 치수에 따라 무한히 상승 또는 하강하는 시리즈로 줄인 다음, 결과적인 각 용어의 적분을 찾는다.

참고 항목

• 대수식
• 분석함수
• 복합함수
• 기본 함수
• 함수(수학)
• 일반화 함수
• 특수 기능 및 eponyms 목록
• 함수 유형 목록
• 다항식
• 이성함수
• 특수 기능
• 초월함수

참조

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill.
• van der Waerden, B.L. (1931). Modern Algebra, Volume II. Springer.

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 대수적 기능과 관련된 미디어가 있다.

• 수학 백과사전의 "알제브라함 함수" 정의
• Weisstein, Eric W. "Algebraic Function". MathWorld.
• PlanetMath의 대수 함수.
• David J. Darling의 인터넷 과학 백과사전 Wayback Machine에 보관된 "Algebraic function"의 정의 2020-10-26