감마함수의 특정 값

감마함수는 수학에서 중요한 특수함수다.그것의 특정한 값은 정수와 반정수의 인수에 대해 폐쇄적인 형태로 표현될 수 있지만, 일반적으로 합리적인 지점의 값에 대해 단순한 표현은 알려져 있지 않다.다른 부분적 주장은 효율적인 무한 제품, 무한 시리즈 및 반복 관계를 통해 근사하게 추정할 수 있다.

정수와 반정수

양의 정수 인수의 경우 감마 함수는 요인 함수와 일치한다.그것은

${\displaystyle \감마(n)=(n-1)!,}$

그래서

${\displaystyle {\begin}\gined}\gamma(1)&=1,\\\\gamma(2)&=1,\\\gamma(3)&=6,\\\\\gamma(5)&=24,\liged}}}$

등등.비양성 정수의 경우 감마 함수가 정의되지 않는다.

양의 절반 정수의 경우 함수 값은 정확히 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\오른쪽)={\sqrt{\pi }}{\frac {(n-2)!!}}{2^{\frac{n-1}{2}}\}$

또는 n이 음수가 아닌 정수 값의 경우:

${\displaystyle {\begin{aigned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={\frac {(2n-1)!!}}{2^{n}}\,{\sqrt {\pi }}}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}}{\sqrt{\pi}\\\감마 \left({\tfrac {1}{1}{2}}-n\right)&={\frac{(-2)^{n}{n-1){{n-1)!!}}\,{\sqrt{\pi }}={\frac {(-4)^{n}n!}}{{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\end{arged}}}$

where n!!이중 요인을 나타낸다.특히.

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\오른쪽)\,}$	${\displaystyle ={\sqrt {\pi }\,}$	$약 1.772\,453\,1905\,516\,0273\...}$	OEIS: A002161
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\오른쪽)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {1}{1}:{2}}: {\sqrt {\pi }\,}$	$약 0.886\,226\925\,452\,758\,0137\...}$	OEIS: A019704
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\오른쪽)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {3}{4}}{\\sqrt {\pi }\,}$	$약 1.329\,1998\,1978\,137\,0205\...}$	OEIS: A24584
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\오른쪽)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {15}{8}}{\\sqrt {\pi }\,}$	$약 3.323.350\970\,447\,842\,5512\...}$	OEIS: A245885

반사식을 이용해서

${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\오른쪽)\,}$	${\displaystyle =-2{\\sqrt {\pi }\,}$	$[\displaystyle \ 약 -3.544\,907\,701\,811\,032\,0546\...}$	OEIS: A019707
${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\오른쪽)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {4}{3}}{\\sqrt {\pi }\,}$	$약 2.363\,271\,801\,354\,7031\...}$	OEIS: A24586
${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {5}{2}}\오른쪽)\,}$	${\displaystyle =-{\tfrac {8}{15}{\\sqrt{\pi }\,}$	$-0.945\,308\,1952\,941\,8812\...}$	OEIS: A245887

일반적인 이성적 주장

반정수의 공식과 유사하게

${\displaystyle {\begin{ligned}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}\\\감마 \left(n+{\tfrac {1}{4}\right)&=\감마 \left({\tfrac {1}{4}\right){\frac {(4n-3)!!!!}}{4^{n}}\\\감마 \left(n+{\tfrac {1}{p}\right)&=\감마 \left({\tfrac {1}{p}\right){\pn-(p-1){big )}!^{p^{n}\end}}}}}}}}}$

여기서 n!^(p)은 n의 p번째 다요소를 의미한다.숫자로,

${\displaystyle \Gamma \왼쪽({\tfrac {1}{3}\오른쪽)\ 약 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337}$ OEIS: A073005

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}\\오른쪽)\ 약 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119}$ OEIS: A068466

${\displaystyle \Gamma \왼쪽({\tfrac {1}{5}\\오른쪽)\ 약 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532}$ OEIS: A175380

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}\오른쪽)\ 약 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043}$ OEIS: A175379

${\displaystyle \Gamma \왼쪽({\tfrac {1}{7}\\오른쪽)\ 약 6548\,062\,940\,247\,824\,4377}$ OEIS: A220086

${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$(${\displaystyle \frac{1}{}}$8 )${\displaystyle 7}$7.${\displaystyle 533}$ ${\displaystyle 941}$ ${\displaystyle 997}$ ${\displaystyle 611}$ ${\displaystyle 9047}$ ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac$ {1$}{8}\\오른쪽)\$약$7.533\,941\,797\,611\,9047}$ OEIS$$: A203142.

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 무한대로 움직이는 경향이$$ 있기 때문에

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{n}\오른쪽)\sim n+\gamma -1}$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 오일러-마스케로니 상수이고${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$은(는) 점증상 동등성을 나타낸다$$.

그것은 이 상수는 일반적으로 고상하다, 하지만 Γ(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{는 알 수 없다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/3 cm이고 Γ(1/4)G.VChudnovsky에 의해 초월. Γ(1/4)/4√π 또한 오래 전부터 초월한 알려져 왔다 보여 주었다., 그리고 유리 Nesterenko 1996년은 Γ(1/4)에, π, eπ 대수적으로 독립을 증명했다Ental.

숫자 γ(1/4)은 가우스의 상수 G에 의해 다음과 같다.

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}\오른쪽)={\sqrt {2G{\sqrt{2\pi ^{3}}}}}},$

그리고 Gramain이 추측한 바 있다.

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}\오른쪽)={\sqrt[{4}]{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrma {\delta } +1}:{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 Δ는 Melquiond 등의 수치상으로 이 추측이 거짓임을 나타내지만, Masser-Gramain 상수 OEIS: A086058이다.^[1]

보르웨인과 주커는 π, K(1), K(2), K(3), K(6)의 관점에서 γ(n/24)을 대수적으로 표현할 수 있다는 것을 알아냈고 여기서 K(k)는 K(N)가 제1종류의 완전한 타원 적분이다.이를 통해 2차 수렴 산술-기하계 평균 반복을 사용하여 합리적인 인수의 감마함수를 높은 정밀도로 효율적으로 근사할 수 있다.γ(1/5) 또는 기타 분모에 대해 유사한 관계는 알려져 있지 않다.

특히^[2], AGM()이 산술-기하 평균인 경우에는

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname {AGM} \left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}\오른쪽)={\sqrt {\frac{3}{2}}{\opername {AGM} \좌({\sqrt {2}},1\오른쪽)}}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {AGM} \left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\right)^{\frac {2}{3}}}}.}$

다른 공식에는 무한 생산물이 포함된다.

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}\right)=(2\pi )^{3}{4}\prod _{k=1}^}\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\오른쪽)}$

그리고

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}\오른쪽)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}{\\sqrt{}}{{6}}\prod_{k=1}{k=1}^{{{2k}\flt}}}}{k(-1)^{k(-1)^{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 A는 글래셔-킨켈린 상수, G는 카탈로니아의 상수다.

by(3/4)에 대한 다음의 두 가지 표현은 I에 의해 제시되었다.메주^[3]

${\displaystyle {\sqrt {\pi {e^{\pi }:{2}}:{{2}}:{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}})}}}=i\sum _{k=-\infit }^{}\e^{}\pi(k-2k^{2}})}\theta _{1}\left\frac {i\pi }{2}}(2k-1), e^{-\pi }\오른쪽),}}}$

그리고

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}:{\frac {1}{\Gamma ^{2}\왼쪽({\frac {3}{4}\오른쪽)}}}=\sum _{k=-\inflt }^{}{\fract {\theta _{4}(ik\pi, e^{-\pi }}}}{e^{2\pi k^{2}},},},}$

여기서 θ과₁ θ은₄ 야코비 세타 함수 중 두 가지다.

상품들

일부 제품 ID에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle \prod \{r=1}^{2}\\Gamma \left({\tfrac {r}{3}\{\sqrt{3}}}}}\frac \2\}}}}}\3}\약 3.627\,598\,435\,7012}$ OEIS: A186706

${\displaystyle \prod_{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}\\오른쪽)={\sqrt {2\pi ^3}\}\ 약 7874\,804\,972\,861\,209\,8721}$ OEIS: A220610

${\displaystyle \prod_{r=1}^{4}}\감마 \왼쪽({\tfrac {r}{5}\오른쪽)={\frac {4\pi ^{2}}:{\sqrt{5}\}\ 17.655\,081\,493\,52483}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{5}\Gamma \left({\tfrac {r}{6}\오른쪽)=4\\\sqrt{\pi ^{5}}}}\\\319\,003\,790\,0785}$

${\displaystyle \prod_{r=1}^{6}\\Gamma \왼쪽({\tfrac {r}{7}\{3}}}{\sqrt{7}}}}\ 93.754\,168\,203\,582\,50\,7970}$

${\displaystyle \prod_{r=1}^{7}\Gamma \left({\tfrac {r}{8}\오른쪽)=4{\sqrt {\pi ^7}\ 약 219.828\,778\,016\,957\,263\,6207}$

일반적으로:

${\displaystyle \prod _{r=1}^{n}\Gamma \left({\tfrac {r}{n+1}\right)={\sqrt{\frac {(2\pi )^{n}}{n+1}:{n1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{n+1}$

From those products can be deduced other values, for example, from the former equations for ${\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)}$, ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}$ and ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {2}{4$$}}\오른쪽)}$ 을$($를) 추론할 수 있음:

${\displaystyle \Gamma \왼쪽({\tfrac {3}{4}}{4}\오른쪽)=\왼쪽({\tfrac {\pi}{2}}\\오른쪽)^{\tfrac {1}{4}{\operatorname {AGM}{\sqrt {2}},1\오른쪽)}^{\tfrac {1}{2}}:}$

다른 이성적인 관계에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{5}\오른쪽)\감마 \왼쪽({\tfrac {4}{15}\오른쪽)}{\감마 \왼쪽({\tfrac {1}{3}\오른쪽)\감마 \왼쪽({\tfrac {2}{15}}\오른쪽)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{20}]{3}}}{{\sqrt[{6}]{5}}\,{\sqrt[{4}]{5-{\frac {7}{\sqrt {5}}}+{\sqrt {6-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{20}\오른쪽)\감마 \왼쪽({\tfrac {9}{20}\오른쪽)}{\감마 \왼쪽({\tfrac {3}{20}}\오른쪽)\감마 \왼쪽({\tfrac {7}{20}}\오른쪽)}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\왼쪽(1+{\sqrt{5}\오른쪽)}{2}}}$^[4]

${\displaystyle {\frac {\\gamma \left({1}{5}\오른쪽)^{2}}:{\Gamma \left({\frac {1}{10}\right)\감마 \왼쪽({\frac {3}{10}}\오른쪽)}}}={\frac{\sqrt{1+{\sqrt{5}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}}}}}}}}$

분모 d가 24 또는 60을 나누는 γ(n/d)에 대한 더 많은 관계.^[5]

대수적 값이 있는 감마 인수는 분모와 분자에 대해 인수의 합이 같다는 의미에서 (모듈로 1) "점화"되어야 한다.

보다 정교한 예:

${\displaystyle {\frac {\\Gamma \left({\frac {11}{42}}}\오른쪽)\감마 \왼쪽({\frac {2}{7}\오른쪽)}{\감마 \왼쪽({\frac {1}{21}\오른쪽)\감마 \왼쪽({\frac {1}{2}}\오른쪽)}}={\frac {8\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right){\sqrt {\sin \left({\frac {\pi }{21}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{21}}\right)\sin \left({\frac {5\pi }{21}}\right)}}}{2^{\frac {1}{42}}3^{\frac {9}{28}}7^{\frac {1}{3}}}}}$^[6]

상상적이고 복잡한 인수

상상 단위 i = √-1의 감마 함수는 OEIS: A212877, OEIS: A21278을 제공한다.

$\displaystyle \감마(i)=(-1+i)!\ 약 -0.1549-0.4980i.}$

또한 반스 G-함수의 측면에서도 다음과 같이 제시될 수 있다.

${\displaystyle \감마(i)={\frac {G(1+i)}{G(i)}}}}{G^{-\log G(i)+\log G(1+i)}.}$

이상하게도 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle i}$) ${\displaystyle \Gamma (i)}$이(가) 아래 통합 평가에 나타난다$$.^[7]

${\displaystyle \int_{0}^{{0}^{2}\{\cot(x)\}\\,dx=1-{\frac {i}}{2}}+{\pi}{2}}\log \좌({\frac {\sinh(\pi )\감마(i){2}}\오른쪽).}$

여기서 {${\displaystyle \cdot \}}$ ${\displaystyle \{\cdot \}}$은 부분 부분을 나타낸다.

오일러 반사 공식과 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}("z\stackrel{}{}")}$= ${\displaystyle \gamma \stackrel{("}{\mathrm{}}z")}$ =$${"{\$displaystyle\Gamma({\bar{z}}}={\bar {\\Gamma }}}}}}}$ 때문에 상상의 축에서 평가한 감마함수의 계량 제곱에 대한 식이 있다$.$

${\displaystyle \왼쪽 \감마(i\kappa )\오른쪽 ^{2}={\frac {\pi }{\cappa \sinh(\pi \cappa )}}}$

따라서 위의 적분은 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle i}$) ${\displaystyle \Gamma (i)}$의 위상과 관련이 있다$.$

다른 복잡한 인수가 반환되는 감마함수

${\displaystyle \감마(1+i)=i\감마(i)\약 0.498-0.155i}$

${\displaystyle \감마(1-i)=-i\감마(-i)\약 0.498+0.155i}$

${\displaystyle \Gamma({\tfrac {1}{1}:{1}2}}+{\tfrac {1}2}}i)\ 약 0.818\,163\,9995-0.763\,313\,8287\,i}$

${\displaystyle \Gamma({\tfrac {1}{1}:{1}2}}-{1}{1}2}}:i)\ 약 0.818\,163\,9995+0.763\,313\,8287\,i}$

$\displaystyle \감마(5+3i)\ 약 0.016\,041\,8827-9.433\,293\,2898\,i}$

$\displaystyle \감마(5-3i)\ 약 0.016\,041\,8827+9.433\,293\,2898\,i.}$

기타 상수

감마 함수는 양의 실제 축에서 국소 최소값을 가진다.

${\displaystyle x_{\min }=1.461\,632\,1968\,362\,341\,262\ldots \,}$ OEIS: A030169

그 값어치로

${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {min}_{}}$)${\displaystyle }$= 0${\displaystyle .885}$ ${\displaystyle 603}$ ${\displaystyle 194}$ ${\displaystyle 410}$ ${\displaystyle 888}$… ${\$min }\\}\$right)=0.885\,603\,410\,888\ldots \,}$OEIS$$: A030171

양의 실제 축을 따라 상호 감마 함수를 통합하면 Franssén-Robinson 상수도 얻을 수 있다.

음의 실제 축에서 첫 번째 국부 최대값과 최소값(디감마 함수의 0)은 다음과 같다.

γ(x)의 근사 국소극

x	γ(x)	OEIS
−0.5040830082644554092582693045	−3.5446436111550050891219639933	OEIS: A175472
−1.5734984731623904587782860437	−2.3024072583396801358235820396	OEIS: A175473
−2.6107208684441446500015377157	−0.8881363584012419200955280294	OEIS: A175474
−3.6352933664369010978391815669	−0.2451275398343662504382300889	OEIS: A256681
−4.6532377617431424417145981511	−0.0527796395873194007604835708	OEIS: A256682
−5.6671624415568855358494741745	−0.0093245944826148505217119238	OEIS: A256683
−6.6784182130734267428298558886	−0.0013973966089497673013074887	OEIS: A256684
−7.6877883250316260374400988918	−0.0001818784449094041881014174	OEIS: A256685
−8.6957641638164012664887761608	−0.0000209252904465266687536973	OEIS: A256686
−9.7026725400018637360844267649	−0.0000021574161045228505405031	OEIS: A256687

참고 항목

• 쵸우라-셀베르크 공식

참조

• Gramain, F. (1981). "Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond". Invent. Math. 63 (3): 495–506. Bibcode:1981InMat..63..495G. doi:10.1007/BF01389066. S2CID 123079859.
• Borwein, J. M.; Zucker, I. J. (1992). "Fast Evaluation of the Gamma Function for Small Rational Fractions Using Complete Elliptic Integrals of the First Kind". IMA Journal of Numerical Analysis. 12 (4): 519–526. doi:10.1093/imanum/12.4.519. MR 1186733.
• X. 구르돈 & P. 세바.감마함수 소개
• S. 핀치.오일러 감마 함수 상수^{[dead link]}
• Weisstein, Eric W. "Gamma Function". MathWorld.
• Vidunas, Raimundas (2005). "Expressions for values of the gamma function". Kyushu Journal of Mathematics. 59 (2): 267–283. arXiv:math.CA/0403510. doi:10.2206/kyushujm.59.267. S2CID 119623635.
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• Adamchik, V. S. (2005). "Multiple Gamma Function and Its Application to Computation of Series" (PDF). The Ramanujan Journal. 9 (3): 271–288. arXiv:math/0308074. doi:10.1007/s11139-005-1868-3. MR 2173489. S2CID 15670340.
• Duke, W.; Imamoglu, Ö. (2006). "Special values of multiple gamma functions" (PDF). Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. 18 (1): 113–123. doi:10.5802/jtnb.536. MR 2245878.