타원 적분

적분에서 타원 적분은 특정 적분들의 값으로 정의되는 다수의 관련 함수들 중 하나이다. 원래 타원의 호 길이를 찾는 문제와 관련하여 생겨났으며, 줄리오 파냐노와 레온하르트 오일러(1750년)c.에 의해 처음 연구되었다. 현대 수학은 "엘리프틱 적분"을 어떤 형태로든 표현할 수 있는 함수 f로 정의한다.

${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t, {\sqrt {P(t)}}\,\mathrm {d} t,}$

여기서 R은 그 두 가지 주장의 합리적인 함수로서 P는 반복된 뿌리가 없는 정도 3, 4의 다항식이고, c는 상수다.

일반적으로, 이 형식의 통합은 기본적인 기능 측면에서 표현될 수 없다. 이 일반적인 규칙의 예외는 P가 반복된 루트를 가질 때 또는 R(x,y)에 y의 이상한 힘이 없을 때 입니다. 그러나 적절한 환원 공식으로 모든 타원 적분은 합리적 기능과 세 가지 레전드르 표준형식에 대한 적분(즉, 제1종, 제2종, 제3종의 타원 적분)을 포함하는 형태로 가져올 수 있다.

아래에 주어진 레전드르 양식 외에 타원형 적분들도 칼슨 대칭 형태로 표현될 수 있다. 타원 적분 이론에 대한 추가적인 통찰력은 슈바르츠-크리스토펠 매핑 연구를 통해 얻을 수 있다. 역사적으로 타원함수는 타원형 적분들의 역함수로 발견되었다.

인수 표기법

불완전한 타원형 통합은 두 개의 인수의 함수다; 완전한 타원형 통합은 단일 인수의 함수다. 이러한 주장은 다양하지만 동등한 방법으로 표현된다(동일한 타원 적분을 부여한다). 대부분의 텍스트는 다음과 같은 명명 규칙을 사용하여 표준 명명 체계를 준수한다.

하나의 주장을 표현하는 경우:

• α, 모듈 각도
• k = sin α, 타원 계수 또는 편심률
• m² = k = sin² α, 파라미터

위의 세 가지 수량은 모두 다른 수량에 의해 완전히 결정된다(비음수임을 감안). 따라서, 그것들은 서로 교환해서 사용할 수 있다.

다른 주장은 마찬가지로 φ, 진폭 또는 x 또는 u로 표현할 수 있는데, 여기서 x = sin = = sn u, sn은 제이콥의 타원함수 중 하나이다.

이러한 수량 중 하나의 값을 지정하면 다른 수량이 결정된다. 너 또한 m에 의존한다는 것을 참고해라. 귀하와 관련된 일부 추가 관계에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle \cos \varphi =\propertname {\textrm {and}\\sin ^{1-m\sin ^{2}\varphi }=\dn} u.}$

후자는 델타 진폭이라고도 하며 Δ(δ) = dn u로 표기된다. 때때로 문헌은 보완적 매개변수, 보완적 계수 또는 보완적 모듈 각도를 언급하기도 한다. 이러한 사항은 분기 기간에 대한 기사에서 더 자세히 정의된다.

첫 번째 종류의 불완전한 타원 적분

첫 번째 종류 F의 불완전한 타원 적분은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle F(\varphi ,k)=F\왼쪽(\varphi \mid k^{2}\오른쪽)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

이것은 적분 삼각형 형식이다. t = sin θ과 x = sin φ을 대체하면 다음과 같이 Legendre 정상 형태를 얻는다.

${\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {d}t}{\sqrt {\\d}t}{\좌(1-t^{2}\우)\좌(1-k^{2}t^{2}\우)}}}}}}}}}}.}$

동등하게 진폭과 모듈 각도에 있어 다음과 같은 특징이 있다.

${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{0}{0}{\varphi }{\frac {d} \mathrmatrmetrt{1-(\sin \sin \sin \sin \sin \sin \alpha )^{}}).}$

이 표기법에서 세로 막대를 구분 기호로 사용하는 것은 이를 따르는 인수가 "모수"(위에서 정의한 바와 같이)임을 나타내는 반면, 백슬래시는 모듈형 각임을 나타낸다. 세미콜론 사용은 세미콜론 앞에 있는 인수가 진폭의 사인임을 의미한다.

${\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha )}$

이렇게 서로 다른 주장 구분 기호를 혼동할 가능성이 있는 것은 타원형 통합으로 전통적이며 표기법 중 상당수는 아브라모위츠와 스테건의 참고서에 사용된 것과 그라드쉬틴과 라이지크의 통합 표에 사용된 것과 호환된다.

x = sn(u, k)을 사용하면 다음과 같이 된다.

${\displaystyle F(x;k)=u;}$

따라서, Jacobian 타원함수는 타원형 적분과의 교차점이다.

제1종류의 불완전한 타원 적분에는 다음과 같은 추가 정리가 있다.

$F[\arctan(x),k]+F[\Arctan(y)]k]=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}$

타원형 계수는 다음과 같이 변환할 수 있다.

${\displaystyle F[\arcsin(x),k]={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left[\arcsin \left[{\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right],{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}$

공칭 변형

문헌에 채택된 타원형 적분 표기법에는 여전히 다른 관습이 있다. 서로 교환된 인수인 F(k,cs)를 가진 표기법은 흔히 접하게 되는데, 두 번째 종류의 적분인 경우 비슷하게 E(k,cs)도 접하게 된다. 아브라모위츠와 스테건은 두 번째와 세 번째 종류의 통합에 대한 definition의 정의에서 첫 번째 종류의 통합인 F(F,k)를 대체하는데, 이 주장이 뒤따르지 않는 한, 즉 E(F,k)의² E(E²)를 위한 수직 막대가 뒤따르지 않는다. 더욱이 이들의 완전한 통합은 변수 k 대신 변수 k², 즉 K(k) 대신 변수 k(k²)를 인수로 채택한다. 그리고 Gradshteyn과 Ryzhik에 의해 정의된 제3종류의 적분인 π(φ,n,k)은 진폭 φ을 "성격적" n이 아닌 우선으로 한다.

따라서 다양한 평판이 좋은 참조와 소프트웨어 패키지는 타원 함수의 정의에서 서로 다른 규약을 사용하기 때문에 이러한 함수를 사용할 때는 표기법에 주의해야 한다. 예를 들어, 일부 참조와 울프램의 매스매티카 소프트웨어와 울프램 알파는 타원적 계수 k 대신 매개변수 m의 측면에서 첫 번째 종류의 완전한 타원 적분을 정의한다.

${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}:{\frac {\d}\mathrm {d}\theta }{1-m\sin ^{2}}}}}}}}}}}$

두 번째 종류의 불완전한 타원 적분

삼각형 형태의 두 번째 종류 E의 불완전한 타원 적분은

${\displaystyle E(\varphi ,k)=E\왼쪽(\varphi \, \,k^{2}\오른쪽)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{1-k^{2}\sin ^{2}\}\mathrm {d}\theta .}$

대체 t = sin θ, x = sin φ, sin φ, one get the Legendre normal form:

${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt{1-k^{2}t^{2}}:{\sqrt{1-t^{2}}:\,\mathrm{d} t.}$

진폭과 모듈 각도에서 동등하게:

${\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{0}{1-\varphi }{\sqrtea \sinalpha \right)^{2},\mathrmatrmatmetrmeta.}$

자코비 타원함수와의 관계에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle E{\bigl (}\operatorname {sn} (u;k);k{\bigr )}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w.}$

적도에서 위도 φ까지의 자오선호 길이는 E:

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(E)(\varphi ,e)+{\frac {\mathrm {d}^{2}}:{varphi ^{2}}:E(\varphi ,e)\right),}}$

여기서 a는 반장축이고, e는 편심이다.

제2종류의 불완전한 타원 적분에는 다음과 같은 추가 정리가 있다.

$[\displaystyle E[\arctan(x),k]+E[\Arctan(y)]k]=E\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]+{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)}$

타원형 계수는 다음과 같이 변환할 수 있다.

${\displaystyle E[\arcsin(x),k]=(1+{\sqrt{1-k^{2}}E\left[\arcsin \left[{\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right],{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]-{\sqrt {1-k^{2}}}F[\arcsin(x),k]+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}}$

3종류의 불완전한 타원 적분

제3종 π의 불완전한 타원 적분은

${\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}$

또는

${\displaystyle \Pi (n;\varphi \, \m)=\int _{0}^{0}{0}{\prac {1}{1-nt^{2}}:{\frac {d} t}{\matrixmatrm {d}{d}}{{{nt^}\오른쪽}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

숫자 n은 특성이라고 불리며, 다른 주장과 독립적으로 어떤 값도 떠맡을 수 있다. 참고지만 가치를 Π(1;.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{.Border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/2 m), 어떤 m을 무한하다

Jacobian 타원함수와의 관계는

${\displaystyle \Pi {\bigl (}n;\\\operatorname {am}(u;k);\k{bigr )}=\int _{0}^{0}{0}^{{0}{{{1-n\,\mathrm {d} ^} ^{2}(w;k)}}).}$

적도에서 위도 φ까지의 자오선 호 길이도 π의 특수한 경우와 관련이 있다.

${\displaystyle m(\varphi )=a\왼쪽(1-e^{2}\오른쪽)\Pi \왼쪽(e^{2};\varphi \, \,e^{2}\오른쪽).}$

제1종 완전 타원 적분

타원형 적분율은 진폭 = = //2이고 따라서 x = 1일 때 '완전하다'고 한다. 따라서 첫 번째 종류 K의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},}$

또는 보다 간결하게 제1종류의 불완전한 적분이라는 관점에서.

$[\displaystyle K(k)=]F\왼쪽({\tfrac {\pi }{2}},k\오른쪽)=F\왼쪽({\tfrac {\pi }{2}}\, \, \,k^{2}\오른쪽)=F(1;k)}$

파워 시리즈로 표현할 수 있다.

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\flac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\오른쪽)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }}{2}}\sum _{n=0}^{\bigl (}{2n})({\bigr )}^{2}k^{2n}}}}}}}}}$

여기서 P는_n Legendre 다항식(Legendre polyomials)이며, 이는

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}}{\왼쪽(2n\오른쪽)!!}}\오른쪽)^{2}k^{2n}+\cdots \오른쪽),}$

where n!! 이중 요인을 나타낸다. Gauss 초기하학 함수의 관점에서, 제1종류의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}{1}{1}{1}:{\tfrac {1}{1}2}},{\tfrac {1}{1}{1};k^{2}\오른쪽).}$

제1종류의 완전한 타원 적분을 쿼터 기간이라고 부르기도 한다. 산술-기하 평균의 관점에서 매우 효율적으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle K(k)={\frac {\frac {\pi }{2}}:{{}{\opermname {agm} \left(1,{\sqrt{1-k^{2}}}\오른쪽)}}}}.}$

자세한 내용은 칼슨(2010, 19.8)을 참조하십시오.

따라서 계수는 다음과 같이 변형될 수 있다.

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} (1/2+{\sqrt {1-k^{2}}}/2,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}})}}=}$

${\displaystyle ={\frac {\pi }{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})\operatorname {agm} [1,2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}/(1+{\sqrt {1-k^{2}}})]}}={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}$

이 식은 모든 n $n{\displaystyle \mathbb{}}$ N ${\$ 및$$ 0 ≤ k ≤ 1:

${\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K(k);k\right]\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left[{\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right]^{2}\right]}$

야코비 세타 함수와의 관계

자코비의 세타 함수와의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\{3}^{2}(q),}$

nome q가 있는 곳

${\displaystyle q(k)=\exp \left(-\pi {\frac {K\left({1-k^{2}}\오른쪽)}{K(k)}}\오른쪽).}$

점근식

${\displaystyle K\left(k\오른쪽)\cHBFF{}{2}}+{\frac {\pi }{8}{8}}{1-k^{2}}-{1-k^{2}}-{\frac {\pi }{16}}{1-k^{4}}}}}}{1-k^{2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이 근사치는 k < 1/2의 경우 3×10보다⁻⁴ 나은 상대 정밀도를 가진다. k < 1/2의 경우 처음 두 항만 유지하는 것이 0.01 정밀도로 정확하다.^{[citation needed]}

미분방정식

제1종 타원 적분의 미분 방정식은

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}{d}}{\mathrm {d}k}\왼쪽(1-k^{2}\오른쪽){\frac {\mathrm {d}{d}k}\right)=K(k)}$

이 방정식의 두 번째 해법은 $K{\displaystyle (1\sqrt{\mathrm{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$) ${\$이다$.$ 이 용액은 관계를 만족한다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d}k(k)={\frac {E(k)}{k\왼쪽(1-k^{2}\오른쪽)}}}-{\frac {K(k)}{k}}}.}$

연속분수

지속적인 분수 확장은 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle {\frac {K(k)}{2\pi }}=-{\frac {1}{4}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}=-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{1-q+}}{\frac {(1-q)^{2}}{1-q^{3}+}}{\frac {q(1-q^{2})^{2}}{1-q^{5}+}}{\frac {q^{2}(1-q^{3})^{2}}{1-q^{7}+}}{\frac {q^{3}(1-q^{4})^{2}}{1-q^{9}+}}\ldots ,}$

여기서 nome은 q = q(k)이다.

두 번째 종류의 완전한 타원 적분

두 번째 종류 E의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t,}$

또는 보다 콤팩트하게 제2종 E(제2종,k)의 불완전한 적분 측면에서 다음과 같다.

$[\displaystyle E(k)=E\왼쪽({\tfrac {\pi }{2}},k\오른쪽)=E(1;k)}$

반주축 a와 반주축 b 및 편심 e = √1 - b²/a가² 있는 타원의 경우, 두 번째 종류 E(e)의 완전한 타원 적분은 반주축 a의 단위로 측정한 타원 c의 원주 c의 1/4과 같다. 즉, 다음과 같다.

$[\displaystyle c=4aE(e)]}$

두 번째 종류의 완전한 타원 적분은 파워 시리즈로^{[citation needed]} 표현될 수 있다.

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\flack({\frac {(2n)!}}{2^{2n}\왼쪽(n!\오른쪽)^{2}}\\오른쪽)^{2}{{\frac{k^{2n}},}$

에 해당하는

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{{(2n)!!}}}\오른쪽)^{2}{{\frac {k^{2n}{2n:1}}-\cdots \오른쪽).}$

Gauss 초기하학 함수의 관점에서, 제2종류의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle E(k)={\tfrac {}{2}}\,{}_{2}F_{1}{1}{1}{1}{1}{1},-{\tfrac {1}{1}{1},-{\tfrac {1}{1}{1};k^{2}\right).}$

계수는 다음과 같이 변형될 수 있다.

${\displaystyle E(k)=(1+{\sqrt{1-k^{2}}}E\left({\frac{1-{\sqrt{1-k^{1-k^{2}}:}}{1+{1-k^{2}}}\오른쪽)-{\sqrt{1-k^{2}}K(k)}}$

연산

제1종류의 적분처럼, 제2종류의 완전한 타원 적분은 산술-기하 평균을 사용하여 매우 효율적으로 계산할 수 있다(Carlson 2010, 19.8).

Define sequences ${\displaystyle a_{n}}$ and ${\displaystyle g_{n}}$, where ${\displaystyle a_{0}=1}$, ${\displaystyle g_{0}={\sqrt {1-k^{2}}}=k'}$ and the recurrence relations ${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n$$}{2}}:$2$\}\},$${\displaystyle g_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ = ${\displaystyle \sqrt{n_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{g_{}}}${\$displaystyle g_{n+1}={\sqrt{a_{n}g_{n}}}}}}}}}$ 보류$$. 또한 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{2{}_{}^{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{g_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$ $displaystyle c_{n}={\sqrt{\n}^{n$}^{n$}-g_{n}^{2}\right }}}$을(를) 정의하십시오$.$ 정의상,

${\displaystyle a_{\infty }=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\operatorname {agm} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}$.

또한 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle c_{}}$ =${\displaystyle {}_{}0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infit }c_{n}=0}$. 그러면

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2a_{\nflt }}}\좌측(1-\sum _{n=0}^{n=0}^{n-1}c_{n}^{n}^{2}\오른쪽).}$

실제로 산술-기하계 평균은 단순히 어느 정도 한계까지 계산될 수 있다. 이 공식은 모든 ${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle \le }$ 1 ${\displaystyle$k$\leq$ 1$}$에 대해 2차적으로 수렴된다$.$ 연산 속도를 더 높이려면 ${\displaystyle {cn}_{}}$+${\displaystyle {}_{}\frac{1_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle a\frac{{}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$+ 1 + ${\displaystyle \frac{1_{}}{}}$ ${\$1}:{n+1}을 $사용할$수 있다$$.

파생식 및 미분방정식

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}E(k)}{\mathrm {d}k}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}}}}$

${\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{\mathrm {d}k}}{\frac {d}E(k){\mathrm {d}k}}}=kE(k)}$

이 방정식의 두 번째 해법은 E((1 - k²) - K(√1 - k²)이다.

3종 완전 타원 적분

제3종 π의 완전한 타원 적분은 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \Pi(n,k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}:{\frac {\d} \theta }{{{{n\sin ^{2}\te \right){\sqrt{1-k^{2}}}}}}}}}}}}.}$

때때로 세 번째 종류의 타원 적분은 특성 n에 대한 역 기호로 정의된다.

${\displaystyle \Pi '(n,k)=\int_{0}^{\tfrac {\pi }{2}}:{\frac {\d} \theetta }{{}}{\n\sin }{2}\sqrt{1-k^{2}}}}}}}}}}}.}$

제1종과 제2종의 완전한 타원형 적분과 마찬가지로 제3종의 완전한 타원형 적분은 산술-기하 평균을 이용하여 매우 효율적으로 계산할 수 있다(Carlson 2010, 19.8).

부분파생상품

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[10px]{\frac {\partial \Pi(n,k)}{\partial k}}{n-k^{2}}:}\좌측({\frac {E(k)}{k^-1}+\Pi(n,k)\end{aigned}}}}}}}}}}}}$

기능적 관계

Legendre의 관계:

${\displaystyle K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}.}$

참고 항목

참조

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• Byrd, P. F.; Friedman, M.D. (1971). Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05318-2.
• Carlson, B. C. (1995). "Numerical Computation of Real or Complex Elliptic Integrals". Numerical Algorithms. 10 (1): 13–26. arXiv:math/9409227. Bibcode:1995NuAlg..10...13C. doi:10.1007/BF02198293.
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• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953). Higher transcendental functions. Vol II (PDF). McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London. MR 0058756.
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. "8.1.". In Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Table of Integrals, Series, and Products. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
• Greenhill, Alfred George (1892). The applications of elliptic functions. New York: Macmillan.
• Hancock, Harris (1910). Lectures on the Theory of Elliptic Functions. New York: J. Wiley & sons.
• King, Louis V. (1924). On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals. Cambridge University Press.
• Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007), "Section 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

외부 링크

• "Elliptic integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 에릭 W. 와이스슈타인, "엘리프틱 적분"(매스월드)
• 타원 프로젝트에 의한 타원 적분 평가용 매트랩 코드
• 완전한 타원형 집적화에 대한 합리적 근사치 (Exstrom Laboratory)
• 타원 적분 첨가 이론의 간략한 역사