원시 개념

Primitive notion

수학, 논리, 철학, 형식 체계에서 원시 개념은 이전에 정의된 개념의 관점에서 정의되지 않은 개념이다. 그것은 종종 비공식적으로, 보통 직관과 일상적인 경험에 대한 호소로 동기가 부여된다. 자명론에서 원시 관념 사이의 관계는 자명론에 의해 제한된다.[1] 일부 저자들은 후자를 하나 이상의 공리에 의해 "원초적 개념"을 정의한다고 말하지만 이는 오해의 소지가 있다. 형식적인 이론은 (역행 문제에서) 무한한 퇴행의 고통 속에서 원시적인 관념들을 버릴 수 없다.

예를 들어, 현대 기하학에서 점, 선, 그리고 포함은 원시적인 개념들이다. 이들의 상호작용을 정의하려고 시도하는 대신 힐버트의 공리 체계에서 "두 지점마다 그들 모두를 포함하는 선이 존재한다"[3]와 같은 공리들에 의해 지배된다.의 공리 체계에서) 지배된다.[2]

세부 사항

알프레드 타르스키는 원시 관념의 역할을 다음과 같이 설명했다.[4]

우리가 주어진 규율을 구성하기 시작할 때, 우선, 우리는 즉시 이해할 수 있을 것 같은 이 규율의 어떤 작은 표현 집단을 구별한다; 이 집단에서 우리는 원시 용어 또는 언정의 용어라고 부르고, 그 의미를 설명하지 않고 그것들을 사용한다. 이와 동시에 우리는 원초적인 용어의 도움을 받아 그 의미가 먼저 결정되지 않는 한, 고려 중인 규율의 다른 표현들 중 어떤 것도 채택하지 않는 원칙을 채택한다. 이런 식으로 용어의 의미를 결정하는 문장을 정의라고 한다.

지식 이론에서 원시적 개념으로의 필연적인 퇴행은 길버트 드 B에 의해 설명되었다. 로빈슨:

비-마약학자에게는 사용되는 모든 용어를 명시적으로 정의할 수 없다는 것이 종종 놀라움으로 다가온다. 이것은 피상적인 문제가 아니라 모든 지식의 근저에 놓여 있다; 그것은 어딘가에서 시작할 필요가 있고, 진전을 이루기 위해서는 정의되지 않은 요소와 관계, 그리고 당연하게 여겨지는 속성들을 명확하게 진술해야 한다.[5]

예

원시 개념의 필요성은 수학의 몇 가지 자명적 기초에 설명되어 있다.

  • 이론 설정: 집합의 개념은 원시적 개념의 한 예다. Mary Tails는 다음과 같이 쓰고 있다:[6] [the] 'set'의 'definition'은 원시적이고 정의되지 않은 용어의 지위를 부여받고 있는 어떤 것을 탐구하려는 시도보다 정의가 덜하다. 그녀는 펠릭스 하우스도르프의 말을 인용, "한 세트는 하나의 물체를 전체로 그룹화함으로써 형성된다. 한 세트는 하나의 단위로 생각하는 복수다."
  • 순진한 집합론: 빈 세트는 원시적인 개념이다. 그것이 존재한다고 주장하는 것은 암묵적인 공리일 것이다.
  • 페아노 산술: 계승함수와 숫자 0은 원시 개념이다. 피아노 산수는 숫자의 성질에 관해서 유용하기 때문에 원시 관념이 나타내는 물체는 엄격하게 중요하지 않을 수도 있다.[7]
  • 자명 시스템: 원시 개념은 시스템에 대해 선택된 공리 집합에 따라 달라질 것이다. 알레산드로 파도아는 1900년 파리에서 열린 국제철학대회에서 이 선택에 대해 논의했다.[8] 수잔 해크(1978)는 "공리 집합은 때때로 그것의 원시 용어에 대한 암묵적인 정의를 준다고 한다"고 쓰고 있다.[9]
  • 유클리드 기하학: 힐버트의 공리 체계 아래에서 원시 개념은 점, 선, 평면, 일치, 중간 및 발생이다.
  • 유클리드 기하학: 페아노의 공리 체계 아래에서 원초적 개념은 점, 세그먼트, 운동이다.

러셀의 원시인

수학철학에 관한 그의 저서에서 베르트랑 러셀 수학원리는 다음과 같은 개념을 사용했다. 계급 미적분학(세트 이론)에 대해 그는 설정된 멤버십을 원초적인 개념으로 삼으면서 관계를 이용했다. 세트를 설정하기 위해 그는 또한 세트 빌더 표기법에서 사용되는 "그런" 구절뿐만 아니라 원시적인 제안적 기능도 요구한다. (pp 18,9) 관계에 관해서 러셀은 주어진 xRy의 역관계와 보완관계를 원초적인 개념으로 받아들인다. 더욱이 관계의 논리적 산물이나 관계의 상대적 산물은 원시적이다.(p 25) 설명에 의한 사물의 변조에 대해서는, 러셀은 원시적 관념이 개입되어 있음을 인정한다. (p 27) 러셀의 책의 논문은 "순수 수학은 몇 가지 개념만을 사용하며, 이것들은 논리 상수다." (pxi)

참고 항목

참조

  1. ^ 더 일반적으로, 공식적인 시스템에서는, 규칙은 원시 개념의 사용을 제한한다. 예: 참조 비논리적 형식 시스템을 위한 MU 퍼즐.
  2. ^ 유클리드 (기원전 300년)는 여전히 "행은 넓지 않은 길이"와 같은 그의 요소들에 정의를 내렸다.
  3. ^ 이 공리는 술어 논리에서 " "x1,x2∈P"로 공식화할 수 있다. ∃y∈L. C(y,x1) ∧ C(y,x) ∧ C(y,x2) 여기서 P, L, C는 각각 점, 선, "포함" 관계를 나타낸다.
  4. ^ 알프레드 타르스키 (1946) 논리와 연역 과학의 방법론 소개, 118 페이지 옥스퍼드 대학 출판부.
  5. ^ 길버트 드 B. 로빈슨(1959) 지오메트리 기초, 4부 8장 토론토 대학 출판부
  6. ^ 메리 타일(2004) 세트 이론 철학 페이지 99
  7. ^ Phil Scott (2008). "Mechanising Hilbert's Foundations of Geometry in Isabelle (see ref 16, re: Hilbert's take)".
  8. ^ 알레산드로 파도아 (1900) 장 반 헤이제노르트 (1967) 수학논리의 출처 책, 1879–1931, 하버드 대학 출판부 118–23의 연역 이론에 대한 논리적 소개
  9. ^ Haack, Susan (1978), Philosophy of Logics, Cambridge University Press, p. 245, ISBN 9780521293297