쿼터니온 표현

수학적 표현 이론에서 퀀터니온 표현은 불변 퀀터니온 구조를 가진 복잡한 벡터 공간 V에 대한 표현이다. 즉, 반선형 등변형 지도

$♪ 디스플레이 스타일 j\colon V\to V}$

만족스러운

${\displaystyle j^{2}=-1.}$

상상의 단위 i와 반선형 지도 k := ij와 함께, j는 V에 쿼터니온 벡터 공간의 구조(즉, V는 쿼터니온의 분할 대수보다 모듈화)를 장착한다.이러한 관점에서 그룹 G의 쿼터니온적 표현은 그룹 동형성 φ: G → GL(V, H), V의 반전성 쿼터니온-선형 변환 그룹이다.특히 g의 quaternionic matrix 표현은 quaternion ρ(g)의 제곱 행렬을 G의 각 요소 g에 할당하여 ρ(e)가 ID 행렬이고,

${\displaystyle \rho=\rho(g)\rho(h){\text{{}모든 }g,h\in G.}$

연관성과 리알헤브라의 쿼터니온적 표현은 유사한 방법으로 정의될 수 있다.

속성 및 관련 개념

만약 V가 단일 표현이고 쿼터니온 구조 j가 단일 연산자라면, V는 불변 복합적인 동심원 형태 Ω을 인정하며, 따라서 동심원 표현이다.V가 콤팩트 그룹(예: 유한 그룹)의 표현이고, 이 경우 쿼터니온적 표현은 동정적 표현으로도 알려져 있는 경우 이는 항상 유지된다.그러한 표현은, 되돌릴 수 없는 표현들 중에서, 프로베니우스-슈르 지표에 의해 선택될 수 있다.

쿼터니온적 표현은 복잡한 결합 표현과 이형성이라는 점에서 실제 표현과 유사하다.여기서 실제 표현은 불변 실제 구조, 즉 반선형 등변형 지도와 함께 복잡한 표현으로 받아들여진다.

$♪ 디스플레이 스타일 j\colon V\to V}$

만족스러운

${\displaystyle j^{2}=+1.}$

복잡한 결합에 이형적인 표현이지만 실제 표현은 아닌 표현을 가성 표현이라고 부르기도 한다.

그룹 G의 실제 및 유사 표현을 실제 그룹 대수 R[G]의 표현으로 보면 이해할 수 있다.그러한 표현은 아르틴-웨더번 정리에 의해 실수나 쿼터니온에 걸쳐 매트릭스 알헤브라가 되어야 하는 중심 단순 R-알제브라의 직접적인 합이 될 것이다.따라서 실제 또는 유사 표현은 취소할 수 없는 실제 표현과 수정할 수 없는 질의 표현들의 직접적인 합이다.만약 분해에서 어떤 쿼터니온적 표현도 일어나지 않는다면 그것은 현실이다.

예

일반적인 예로는 3차원의 회전에 대한 쿼터니온적 표현을 들 수 있다.각 (적절한) 회전은 단위 규범을 가진 쿼터니온으로 표현된다.분명한 1차원 퀀터니온 벡터 공간, 즉 퀀터니온 자체의 공간 H가 왼쪽 곱셈 밑에 있다.이것을 단위 쿼터니온으로 제한함으로써 스피너 그룹 스핀(3)의 쿼터니온적 표현을 얻는다.

이 표현 ρ: Spin(3) → GL(1,H)은 또한 단일 Quaternionic 표현이기 때문에 일어난다.

${\displaystyle \rho (g)^{\reason }\rho (g)=\mathbf {1}}$

스핀(3)의 모든 g에 대해.

다른 하나의 단일 예는 스핀(5)의 스핀 표현이다.비위생적인 쿼터니온 표현의 예는 스핀(5,1)의 2차원 해석 불가능한 표현일 것이다.

보다 일반적으로 스핀(d)의 스핀 표현은 d가 3 + 8k, 4 + 8k, 5 + 8k 치수와 같을 때 쿼터니온(quaternion)이며 여기서 k는 정수다.물리학에서는 스핀(d, 1)의 스핀을 자주 접한다.이러한 표현은 스핀(d - 1)의 스피너와 동일한 유형의 실제 또는 쿼터니온 구조를 가지고 있다.

단순한 Lie 집단의 컴팩트한 실제 형태 중, A형_4k+1, B형_4k+1, B형_4k+2, C형_k, D형_4k+2, E형의₇ Lie 집단에만 불가해한 Quaternionic 표현들이 존재한다.

참조

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103..
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9.

참고 항목

• 심플렉트릭 벡터 공간