양자단층촬영법

양자단층촬영(Quantum Tomography) 또는 양자 상태단층촬영(Quantum State Tomography)^[1]은 동일한 양자 상태의 앙상블에서 측정을 사용하여 양자 상태를 재구성하는 과정이다이러한 상태의 근원은 양자 상태를 양자 순수 상태로 일관성 있게 또는 일반 혼합 상태로 준비하는 장치 또는 시스템일 수 있다.상태를 고유하게 식별할 수 있으려면 측정이 단층적으로 완료되어야 한다.즉, 측정된 운영자는 시스템에 대한 모든 정보를 제공하는 시스템의 Hilbert 공간에 대한 운영자 기반을 형성해야 한다.이런 일련의 관찰을 정족수라고 부르기도 한다.null

반면에 양자 프로세스 단층촬영에서는 알려진 양자 상태를 이용하여 양자 프로세스를 탐사하여 공정을 설명할 수 있는 방법을 알아낸다.마찬가지로 양자 측정 단층 촬영은 어떤 측정이 수행되고 있는지 알아내는 데 효과가 있다.반면에 무작위화된 벤치마킹은 오차가 발생하기 쉬운 물리적 양자 프로세스와 이상적인 양자 프로세스 사이의 중복되는 장점을 비약적으로 얻는다.null

양자 상태 단층촬영의 일반적인 원리는 동일한 밀도 행렬에 의해 기술된 양자 시스템에 대해 많은 다른 측정을 반복적으로 수행함으로써 주파수 계수를 사용하여 확률을 추론할 수 있으며, 이러한 확률을 Born의 규칙과 결합하여 관측치에 가장 적합한 밀도 행렬을 결정한다는 것이다.온스

이것은 고전적인 비유로 쉽게 이해할 수 있다.조화 진동자(예: 진자)를 고려한다.주어진 지점에서 오실레이터의 위치와 운동량을 측정할 수 있으므로 위상 공간에 의해 운동을 완전히 설명할 수 있다.이것은 그림 1에 나와 있다.많은 수의 동일한 오실레이터에 대해 이 측정을 수행함으로써 위상 공간에서 확률 분포를 얻는다(그림 2).이 분포는 정규화할 수 있으며(특정 시간에 오실레이터가 어딘가에 있어야 함) 분포는 음수가 아니어야 한다.그래서 우리는 주어진 운동량으로 주어진 지점에서 입자를 찾을 수 있는 가능성에 대한 설명을 제공하는 함수 W(x,p)를 찾아냈다.null

양자역학적 입자의 경우에도 동일한 작업을 수행할 수 있다.유일한 차이점은 하이젠베르크의 불확실성 원리를 어겨서는 안 된다는 것인데, 이는 입자의 운동량과 위치를 동시에 측정할 수 없다는 뜻이다.입자의 운동량과 위치를 양자 관련 상태에서 사분법(자세한 정보는 광학 위상 공간 참조)이라고 한다.많은 수의 동일한 양자 상태의 사분선 중 하나를 측정함으로써 특정 사분선에 해당하는 확률 밀도를 얻을 수 있을 것이다.이를 한계 분포, pr(X) 또는 pr(P)라고 한다(그림 3 참조).다음 텍스트에서 우리는 입자의 양자 상태를 특징 짓기 위해 이 확률 밀도가 필요하다는 것을 알 수 있을 것이다. 이것은 양자 단층촬영의 전체 지점이다.null

양자 상태 단층촬영(tomography)의 용도

양자 단층촬영은 시스템 소스에 적용되어 해당 소스의 출력에 대한 양자 상태를 결정한다.측정 후 시스템의 현재 상태를 결정하는 단일 시스템에 대한 측정(일반적으로 측정을 하는 행위가 양자 상태를 변화시키는 행위)과는 달리, 양자 단층촬영은 측정 전 상태를 결정하는 작용을 한다.null

양자단층촬영은 qubit의 실제 상태를 신뢰성 있게 판단하기 위한 양자컴퓨팅과 양자정보이론뿐만 아니라 광소자의 신호 이득과 손실을 측정하는 등 광신호의 특성화에 이용될 수 있다.^[2][3][4]밥이라는 사람이 어떤 양자 상태를 준비해서 앨리스에게 그 상태를 보게 하는 상황을 상상할 수 있다.밥의 주(州)에 대한 설명에 자신이 없는 앨리스는 주(州)를 스스로 분류하기 위해 양자 단층촬영을 하고 싶어할지도 모른다.null

양자 상태 단층 촬영 방법

선형역전

본의 법칙을 이용하면 양자 단층촬영의 가장 단순한 형태를 도출할 수 있다.일반적으로 순수한 상태에 있는 것은 알려져 있지 않고, 한 상태가 섞일 수도 있다.이 경우 각각 여러 번 여러 가지 측정을 수행해야 한다.유한 차원 힐버트 공간에서 혼합 상태의 밀도 행렬을 완전히 재구성하기 위해 다음과 같은 기법을 사용할 수 있다.null

Born's rule states ${\displaystyle \mathrm {P} (E_{i} \rho )=\mathrm {Trace} (E_{i}\rho )}$, where ${\displaystyle E_{i}}$ is a particular measurement outcome projector and ${\displaystyle \rho }$ is the density matrix of the system.각 측정에 대한 관측치의 히스토그램이 주어지면, $각{\displaystyle {}_{}}$ $Ei{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $p_{i}$에서 $P$(${\displaystyle {}_{}\rho {}_{}}$ ${\displaystyle )}$까지$$근사 p {\$displaystyle \mathrm$ {$P}(E_{i} \rho$ $)\}$이(가)가 각 $}$에 대해$$ 있다.

선형 연산자 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 및 $T$ ${\displaystyle T}$이$($가) 지정되면 내부 제품을 정의하십시오.

${\displaystyle S\cdot T=\mathrm {T} [S^{\dager }T]={\vec}^{\vec{T}}}}$

where ${\displaystyle {\vec {T}}}$ is representation of the ${\displaystyle T}$ operator as a column vector and ${\displaystyle {\vec {S}}^{\dagger }}$ a row vector such that ${\displaystyle {\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}}$ is the inner product in ${\displ$$aystyle \mathb{C} ^{d}$ 둘$$ 중 {d}.null

매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 다음으로$$ 정의

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }\\\vdots \end{pmatrix}}}$.

여기서 E는_i 개별 측정(이항 결과 포함)의 고정된 목록이며, A는 모든 측정을 한 번에 수행한다.null

그런 다음 $\rho {\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$에 적용하면 다음과$$ 같은 확률이 산출된다.

${\displaystyle A\overrightarrow{\rho }=\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{E}}_1^{†}\overrightarrow{\rho }\\ {\overrightarrow{E}}_2^{†}\overrightarrow{\rho }\\ {\overrightarrow{E}}_3^{†}\overrightarrow{\rho }\\ ⋮\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{E}_1\cdot \rho \\ E_2\cdot \rho \\ E_3\cdot \rho \\ ⋮\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{P}(E_1\rho )\\ \mathrm{P}(E_2\rho )\\ \mathrm{P}(E_3\rho )\\ ⋮\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ ⋮\end{array}\right)}$${\displaystyle A{\vec {\rho }}={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{1}\cdot \rho \\E_{2}\cdot \rho \\E_{3}\cdot \rho \\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {P} (E_{1} \rho )\\\mathrm$${P} (E_{2} \rho )\\\mathrm {P} (E_{3} \rho )\\\vdots \end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\vdots \end{pmatrix}}={\vec {p}}}$.

선형 역전은 관찰된 $상대{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 주파수 p${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$을(를) 사용하여$\$ → {\$displaystyle {\vec$ {\rho$}}}}}($$이소형$인 ${\$\displaystyle $\rho}).$null

이 시스템은 일반적으로 정사각형이 아닐 것이다. 각 측정에는 일반적으로 다중 측정 결과 ${\displaystyle {프로젝터}_{}}$ E i$${\$displaystyle E_{i}$가 있을 것이다$.$ 예를 들어, 3개의 측정값 ${\displaystyle x_{}}$x , ${\displaystyle y_{}}$y , ${\displaystyle z_{}}$ z$$\\\$displaystyle \sigma$ _${x}, \sigma$_${y}, sigma _{z$6개의 프로젝터에 대해 각각 프로젝터 E가_i 있는 2개의 결과가 있는 반면 밀도 매트릭스 공간의 실제 치수는 (222²)/2=4이므로 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$은(는) 6 x 4가 된다$$.시스템을 해결하려면 왼쪽에 ${\displaystyle A^{}}$ $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ A$^{$$T}$ $:$

${\$$T}{\vec{p}}$.

이제 $\rho {\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$을(를) 해결하면 다음과 같은 의사역할이 발생한다$$.

${\$$A$$T}{\vec{p}}$.

이는 일반적으로 측정 목록 E가_i 단층 촬영적으로 완료된 경우에만 작동된다.그렇지 않으면 매트릭스 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ A ${\displaystyle A^{$T}$A}$는 되돌릴 수 없다$$.null

연속형 변수와 양자 호모디네 단층 촬영

무한 치수 힐버트 공간(예: 위치 등 연속 변수의 측정에서)에서는 방법론이 다소 복잡하다.한 가지 주목할 만한 예가 광학 호모디네 단층 촬영이라고 알려진 빛의 단층 촬영이다.균형 잡힌 호모디네 측정을 사용하면 빛의 상태에 대한 위그너 함수와 밀도 행렬을 도출할 수 있다.^[5]null

한 가지 접근방식은 위상 공간의 서로 다른 회전 방향을 따라 측정을 포함한다.각 방향 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \$${\displaystyle \mathrm{theta}}$$\}$에 대해 one ${\displaystyle \theta }$의 위상 공간 probability ${\displaystyle$\theta$$} $방향$에서 $q{\displaystyle }$ ${\displaysty q}$의 측정 확률 밀도에 $대한$ 확률 분포를 찾을 수 있다$.$ 역 라돈 변환(필테).$w{\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$ ,${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle w(q,\theta )}$의 빨간색 백 투영)은 위그너 $함수{\displaystyle \mathrm{}}$ W${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ,p}$ ) ${\displaystyle \mathrm {W}(x,p)$로 연결되며$,$^[6] 이 기능은 어떤 기준으로든 역 푸리에 변환하여 상태를 위한 밀도 행렬로 변환할 수 있다.^[4]의료용 단층 촬영에도 비슷한 기법이 자주 사용된다.null

호모디네 단층 촬영의 예.

효율성이 높은 현장 진폭 또는 사분선은 시간 모드 선택성과 함께 광검출기로 측정할 수 있다.균형 잡힌 호모디네 단층 촬영은 광학 영역에서 양자 상태를 재구성하는 신뢰할 수 있는 기법이다.이 기법은 빛의 강도나 광자수 측정에 있어 광다이오드(photodiodes)의 높은 효율성의 이점과 호모디네 단층촬영검출기라는 영리한 설정에 의한 빛의 양자특성 측정이 결합된 기법이다.이것은 다음의 예에 의해 설명된다.레이저가 50-50% 빔플리터로 향하여 레이저빔을 두 개의 빔으로 분할한다.하나는 국부 발진기(LO)로, 다른 하나는 특정 양자 상태의 광자를 생성하는 데 사용된다.예를 들어, 주파수 더블링 크리스털을^[7] 통해 레이저 빔을 유도한 다음 파라메트릭 다운-변환 크리스털로 유도함으로써 양자 상태의 생성을 실현할 수 있다.이 수정은 특정한 양자 상태에서 두 개의 광자를 생성한다.광자 중 하나는 호모디네 단층 촬영 검출기의 판독 이벤트를 트리거(시작)하는 데 사용되는 트리거 신호로 사용된다.다른 광자는 그것의 양자 상태를 재구성하기 위해 호모디네 단층 촬영 검출기로 향한다.트리거 광자와 신호 광자가 얽혀 있으므로(이것은 자발적 파라메트릭 다운-변환 기사에서 설명함), 신호 상태의 광학 모드는 트리거 광자가 (트리거 이벤트 판독 모듈의) 광검출기에 충돌하고 실제로 측정될 때만 국소적이지 않게 생성된다는 것을 깨닫는 것이 중요하다.더 간단히 말해, 신호 광자는 호모디네 검출기에 의해 측정될 수 있는 것이 트리거 광자를 측정할 때에만 가능하다.null

이제 그림 4(그림 누락)에 표시된 대로 호모디네 단층 촬영 검출기를 고려하십시오.신호 광자(이것은 우리가 재구성하고자 하는 양자 상태)는 50-50% 빔플리터로 향할 때 국부 오실레이터를 방해한다.두 빔은 동일한 소위 마스터 레이저에서 발생하기 때문에 동일한 고정 위상 관계를 갖는다.국부 오실레이터는 신호와 비교하여 강렬해야 하므로 정확한 위상 기준을 제공한다.국소 발진기가 너무 강렬해서, 우리는 그것을 고전적으로 치료할 수 있고(a = α) 양자 변동을 소홀히 할 수 있다.신호장은 공간적으로, 그리고 일시적으로 로컬 오실레이터에 의해 제어되며, 이 오실레이터는 제어된 형태를 가지고 있다.로컬 오실레이터가 0이면 신호가 거부된다.그러므로 우리는 신호의 시간공간모드 선택성을 가진다.빔플리터는 두 빔을 두 개의 광검출기로 리디렉션한다.광검출기는 광자수에 비례하는 전류를 발생시킨다.두 개의 검출기 전류가 감산되고 결과 전류가 신호 모드에서 전기장 작동자에 비례하며 신호의 상대 광학적 위상과 국소 오실레이터에 따라 달라진다.null

국소 발진기의 전기장 진폭이 신호장 진폭보다 훨씬 높기 때문에 신호장의 강도나 변동을 볼 수 있다.호모디네 단층 촬영 시스템은 증폭기의 기능을 한다.이 시스템은 신호에서 단일 광자에 의한 간섭의 균형을 해제할 수 있을 정도로 고강도 기준 빔(로컬 오실레이터)을 가진 간섭계로 볼 수 있다.이 증폭은 광검출기 소음층보다 훨씬 높다.null

측정은 많은 횟수를 재현한다.그런 다음 위상 공간에서 다른 각도를 '스캔'하기 위해 신호와 국소 오실레이터 사이의 위상 차이가 변경된다.이것은 그림 4에서 볼 수 있다.측정은 다시 많은 횟수를 반복하며 한계 분포는 전류 차이에서 회수된다.한계 분포는 밀도 행렬 및/또는 위그너 함수로 변환될 수 있다.밀도 매트릭스와 위그너 함수는 광자의 양자 상태에 대한 정보를 주기 때문에 광자의 양자 상태를 재구성했다.null

이 방법의 장점은 이러한 배열이 레이저의 주파수 변동에 둔감하다는 것이다.null

현재 차이에서 2차 성분을 검색하기 위한 양자 계산은 다음과 같이 수행된다.null

빔플리터 후 광검출기와 충돌하는 빔에 대한 광자 번호 연산자는 다음을 통해 제공된다.

${\displaystyle {\stackrel{}{n}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$

여기서 나는 각각 1과 2의 빔이다.빔플리터를 발생시키는 현장의 모드 운영자는 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle {\a}_{1}=2^{1/2}({\hat {a}-\alpha _{LO})$

${\displaystyle {\a}_{2}=2^{1/2}({\hat {a}+\alpha _{LO})$

${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) 신호의 소멸 연산자를 나타내며$$ 로컬 오실레이터의 복잡한 진폭을 알파로 나타낸다.광자 차이의 수는 결국 4차원에 비례하며 다음과 같이 주어진다.

$^{\$$_$$LO}^{*}{\hat{a}+\알파 _{$$LO}{\hat{a}^{\daugger$ $\}\}\},$

다음 관계를 사용하여 다시 작성:

${\displaystyle {\q}=2^{-1/2}}({\hat {a}^{\mat }+{\hat {a})}$

다음과 같은 결과를 초래한다.

${\$$hat$$LO} {\hat{q}_{\theta$ $\}\},$

여기서 광자수 차이와 4각성분 ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ $^{\$ 합계를 추적함으로써 로컬 오실레이터의 강도에 대한 정보를 복구할 수 있는데$,$ 이는 보통 알 수 없는 양이지만 계산에 중요한 양이기 때문이다.4각 성분 ${\displaystyle q_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ $^{\$ $\}\}\}.$

선형 반전 문제

밀도 행렬에 대해 해결하기 위해 선형 역전을 사용하는 주요 문제 중 하나는 일반적으로 계산된 솔루션이 유효한 밀도 행렬이 아니라는 것이다.예를 들어 특정 측정 결과에 대해 음의 확률 또는 1보다 큰 확률을 제공할 수 있다.이것은 특히 더 적은 수의 측정이 이루어질 때 문제가 된다.null

또 다른 문제는 무한 치수 힐버트 공간에서는 무한한 수의 측정 결과가 요구된다는 것이다.구조에 대해 가정을 하고 유한한 측정 기준을 사용하면 위상 공간 밀도에 아티팩트가 발생한다.^[4]null

최대우도 추정

최대우도 추정(MLE 또는 MaxLick이라고도 함)은 선형 역전의 문제를 처리하는 데 널리 사용되는 기법이다.밀도 행렬의 영역을 적절한 공간으로 제한하고, 실험 결과를 제공할 가능성을 최대화하는 밀도 행렬을 검색함으로써 데이터에 근접하게 적합시키면서 이론적으로 유효한 상태를 보장한다.상태의 가능성은 시스템이 해당 상태에 있을 경우 관측된 결과에 할당될 확률이다.null

측정값${\displaystyle }${ ${\displaystyle y{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle \}{}_{}}$ ${\displaystyle \{y_{j}\angle y_{j} \}}}}$이(가) ${\displaystyle f_{}}$ ${\$ 빈도에서 관찰되었다고$$ 가정합시다$.$$그러면{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 상태 ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$과(와) 관련된 가능성이

${\displaystyle L({\hat {\rho }})=\prod _{j}\langle y_{j} {\hat {\rho }}}}} {\hat {\rho}}}}}}}Y_{f_{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $⟨{\displaystyle }$ y ${\displaystyle j{}_{}\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ^ ${\displaystyle y{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ^ ^ y j$^$ {\$displaystyle$ \$langle$y_${j$} ${\rho }}}}$은$($는) ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$^ {\$displaystyle$$$y_${$j}} 상태 y$$ ${\displaystyle {결과}_{}}$ $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystystyle y_{j}}$의 확률이다$.$

이 기능의 최대치를 찾는 것은 비독점적이며 일반적으로 반복적인 방법을 포함한다.^[8][9]그 방법들은 연구의 활발한 주제다.null

최대우도 추정 문제

최대우도 추정은 선형 역행보다 덜 명백한 문제를 겪는다.한 가지 문제는 데이터로 정당화될 수 없는 확률에 대한 예측을 한다는 것이다.이것은 0의 고유값 문제를 보면 가장 쉽게 알 수 있다.MLE를 사용하여 계산된 용액은 종종 0인 고유값을 포함하며, 즉 등급이 부족하다.이 경우 해결책은 n차원 Bloch 구의 경계에 놓여 있다.이는 유효한 공간(블록 구) 밖에 있는 상태를 주는 선형 역방향과 관련이 있다고 볼 수 있다.이러한 경우 MLE는 유효한 근처 점을 선택하고, 가장 가까운 점은 일반적으로 경계선에 있다.^[3]null

이것은 물리적으로 문제가 아니다. 실제 상태는 0의 고유값을 가질 수 있다.그러나 값이 0보다 작을 수 없기 때문에 고유값을 0으로 추정하면 추정치가 0으로 확실하다는 것을 의미하며, 그렇지 않으면 $일부{\displaystyle }$ $\$ {\$displaystyle \epsilon$}을(를) 0보다 큰 것으로$$ 추정했을 것이고, 그렇지 않을 경우 불확실성의 정도는 0보다 작은 것으로 추정했을 것이다.유한한 수의 측정 후에 어떤 고유값(즉, 특정 결과의 확률)이 0이라는 절대 확실성을 가지고 결론을 내리는 것이 논리적이지 않다는 점에서 문제가 발생하는 곳이다.예를 들어, 동전을 5번 뒤집고 헤드가 관찰될 때마다 동전에 대한 가장 유력한 설명임에도 불구하고 꼬리가 잡힐 확률은 0이라는 것을 의미하지는 않는다.^[3]null

베이지안식 방법

베이시안 평균 추정(BME)은 최대우도 추정의 문제를 다루는 비교적 새로운 접근법이다.견적서에 오류 막대를 포함한다는 점에서도 정직한 최적의 솔루션을 찾는 데 초점을 맞춘다.일반적인 아이디어는 우도함수와 실험자의 사전 지식(상수함수일 수 있음)을 설명하는 함수로 시작한 다음 우도함수와 사전 지식 함수의 산물을 무게로 사용하여 모든 밀도 행렬에 걸쳐 통합하는 것이다.null

합리적인 사전 지식 함수가 주어진다면, BME는 n차원 Bloch 영역 내에서 엄격하게 상태를 산출할 것이다.코인이 N번 뒤집어서 위에서 설명한 N개의 헤드를 얻는 경우, 일정한 사전 지식 함수를 사용하여 BME는 꼬리 확률로 ${\displaystyle \frac{1N}{}}$ +${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$을 $할당$한다.^[3]null

BME는 실제 상태로부터 추정치의 운용상 분해를 최소화한다는 점에서 높은 정확도를 제공한다.^[3]null

불완전한 데이터에 대한 방법

다중 입자 시스템에 대한 완전한 양자 상태 단층촬영에 필요한 측정 횟수는 입자 수에 따라 기하급수적으로 증가하며, 이는 보통 시스템 크기에서도 그러한 절차를 불가능하게 만든다.따라서, 양자 단층촬영을 더 적은 측정으로 실현하기 위한 몇 가지 방법이 개발되었다.null

매트릭스 완성 및 압축 감지 개념은 불완전한 측정 집합(즉, 쿼럼이 아닌 측정 집합)에서 밀도 행렬을 재구성하는 데 적용되었다.일반적으로 이것은 불가능하지만 가정(예를 들어 밀도 행렬이 순수한 상태이거나 몇 개의 순수한 상태의 조합인 경우)에서는 밀도 행렬의 자유도가 적으며, 불완전한 측정으로부터 상태를 재구성하는 것이 가능할 수 있다.^[10]null

순수불변량 양자단층촬영술은^[11] 주로 순수 대칭에 가까운 주를 대상으로 개발돼 온 시술로, 요즘 실험에서 흔히 볼 수 있다.2-상태 입자의 경우 필요한 측정 횟수는 입자 수에 따라 2차적으로만 척도가 된다.^[12] 중간 정도의 측정 노력 외에도 측정된 데이터의 처리도 효율적으로 수행할 수 있다.큰 시스템에서도 측정 데이터에 물리적 밀도 매트릭스를 장착할 수 있다.^[13] 순수하게 불변 양자 단층 촬영은 6쿼트의 광자 실험에서 압축된 감지와 결합되었다.^[14]null

양자 측정 단층 촬영

어떤 기구가 양자 시스템에 대해 어느 정도 측정을 수행하고 어떤 특정한 측정이 필요한지를 결정하는 상황을 상상할 수 있다.이 전략은 다양한 알려진 상태의 시스템을 전송하고, 이러한 상태를 사용하여 알려지지 않은 측정의 결과를 추정하는 것이다."양자 추정"으로도 알려져 있는 단층 촬영 기법은 양자 측정 단층 촬영 기법과 매우 유사한 양자 상태 단층 촬영 기법을 포함하여 점점 더 중요해지고 있다.측정은 항상 POVM 집합으로 특징지어질 수 있으므로, POVM의 $character{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$특징을 재구성하는 것이 목표다$.$가장 간단한 접근법은 선형 역행이다.양자 상태 관찰에서와 같이 사용

${\displaystyle {\displaystyle \mathrm{T}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \mathrm{r}}}$[ \ ${\displaystyle {\displaystyle l_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {}_{}{}_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle m_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {}_{}}}$= P${\displaystyle {\displaystyle }}$( ${\displaystyle {\displaystyle l}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \rho {}_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle m_{}}}$) ${\$_{$l}\rho _{m}=\matrm {P}$ ($l \rho _{m}})$.

위와 같은 선형성을 이용하여 $\pi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\${l$}$에 대해 이를 반전하여 해결할 수 있다$.$

놀랄 것도 없이, 이것은 양자 상태 단층 촬영에서와 같은 함정을 겪는다. 즉, 비물리적 결과, 특히 부정적인 확률.여기서 $\pi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$는 양성이 아니므로 유효한 POVM이 아니다.밀도 행렬의 최대우도 추정뿐만 아니라 베이지안 방법을 사용하여 운영자가 유효한 물리적 결과를 얻도록 제한할 수 있다.^[15]null

양자공정단층촬영

양자 프로세스 단층촬영(QPT)은 알려지지 않은 양자 역학 과정을 식별하는 것을 다룬다.1996년에 도입되었고 때로는 표준 양자 프로세스 단층촬영(SQPT)으로 알려진 첫 번째 접근법은 양자 상태의 앙상블을 준비하여 그 과정을 통해 전송한 다음 양자 상태 단층촬영을 사용하여 결과 상태를 식별하는 것을 포함한다.^[16]다른 기법으로는 시스템의 추가 사본이 필요한 보조 프로세스 단층촬영(AAPT)과 관련 프로세스 단층촬영(EAPT)이 있다.^[17]null

위에 열거한 각각의 기법은 프로세스를 재구성하기 위해 양자 상태 단층촬영을 사용해야 하기 때문에 양자역학의 특성화를 위한 간접적인 방법으로 알려져 있다.대조적으로, 상태 단층 촬영 없이 양자 시스템의 완전한 특성화를 제공하는 양자역학(DCQD)의 직접 특성화 등 직접적인 방법이 있다.^[18]null

완전한 양자 프로세스 단층촬영에 필요한 실험 구성(상태 준비 및 측정)의 수는 시스템의 구성 입자의 수에 따라 기하급수적으로 증가한다.따라서 일반적으로 QPT는 대규모 양자 시스템에서는 불가능한 작업이다.그러나 약한 탈착성 가정 하에서 양자역학 지도는 희박한 표현을 찾을 수 있다.압축 양자 프로세스 단층촬영(CQPT) 방법은 압축 센싱 기법을 사용하며, 측정 또는 시험 상태 준비의 불완전한 집합으로부터 양자 동적 지도를 재구성하기 위해 첨사성 가정을 적용한다.^[19]null

양자역학지도

$양자역학$ ${\displaystyle \mathrm{지도}}$라고도 하는 양자 과정은 $완전히$ 양성 지도로 설명될 수 $있다$

${\$$A_{i}\rho A_{i}^{\daugger$ $\}\}\}\},$

여기서 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathcal{B}\mathcal{}}$( H${\displaystyle \mathcal{}}$)$${\$displaystyle \rho \in$ {\$mathcal {B(H)}}}$ 힐버트 공간의 경계 연산자$,$ ${\displaystyle {\displaystyle {연산}_{}}}$ 요소 A$${\$displaystyle \displaystyle A_{i$}}} 충족$$ $\sum {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle I_{}^{}i}$ I ${\displaystyle {}_{}}$ I$$\ $\displaystytext$ type $\sum$ \$sum_{i}$$A_{i}^{\dager }$${\displaystyle A\_\mathcal{}}$${i}\leq I}$ 따라서$$ T ${\displaystyle \mathrm{r}}$[ E (${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \le }$ 1 ${\displaystyle \mathrm {Tr}[{\mathcal {E}(\rho )]\leq 1$

$\{{\displaystyle {\displaystyle {Ei}_{}}}$ ${\$을(를) B$($의 직교 기준으로$$ 삼으십시오$.$ 이 기준으로 ${\displaystyle {\displaystyle A_{}}}$ $i{\displaystyle {\displaystyle {}_{}}}$ ${\$ 연산자를$$ 쓰십시오.

${\$$E_{m}}$.

이 되다

${\displaystyle \underset{}{E}(\rho }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ m${\displaystyle \underset{}{,}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ m ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ E ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ E ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$}\$n}^{\dager }}},$ },$$}, }, }, },

여기서 ${\displaystyle {\mathrm{\chi m}}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ i ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle \chi$ _${mn}=\sum _{i}a_{mi}a_{ni$

그 다음 $목표$는 포지티브 슈퍼 오퍼레이터로서$${${\displaystyle {\displaystyle {Ei}_{}}}$ ${\$$displaystyle \chi$$}$에 대해 완전히$$ $특성화$한 {E$\}\{{\displaystyle {\displaystyle }}$E}}}{\$displaystyle \\displaystyle \{E_}\}}}}$에 대해 해결하는 것이다.^[17][18]null

표준 양자 프로세스 단층 촬영

SQLPT는 d ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$d^{2}}$개의 선형 독립 입력 $inputs{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을 사용하여 접근하며, 여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ d$}$은 Hilbert 공간 $H$의 치수${\$$mathcal{H$$\}.$ 이러한 각 입력 상태 $ρ}$을 통해 전송$.$process gives an output state ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}$ which can be written as a linear combination of the ${\displaystyle \rho _{k}}$, i.e. ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{k}c_{jk}\rho _{k}}$. By sending each ${\displaystyle {\rho }_j}$${\displaystyle {}_{}}$\$displaystyle \rho _{j}$를 여러$$ 번 통해 양자 상태 단층촬영을 사용하여 c ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 계수를 실험적으로$$ 결정할 수 있다$.$null

쓰다

${\displaystyle {Em}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ E ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ k ${\displaystyle B_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$,${\displaystyle k_{}}$ , k ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}${\$displaystyle E_{$m}\$rho _{j}{n}^{$n}^{\$dager }=\sum _{k}B_{m,n,j,k}\rho _{k}}}}}}}}}},$,}, _.

$여기$서 B ${\displaystyle B}$은 계수의 행렬이다.그러면

${\displaystyle \sum _{k}c_{jk}\rho _{k}={\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{m,n}\chi _{m,n}E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{m,n}\sum _{k}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}\rho _{k}}$.

$\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$가 선형적으로 독립된 기초를 형성하므로$$,

${\displaystyle {\displaystyle c_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle j_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle k_{}}}$= ${\displaystyle {\displaystyle \underset{m,}{}}}$ n ${\displaystyle {\displaystyle {\chi m,}_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle n_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {}_{}{}_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {m,}_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {n,}_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle k_{}}}$, k ${\$

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 뒤집으면$$ $:$ ${\displaystyle \chi}:$

${\displaystyle {\chi m,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\underset{j,}{}}$ k ${\displaystyle \underset{}{B}}$ ${\displaystyle {m,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {n,}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$- 1 ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\$

참조