상호 격자

물리학에서, 상호 격자는 다른 격자의 푸리에 변환을 나타낸다(대 격자)을 나타낸다. 정상적인 사용에서 초기 격자(역수 격자로 표현되는 변환)는 대개 실공간에서 주기적인 공간함수로, 직접 격자라고도 한다. 직접 격자는 실제 공간에 존재하며 물리적 격자(예: 결정의 격자)로서 일반적으로 이해할 수 있는 것이지만, 역수 격자는 상호 공간(Pontryagin 이중의 운동량과 위치 사이의 관계로 인해 모멘텀 공간 또는 K-공간으로 덜 알려져 있다)에 존재한다. 상호 격자의 상호 격자는 정의 방정식이 실제 공간과 상호 공간의 벡터에 대해 대칭적이기 때문에 원래의 직접 격자와 동등하다. 수학적으로 직접 격자 벡터와 상호 격자 벡터는 각각 공변량과 반변위 벡터를 나타낸다.

The reciprocal lattice is the set of all vectors ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$, that are wavevectors of plane waves in the Fourier series of a spatial function whose periodicity is the same as that of a direct lattice ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$. Each plane wave in this Fourier series has the same phase o각 직립 격자점에서 ${\displaystyle 2}$㎛ ${\displaystyle 2\pi }$의 배수로 차이를 보이는 r 위상(따라서 기본적으로 모든 직립 격자점에서 동일한 위상)

상호 격자는 특히 회절 이론에서 주기적 구조의 대부분의 분석적 연구에서 매우 근본적인 역할을 한다. 중성자와 X선 회절에서, 라우에 조건 때문에, 결정의 수신 X선과 확산 X선 사이의 운동량 차이는 상호 격자 벡터다. 결정의 회절 패턴은 격자의 상호 벡터를 결정하는 데 사용될 수 있다. 이 과정을 이용하면 결정의 원자배열을 유추할 수 있다.

브릴루인 구역은 상호 격자의 위그너-세이츠 세포다.

웨이브 기반 설명

상호공간

상호 공간(k-space라고도 함)은 공간 함수의 푸리에 변환 결과를 시각화하는 방법을 제공한다. 그것은 시간에 의존하는 함수의 푸리에 변환에서 발생하는 주파수 영역과 유사한 역할이다; 상호 공간은 푸리에 변환의 공간 주파수 또는 푸리에 변환의 평면 파형의 파장 벡터에 공간 함수의 푸리에 변환이 표현되는 공간이다. 공간함수 자체의 영역은 흔히 실공간이라고 한다. 결정학과 같은 물리적 적용에서 실제 공간과 상호적 공간 모두 종종 2차원 또는 3차원일 것이다. 이 두 관련 공간의 공간 치수는 같겠지만, 공간은 길이 단위가 다를 것이므로 실제 공간은 길이 L의 단위를 가질 때, 상호 공간은 길이 L로 나눈 1의 단위를 가질 것이다(길이의 역수명 공간은 길이 L로⁻¹ 나눈 값이다.

상호적 공간은 고전적, 양자적 기계적으로 파동에 대해 작용한다. Because a sinusoidal plane wave with unit amplitude can be written as an oscillatory term ${\displaystyle \cos {(kx{-}\omega t{+}\phi _{0})}}$, with initial phase ${\displaystyle \phi _{0}}$, angular wavenumber ${\displaystyle k}$ and angular frequency ${\displaystyle \omega }$$$, 그것은 $k{\displaystyle }${\$displaystyle k}$과 x$${\$displaystyle x}$ 모두의 함수로 간주될 수 있다($$그리고 시간 간격 부분은 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$과 t ${\displaystyty t}$의 함수로 간주할 수 있다).$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ $및$ x ${\displaystyle x}$의 이러한 보완적 역할은 보완적 공간(실제 공간과 상호적 공간) 내에서 시각화를 유도한다$$. 이 파장의 공간 주기성은 파장 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 의해 정의된다$.$ 여기서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\$$displaystyle$ k$\$$lambda=2\$$pi$ $/\$$lambda };$ 따라서 상호 공간에서의 해당 wavenumber는 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ /$λ$

In three dimensions, the corresponding plane wave term becomes ${\displaystyle \cos {(\mathbf {k} {\cdot }\mathbf {r} {-}\omega t{+}\phi _{0})}}$, which simplifies to ${\displaystyle \cos {(\mathbf {k} {\cdot }\mathbf {r} {+}\phi )}}$ at a fixed time ${\dis$$r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$}$이(가) 실제 공간에 있는 한 점의 위치 벡터가 되고$$, 이제 $k{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi \mathbf{}}$ e${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \lambda }${\$displaystyle \mathbf {k}$ = $2\pi \mathbf {$e} $/\dada$}이(가) 3차원 역수직류 공간 내 파 벡터가 된다$$. (파형 벡터의 크기는 wavenumber라고 한다.) 상수 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) $원점{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$= 0 ${\$$displaystyle \mathbf {r$$}$$=0}$을(를) 통과하는 파형의 위상(상수 위상의 평면)이며$,$ $e{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이 파형에 수직인 단위 벡터다$$. $위상{\displaystyle }$ $\varphi {\displaystyle }$+ (${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi$ + $(2$$\$$pi$)$n}$이(가) 있는 웨이브프론트는 파장 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 의해 동일한 간격으로 평행 평면 세트를 구성한다$.$

상호 격자

일반적으로 기하 격자(gatomical lattice)는 공간의 정점(points)의 무한정 규칙적인 배열로, 브라바이스 격자(Bravais 격자)로서 벡터적으로 모델링할 수 있다. 어떤 격자는 스큐일 수도 있는데, 이는 그들의 일차 라인이 반드시 직각일 필요는 없다는 것을 의미한다. 역수 공간에서는 주기성이 실제 공간의 초기 직접 격자와 호환되는 모든$$ 함수 $){\displaystyle$f(\$mathbf {$$k})$의 푸리에 시리즈에서$$ 평면의 파형의 wavevector $k{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$\$mathbf${k$}$ 집합으로 정의된다. 마찬가지로, 파형 벡터는 모든 직립 격자 정점에서 $정수{\displaystyle }$ n이 ${\displaystyle n$인 ${\displaystyle \mathrm{실제}}$ 공간의 평면 파형에 해당하는 경우(실제로 (${\displaystyle 2}{\displaystyle \pi }$) n ${\displaystyle (2\pi )n}$에 해당된다.

One heuristic approach to constructing the reciprocal lattice in three dimensions is to write the position vector of a vertex of the direct lattice as ${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}{+}n_{2}\mathbf {a} _{2}{+}n_{3}\mathbf {a} _{3}}$, where the ${\displaystyle n_i}$${\displaystyle n_{i}$는 정점을 정의하는 정수이며$$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 격자의 특징인 선형 독립 원시 변환 벡터(또는 곧 원시 벡터라고 함)이다$$. 그 다음에는 고유한 평면 파동(음극인자까지)이 있는데, 원점 $R{\displaystyle \mathbf{}}$= 0 ${\displaystyle \mathbf {R} =0}$을 통과하는 파동은 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 직접 격자 및 인접 파동과 함께 포함된다$$.y ${\displaystyle 2\pi }$ or ${\displaystyle -2\pi }$ from the former wavefront passing the origin) passing through ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$. Its angular wavevector takes the form ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}}$, where $$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ is the unit vector perpendicular to these two adjacent wavefronts and the wavelength ${\displaystyle \lambda _{1}}$ must satisfy ${\displaystyle \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}}$, means that ${\displaystyle \lambda$$_{1$}는$$ 두 웨이브프론트 사이의 거리와 같다. Hence by construction ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi }$ and ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0}$.

Cycling through the indices in turn, the same method yields three wavevectors ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ with ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$, where the Kronecker delta ${\displaystyle \delta _{ij}}$ equals one when ${\displaystyle }$${\displaystyle i}$= ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i=j}$이고 그렇지 않으면 0이다. The ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ comprise a set of three primitive wavevectors or three primitive translation vectors for the reciprocal lattice, each of whose vertices takes the form ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}{+}m_{2}\mathbf {b}$$_{2}{+}m_{3$$}$$}\mathbf$ {$b} _{3$ $여기$서 m ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) 정수다$$. 상호$$ 격자는 원시 벡터의 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 조합에 의해 $형성$되므로 B 1 ${\$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$2$\}\},$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ $3{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$ {$b}{b$} _${3}$ _{3})도 역시 브라바이스이다. Simple algebra then shows that, for any plane wave with a wavevector ${\displaystyle \mathbf {G} }$ on the reciprocal lattice, the total phase shift ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {R} }$ between the origin and any point ${\displaystyle \mathbf {R} }$ on the direct lattice is a multiple of ${\$$displaystyle$ 2$\pi }($승수가 0이면 0일 수 있음) 따라서 will $G{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 가진 평면 파형의 위상은 기본적으로$$ 모든 직접 격자 정점에 대해 동일하며, 위의 역수 격자 정의에 부합한다. (수리의 모든$$ 파형 벡터 $G{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$프로칼 격자는 항상 이런 형태를 취하는데, 이 파생은 다른 가능성이 존재하지 않는다는 증거를 누락했기 때문에 엄격하기보다는 동기부여가 된다.)

브릴루인 존은 상호 격자의 원시 세포(더 구체적으로는 위그너-세이츠 세포)로, 블로흐의 정리 때문에 고체 상태 물리학에서 중요한 역할을 한다. 순수한 수학에서, 선형 형태와 이중 격자의 이중 공간은 상호 공간과 상호 격자의 보다 추상적인 일반화를 제공한다.

수학적 설명

첨자 $n{\displaystyle }$=${\displaystyle }$($n$ 1,${\displaystyle {}_{}{n\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}}$n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$에 의해 각 격자 벡터(격자 점을 나타내는 벡터)에$$3차원 Bravais 격자를 정수의 3-tuple로 가정하고$라벨$을 붙이는 경우$,$

${\$$$$}\mathbf {a} _{3}$ 여기서$$ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$n ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$n ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$

여기서 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는) 정수의 집합이며$$ $i{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$는 원시$$ 변환 벡터 또는 짧은 원시 벡터다. Taking a function ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ where ${\displaystyle \mathbf {r} }$ is a position vector from the origin ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=0}$ to any position, if ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ follows the periodicity of this lattice, e.g. the function describing 원자 결정의 전자 밀도, 다차원 푸리에 시리즈로 f${\displaystyle }$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle f(\mathbf {r} )$를 쓰는 것이 유용하다.

${\displaystyle \sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r}}}}}}=f\lef(\mathbf {r}\r}\right)}$

여기서 첨자 $m{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$m ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3$ 따라서 이것은 삼중합이다.

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle f(\mathbf {r})}$이(가$)$ 격자의 주기성을 따르기$$ 때문에 $임의{\displaystyle \mathbf{}}$ 격자 벡터 ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\$을(를) 변환하면 동일한$$ 값을 얻을 수 있으므로

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$) ${\displaystyle f(\mathbf {r} +\$mathbf {R} +\$mathbf {R} _{n}=f(\mathbf {r} )}$.

그 대신 우리는 그들의 푸리에 시리즈로 위와 같은 것을 표현하고 있다.

${\displaystyle \sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}=\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}}=\sum _{m}{f_{m}e^{i\m$$atsbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}\,e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf$ {$r$

두 푸리에 시리즈가 동일하다는 것은 계수의 동일성을 의미하기 $때문$에, e ${\displaystyle {{\mathbf{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}{}_{}}^{}}$R ${\displaystyle \mathrm{n}}$ =$$1 {\$displaystyle e^{i$}\$mathbf {G} _{m$}\cdot \$mathbf {R} _{$n}}}}}{n}=$1$

${\displaystyle {\mathbf{G}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ N ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi N}$ 여기서$$ $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ Z${\displaystyle }$. ${\displaysty N\in \mathb {Z}.}$

수학적으로 역수 격자는 모든 직접 격자 위치 벡터 R $n{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf{G}{m}$의 집합으로 주기성이 모든 직접 격자 위치 벡터 R ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaysty \mathbf$의 집합과 동일한 공간 함수의 푸리에 시리즈에서 평면 파형의 파형 벡터인 모든 벡터 G ${\displaystyle {}_{}}$의 집합이다$.$${R} _{n}}$, and ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ satisfy this equality for all ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$. Each plane wave in the Fourier series has the same phase (actually can be differed by a multiple of ${\displaystyle 2\pi }$) at all the lattice point ${\displaystyle \mathbf {$$R} _{n}}$.

As shown in the section multi-dimensional Fourier series, ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ can be chosen in the form of ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3$$}\mathbf {b} _{3}}$ where ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$. With this form, the reciprocal lattice as the set of all wavevectors ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ for the Fourier series of a spatial function which periodicity follows ${\displaystyle {\mathbf{R}}_{}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$, is itself a Bravais lattice as it is formed by integer combinations of its own primitive translation vectors ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$, and the reciprocal of the reciprocal lattice is the original lattice. 각 벡터 공간의 폰트랴긴 이중성을 나타낸다. ($다른{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 형태의 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이 있을 수 있음$.$ 유효한 형태의 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 동일한 역수 격자로 나타난다$$.)

2차원

원시 벡터$({\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$) ${\$에 의해 정의된 무한 2차원 격자의 경우, 상호 호혜적 격자는 다음 공식을 통해 두 개의 상호 원시 벡터를 생성하여 결정할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}:$

여기서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 정수이며

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{b}_{1}&, =2\pi{\frac{-\mathbf{Q}\,\mathbf{를}_{2}}\,\mathbf{를}_{2}}}=2\pi{\frac{\mathbf{Q}\,\mathbf{를}_{2}{Q}}\,\mathbf{를}_{2}{Q}}}\\\mathbf{b}_{2}& _{1}\cdot \mathbf{\mathbf{}, =2\pi{\frac{\mathbf{Q}\,\mathbf{를}_{1}}{\mathbf{}_{2}\cdot \math _{1}\cdot \mathbf{-\mathbf{}.남자 친구{Q}),\mathbf {a} _{1}\end{aigned}}}$

여기서 $Q{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은 90도 회전 행렬(즉, 1/4 회전)을 나타낸다$$. 시계 반대 방향 회전과 시계 방향 회전을 사용하여 상호 격자를 결정할 수 있다. If ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ is the anti-clockwise rotation and ${\displaystyle \mathbf {Q'} }$ is the clockwise rotation, ${\displaystyle \mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v} }$ for all vectors ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Thus, using the permutation

${\displaystyle \pmatrix}{\pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}$

우리는 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{n}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}.\end{정렬}}}$

특히 이 2D 상호 격자는 3D 공간에서 무한 확장된 Bragg 로드의 세트로서 Sung 등이 설명했다. ^[1]

삼차원

무한 ${\displaystyle {}_{}}$ 격자 $R{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$ 3 a ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}$}\mathbf {a} _{3}}$, defined by its primitive vectors ${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$ and the subscript of integers ${\displaystyle n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}$, its reciprocal lattice ${\displaystyle {\mathbf{G}}_m}$${\$$$$}\mathbf {b} _{3}}$ with the integer subscript ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$ can be determined by generating its three reciprocal primitive vectors ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {$$a} _{1}\cHB \mathbf {a} _{2}\right}$은(는) 스칼라 트리플 제품이다. The choice of these ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ is to satisfy ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ as the known condition (There may be other condition.) of primi위의 경험적 접근법과 다차원 푸리에 시리즈 단면에서 도출된 역수 격자에 대한 tive 변환 벡터. 이 선택은 또한 위에서 수학적으로$$ 도출한 역수 격자 e ${\displaystyle {{\mathbf{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ e$^{i}\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=1}$의 요구 조건을 만족한다. (호출) 원시 벡터의 컬럼 벡터 표현을 사용하여 위의 공식은 행렬 역전을 사용하여 다시 작성할 수 있다.

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.}$

이 방법은 정의에 호소하며, 임의의 차원에 대한 일반화를 허용한다. 교차 제품 공식은 결정학에 대한 입문 자료를 지배한다.

위의 정의를 "물리학" 정의라고 하는데, 2 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$의 인자는 주기적 구조의 연구로부터 자연적으로 얻어지기$$ 때문이다. 본질적으로 동등한 정의인 "결정학자의 정의"는 역수 격자 $K{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi$ $\}$를 정의하는 데서 유래한다.

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {a} _{2}\mathbf {a} _{3}{3}}{3}}{{1}\mathbf {a} _{1}\cdot \lef(\mathbf {a}\mathbf {a} _{a}}_{a}\mathb}오른쪽)}}}$

다른 원시 벡터도 마찬가지야 결정학자의 정의는 b ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 정의가 ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a}$$_{3}$의 방향으로 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 역크기에 불과하다는$$ 장점이 있다.${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi$ $\}.$ 이것은 특정 수학 조작을 단순화할 수 있으며, 공간 주파수 단위로 상호 격자 치수를 표현할 수 있다. 두 개가 섞이지 않는 한 격자의 어떤 정의를 쓰느냐가 맛의 문제다.

${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$ is conventionally written as ${\displaystyle (h,k,l)}$ or ${\displaystyle (hkl)}$, called Miller indices; ${\displaystyle m_{1}}$ is replaced with ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle m_{2}}$ repl$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$과$($${\displaystyle {와\mathrm{}}_{}}$) m$$3 {\$displaystyle$ m_${3}$을(를) l ${\displaystyle l}$로 대체했다$.$ 역수 격자 안의$$ 각 격자점$({\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$) ${\displaystyle(hkl)$은 실제 공간 격자판의 격자 평면 집합에 해당한다. (격자 평면은 격자점을 가로지르는 평면이다.) 상호 격자 벡터의 방향은 실제 우주 평면에 대한 정규에 해당한다. 역수 격자 벡터 $K{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 크기는 역수 길이로 주어지며$$ 실제 공간 평면 간 간격의 역수 값과 같다.

${\displaystyle n}$ $[\displaystyle n}$ 치수$$

The formula for ${\displaystyle n}$ dimensions can be derived assuming an ${\displaystyle n}$-dimensional real vector space ${\displaystyle V}$ with a basis ${\displaystyle (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}$ and an inner product ${\displaystyle g\colon V\tim$$ES V\to \mathbf {R$ 역수 격자 벡터는 $g{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 순열식을 사용하여 고유하게 결정된다.

${\displaystyle \pmatrix}{\\pmatrix}1&#2&\cdots &n\2&3&\cdots &1\end{pmatrix},}$

다음과 같은 공식으로 결정할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=2\pi {\frac {\epsilon _{\sigma ^{1}i\ldots \sigma ^{n}i}}{\omega (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}}g^{-1}(\mathbf {a} _{\sigma ^{n-1}i}\,\lrcorner \ldots \mathbf {a} _{\sigma ^{1}i}\,\lrcorner \,\omega )\in V}$

Here, ${\displaystyle \omega \colon V^{n}\to \mathbf {R} }$ is the volume form, ${\displaystyle g^{-1}}$ is the inverse of the vector space isomorphism ${\displaystyle {\hat {g}}\colon V\to V^{*}}$ defined by ${\displaystyle {\hat {g}}(v)($$w)=g(v,w)}$ 및$$ $⌟$ {\$displaystyle \lrcorner }$은(는) 내부 곱셈을 나타낸다$$.

다음과 같은 사실을 이용하여 이 공식이 2차원 및 3차원 사례에 대해 알려진 공식과 동등한지 확인할 수 있다. In three dimensions, ${\displaystyle \omega (u,v,w)=g(u\times v,w)}$ and in two dimensions, ${\displaystyle \omega (v,w)=g(Rv,w)}$, where ${\displaystyle R\in {\text{$$SO2}}(2)\subset L(V,V)}$은 90도 회전(볼륨$$ 형태와 마찬가지로 회전 시 할당된 각도는 방향^[2] 선택에 따라 달라진다.

다양한 결정의 상호 격자

입방 결정 시스템의 상호 격자는 다음과 같다.

심플 큐빅 격자

$측면$의$${\$displaystyle a$의 입방체 원시세포가 있는 심플한 입방체 브라바이스 격자는 상호작용을 위해 ${\displaystyle \frac{\mathrm{측면}}{}}$ $2$의 입방체 원시세포가 ${\displaystyle \frac{}{}}$ 심플한 입방체 격자$($또는 결정학자의 정의에$$ 1 ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\$가 있다. 따라서 입방 격자는 실제 공간과 같은 상호적 공간에서 대칭성을 갖는 자기 이중체라고 한다.

얼굴 중심 큐빅(FCC) 격자

FCC 격자의 역수 격자는 차체 중심의 입방체(BCC) 격자로, 큐브 면이 4 ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$이다$.$

FCC 복합 장치 셀을 고려하십시오. FCC의 원시 단위 셀, 즉 격자점 하나가 있는 단위 셀을 찾으십시오. 이제 원시 단위 세포의 정점 중 하나를 원점으로 삼아라. 진짜 격자의 기본 벡터를 주어라. 그런 다음 알려진 공식에서 상호 격자의 기본 벡터를 계산할 수 있다. FCC의 이러한 상호 격자 벡터는 BCC 실제 격자의 기본 벡터를 나타낸다. 실제 BCC 격자와 FCC의 상호 격자의 기본 벡터는 서로 방향은 유사하지만 크기는 유사하지 않다는 점에 유의한다.

신체중심입방체(BCC) 격자

BCC 격자의 역수 격자는 FCC 격자로, 큐브 면이 4 ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$이다$.$

It can be easily proven that only the Bravais lattices which have 90 degrees between ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$ (cubic, tetragonal, orthorhombic) have primitive translation vectors for the reciprocal lattice, ${\displaystyle ({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_{}}$${\displaystyle 3_{}}$) ${\$의 실제 공간 벡터와 평행하게$.$

단순 육각 격자

격자 상수 $a{\displaystyle }$ ${\$ $및$ c ${\$ $\$$textstyle c}$이(가) 있는 단순한 육각형 격자$$(Vravais)에 대한 역수는 격자 ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$constants c {\$displaystystyle {\frac {2\pi }$ $및$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ a$}π$}π}$πaplaystyc$}πaplaystyc} $3astytextstyc}{\$ftextstyleasestytheterstyledata$rac {4\pi }{a{\sqrt{3}}}}}}$은(는) 직접 격자를 기준으로 c 축을 중심으로 30° 회전했다$$. 따라서 단순한 육각형 격자는 실제 공간과 같은 상호적 공간에서 대칭성을 갖는 자기 이중형이라고 한다. Primitive translation vectors for this simple hexagonal Bravais lattice vectors are ${\displaystyle a_{1}=(3^{1/2}a/2){\hat {x}}+(a/2){\hat {y}}}$, ${\displaystyle a_{2}=-(3^{1/2}a/2){\hat {x}}+(a$$/2){\hat{y$ $그리고{\displaystyle {}_{}{3\mathrm{}}_{}}$ = ${\displaystyle c\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle z\stackrel{}{^}}$ ${\$^[3]

임의 원자의 집합

임의의 원자 집합의 상호 격자로 가는 한 가지 경로는 모든 산란 지점으로부터 진폭의 Huygens 스타일의 합으로 프라운호퍼(장거리 또는 렌즈 백포칼 평면) 한계에 있는 산란 파동의 아이디어에서 나온다(이 경우 각 개별 원자로부터).^[4] 이 합은 직사 공간에서 유효 산란 전위의 푸리에 변환(공간 주파수 또는 상호 거리의 함수로서)이기도 하기 때문에 아래 방정식에서$$ 복합 $진폭{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$로 나타낸다.

${\displaystyle F[{\vec{g}}}=\sum _{j=1}^{{n}f_{j}\!\left[{\vec{g}\right]e^{2\pi i{{\vec}\cdot{\vec{r}_{j}}}$

여기서 g = q/(2π)는 결정학 단위의 산란 벡터 q, N은 원자의 수, f_j[g]는 원자 j와 산란 벡터 g의 원자 산란계수, r은_j 원자 j의 벡터 위치다. 푸리에 단계는 좌표 원점 선택에 따라 결정된다는 점에 유의한다.

무한 주기 결정의 특수한 경우, M 단위 셀(위의 경우처럼)에서 산란된 진폭 F = M F는_hkl${\displaystyle }$(${\displaystyle h}$ k ${\displaystyle l}$)$${\$displaystyle$ ($hkl)}$의 정수 값에 대해서만 0이 아닌 것으로 나타난다$.$

${\displaystyle F_{hkl}=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\좌측[g_{hkl}\우측]e^{2\pi i\좌측(후_{j}+kv_{j}+lw_{j}\j}\우측)}}$

단위 셀 내부에 부분 격자 지수가 각각 {u_j, v_j, w_j}인 j=1,m 원자가 있을 때 물론 유한 결정 크기로 인한 효과를 고려하려면, 유한 격자에 대해 각 점 또는 위의 방정식에 대한 형상 콘볼루션을 대신 사용해야 한다.

원자의 배열이 유한하든 무한하든 간에, 일반적인 관계 I = FF를^* 통해 진폭 격자 F와 관련된 "강도 역수 격자" I[g]도 상상할 수 있다. 여기서 F는^* F의 복잡한 결합이다. 물론 푸리에 변환은 되돌릴 수 있기 때문에, 이 강도 변환 행위는 "두 번째 순간을 제외한 모든 것"(즉, 단계) 정보를 토해낸다. 따라서 임의의 원자 집합의 경우 강도 역수 격자는 다음과 같다.

${\displaystyle I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{\!\!\;jk}}.}$

여기서 r은_jk 원자 j와 원자 k 사이의 벡터 분리다. 이를 통해 어떤 방향에서 클러스터가 단지 하나의 원자 두께에 불과하더라도 감지된 회절 정점에 대한 나노결정체 모양과 빔 방향의 미묘한 변화를 예측할 수 있다. 아래쪽에서 상호 격자를 사용한 산란 계산은 기본적으로 입사 평면 파형을 고려한다. 따라서 상호 격자(역학적 산란) 효과를 처음 검토한 후 빔 확장과 다중 산란(즉, 동적) 효과도 고려해야 할 수 있다.

이중 격자 일반화

수학에는 실제 벡터 공간 V의 주어진 격자 L에 대해 유한한 차원의 추상 이중 격자 개념의 두 가지 버전이 있다.

첫 번째는 역수 격자 구조를 일반화하는 것으로 푸리에 분석을 사용한다. 그것은 폰트랴긴 이중성의 관점에서 간단히 언급될 수 있다. 이중 그룹 V^ to V는 다시 실제 벡터 공간이며, 닫힌 부분군 L^의 L^는 V^에서 격자로 판명된다. 따라서 L^는 다른 벡터 공간(동일한 차원)에서 이중 격자의 자연적인 후보군이다.

다른 측면은 V의 2차 형태 Q가 있는 상태에서 나타난다. 비감속형인 경우 V의 2차 공간^* V를 V로 식별할 수 있다. V와^* V의 관계는 본질적인 것이 아니라 V에 대한 Har 측정(볼륨 요소)의 선택에 달려 있다. 그러나 어떤 경우든 스칼라까지 잘 정의된 둘의 식별을 고려할 때 Q의 존재는 V 안에 머무르는 동안 L과 이중 격자와 대화할 수 있게 한다.

수학에서 아벨리안 콤팩트한 위상학군 G에서 주어진 격자 L의 이중 격자는 L의 각 지점에서 1과 동일한 모든 연속 문자로 구성된 G의 이중 그룹의 부분군 L이다^∗.

이산 수학에서 격자는 R에서ⁿ 딤 = n 선형 독립 벡터의 모든 적분 선형 조합에 의해 기술되는 국소적으로 이산된 점 집합이다. 그런 다음 이중 격자는 원래 격자의 모든 요소를 가진 내부 제품에서 정수가 발생하는 속성으로 원래 격자(일반적으로 모든 Rⁿ)의 선형 스팬에 있는 모든 점에 의해 정의된다. 이중 격자의 이중 격자가 원래의 격자임을 따른다.

또한 행렬 B가 격자를 설명하는 선형 독립 벡터로 열을 가질 수 있도록 허용하면 행렬이

${\displaystyle {\mathrm{A}}^{}}$= ${\displaystyle B{}^{}}$(${\displaystyle {B{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {T^{}}^{}}$ B${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$B^{\$mathsf{T}B\$right$)^{-1}$는 이중 격자를 설명하는 벡터 열이 있다$$.

참고 항목

• 결정학
• 이중기준
• 에발트 구
• 밀러 지수
• 분말 회절
• 기쿠치 선
• 브릴루인 구역
• 구역 축

참조

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 디플랙션과 관련된 미디어가 있다.

• http://newton.umsl.edu/run//나노/known.dll - Jmol 기반 전자 회절 시뮬레이터를 사용하면 기울이는 동안 상호 격자와 에발트 구체 사이의 교차점을 탐색할 수 있다.
• DoITPoMS 상호 공간 및 상호 격자 교육 패키지
• 4장 및 5장에서와 같이 쉽게 결정하여 상호 격자 현상이 어떻게 설명되는지 알아보십시오.