정현면파

물리학에서 사인파(또는 단색파) 평면파는 평면파의 특수한 경우로서 시간과 고정된 평면으로부터의 거리의 사인파 함수로 값이 변하는 장이다.

$공간{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 및 $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$에 $대한$모든 $위치$ x → ${\displaystyle$ {x$}$에 대해 이러한 필드의 값은 다음과 같이 기록할 수 있다$.$

${\displaystyle F({\vec {x},t)=A\cos \left(2\pi \nu({\vec {x}\cdot {\vec {n}-ct)+\varphi \,}$

여기서 $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$는 단위 길이 벡터로서 파동의 전파 방향이며${\displaystyle }$ " " ${\displaystyle \cdot$ $\}"$은 두 벡터의 도트 곱을 나타낸다.스칼라 또는 벡터일 수$$있는 $파라미터{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$을(를) 파형의 진폭이라고 하며, 계수 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$ 그 공간 주파수인 양의 스칼라, 그리고 라디안의 각도인$$2차원 스칼라 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaysty \varphi}$을 초기 위상 또는 위상 변화라고 한다.

스칼라 수량 $d{\displaystyle }$= ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \cdot n\stackrel{}{}}$→ ${\$ d$={\vec}\cdot{\vec{n}}}$는 $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$$vec${$n}}$에 수직인$$ 평면에서$$ (서명된) $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$$vec{$$n}$의 변위를 제공하며 좌표계의 원점을 통과한다$$.이 양은 $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$에 수직인 각 평면에 걸쳐 일정하다$.$

$시간{\displaystyle }$t = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle t=0$ 필드 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 사인파 함수로$$ $변위{\displaystyle }$ d ${\displaystyle d}$에 따라 달라진다$$.

${\displaystyle F({\vec {x},0)=A\cos \left(2\pi \nu({\vec{x}\cdot {\vec{n}})+\varphi \,}$

공간 주파수 ${\displaystyle \nu}$은 방향 $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$을 따라 길이 단위당 전체 사이클 수입니다$.$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt}$의 다른 값에 대해서는 필드 값이 $방향{\displaystyle \stackrel{}{}}$ n${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$$}$의 거리$$ $ct$에 의해 이동된다.$c{n$ 즉, 전체 필드가 속도 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c$와 함께 그 방향으로 이동하는 것 같다.

각 변위 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$에 대해 원점에서$$ $d{\displaystyle }$+ c ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle d+ct}$ $거리$에서 n${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$에 수직인 이동면을 파동면이라고 한다$.$$이{\displaystyle }$ 평면은 t${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$일 때 원점에서$$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 거리에 위치하며$,$ 속도 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c$과 함께 $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$n}} 방향으로 이동하며, 필드 값은 각 지점에서 동일하고 시간 내에 일정하다.

사인파 평면파는 선원의 거리에 비해 작은 공기 체적 내에서 음파에 적합한 모델이 될 수 있다(거의 물체로부터 에초(echo)가 없는 경우).그럴 경우 $F{\displaystyle (x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\$은(는) 스칼라장이 될 것이며$$, $지점{\displaystyle \stackrel{}{}}$x → ${\$ 시간$$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt}$은$($는) 정상 수준에서 벗어나게 된다.

고정 지점 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$에서 필드는 시간에 따라 부등각도 변화하며$,$ + A ${\displaystyle +A}$과${\displaystyle }$- A ${\displaystyle -A}$ 사이의 진폭 $A{\displaystyle }$ ${\displaysty A}$의 스칼라 배수가 될 것이다.

진폭 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$에 직교하는 벡터일$$ 때 파장은 횡방향이라고 한다$.$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 두 개의 비협착 방향을 따라 향할 수 있다면$$ 그러한 파동은 양극화를 보일 수 있다.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $n{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$과(와)의 벡터 콜린어인 경우$$$,$ 파동은 세로라고 한다.이 두 가지 가능성은 지진학에서 연구된 S(피)파와 P(압력)파에 의해 예시된다.

위의 공식은 파동의 움직임을 야기할 수 있는 물리적인 과정이 어떤 것이든 참조하지 않고 순수하게 "키네마틱한" 파동에 대한 설명을 제공한다.등방성 매체를 통해 전파되는 기계파나 전자기파에서 파동의 겉보기 전파의$$ $벡터{\displaystyle \stackrel{}{}}$ n${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$도 에너지나 모멘텀이 실제로 흐르는 방향이다.그러나 비등방성 매체에서는 두 방향이 다를 수 있다.^[1]

대체 표현

위의$$ 동일한 사인파 평면파 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F$${\displaystyle \}}$도 ${\displaystyle a}$= ${\displaystyle \sin +}$ ${\displaystyle (+}$ ${\displaystyle \pi \mathrm{}}$/ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cos a=\sin(a+\pi /2)}$을(를) 사용하여 cosine 대신 사인 단위로 표현할 수 있다.

${\displaystyle F({\vec {x},t)=A\sin \left(2\pi \nu({\vec {x}\cdot {\vec}-ct)+\varphi '\right)\,}$

여기서 $\phi {\displaystyle {}^{}}$ =${\displaystyle }$φ = ${\displaystyle \phi }$+ ${\displaystyle \pi \mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle \varphi '=\varphi +\pi /2$ 따라서 위상 편이치의 값과 의미는 파형이 사인 또는 동일 사인 단위로 정의되는지에 따라 달라진다.

$초기{\displaystyle \mathrm{}}$ 단계 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle 2\pi }$의 정수 배수를 초기 단계 φ ${\displaystyle \varphi }$에 추가해도 필드에 영향을 주지 않는다$$.$\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$의 홀수 배수를 추가하면 $진폭{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$을(를) 부정하는 것과 같은 효과가$$ 있다$.$ 공간 주파수 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$에 음의 값을 할당하면 전파 방향을 반전시키는 효과가 있으며$$, 초기 위상이 적절히 조정된다.

사인파 평면파의 공식은 몇 가지 다른 방법으로 쓸 수 있다.

• ${\displaystyle F({\vec {x},t)=A\cos(2\pi [({\vec{x}}\cdot {\vec{n}})/\lambda -t/T]+\varphi )}$

여기서 $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \lambda =1/\nu }$은 파장이고$,$ 필드가 $진폭{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle A$}과 같은 두 파장 사이의 거리는 $T{\displaystyle }$= ${\displaystyle \lambda }$/ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyty T=\lambda /c}$은 공간의 고정된 지점에서 볼 수 있는 필드 변동의 기간이다.그것의 $역수{\displaystyle }$f =${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f=1/T}$는 시간의 단위당 전체 사이클로 측정한 파형의 시간 주파수다.

• ${\displaystyle F({\vec {x},t)=A\cos(k({\vec{x}}\cdot {\vec{n}})-\omega t+\varphi )}$

여기서 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle =}$ = 2${\displaystyle }${ / $λ$ { ${$ \\$pi \nu =2$\pi /\$lambda }$은 각파수(길이 단위당 라디안으로 측정됨)라고 하는 파라미터로, $\Omega {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle T}$ ${\displaysty \omega$= $2\pi /T}$는 고정점(시간 단위당 변동량의 각 주파수).

• ${\displaystyle F({\vec {x},t)=A\cos({\vec{x}}\cdot {\v}})-\omega t+\varphi )}$

where ${\displaystyle {\vec {v}}=\nu {\vec {n}}={\vec {n}}/\lambda }$ is the spatial frequency vector or wave vector, a three-dimensional vector ${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}$ where ${\displaystyle v_{i}}$ is the number좌표 축 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 평행한 모든 직선을 따라 일정한 시간에 길이 단위당 발생하는 전체 사이클$.$

복합 지수형

평면 사인파도 복잡한 지수함수의 관점에서 표현될 수 있다.

${\displaystyle e^{{\\symbol{i}z}=\expect\symbol{i}z)=\cos z+{\csymbol{i}\sin z}$

여기서 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$은(는) 자연 지수함수의 기초가 되며$$, i${\displaystyle \mathit{}}${\$displaystyle${\$boldsymbol {i}\},}$은(는$)$ 방정식 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$=${\displaystyle }$- 1$${\$displaystyle {\boldsymbol{i}^{2}=-1$로 정의되는 가상 단위다. 이러한$$ 도구로 복잡한 지수 평면을 정의한다$.$

${\displaystyle U({\vec {x},t)\;=\;A\exp[{\boldsymbol {i}(2\pi \nu)({\vec {x}\cdot {\vec{n}-ct)+\\;=\;;A\exp[{\boldsymbol{i}}(2\pi {\vec}}\cdot {\v}-\omega t+\varphi )]}$

여기서 $A{\displaystyle }$ ,${\displaystyle \nu }$, ${\displaystyle n\stackrel{}{}}$→ ,${\displaystyle c\stackrel{}{}}$ ,${\displaystyle }$v → ,${\displaystyle v\stackrel{}{}}$→ ,${\displaystyle \Omega }$ , $\$ {\$displaystyle$A,\$nu ,{\bec {n},c,{\vc},\omega,\varphi }}}$은(실제) 사인면파에 대해 정의된 것과 같다$$.이 방정식은 값이 복잡한 숫자인 필드 $U{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle U({\vec {x},t)$ 또는 복잡한 좌표를 가진 벡터를 제공한다.을 얻으려면

${\displaystyle F({\vec {x},t)={\text{Re}[U({\vec {x},t)]}$

이 방정식과 이전 방정식의 관계를 평가하기 위해, 아래는 씨네와 코사인(cosin)을 사용하여 표현된 것과 같은 방정식이다.첫 번째 용어는 방금 논의한 평면파의 실제 형태와 동일하다는 것을 관찰한다.

${\displaystyle U({\vec {x},t)=A\cos(2\pi \nu{\vec{n}}\cdot {\vec}-\omega t+\varphi )+{\boldsymbol{i}}A\sin(2\pi \nu {\vec {n}\cdot {\vec}-\omega t+\varphi )}$

${\displaystyle U({\vec {x},t)=\qquad \ \F({\vec {x},t)\qquad \qquad +{\boldsymbol{i}}}A\sin(2\pi \nu {\vec {n}\cdot {\vec}-\omega t+\varphi )}$

도입된 평면 파형의 복잡한 형태는 복합값 ${\displaystyle }$ C ${\$ C$\}$을(를) 사용하여 단순화할 수 있으며, 실제 값 진폭 $A{\displaystyle }$ ${\$ A$\,}$을(를) 대체한다$.$
특히, 복잡한 형태 때문에

${\displaystyle \exp[{\boldsymbol {i}}(2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]\;=\;\exp[{\boldsymbol {i}}(2\pi \nu {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]\,e^{{\boldsymbol {i}}\varphi }}$

위상 계수 ${\displaystyle {}^{}}$ $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ e$^{\\boldsymbol{i}}\varphi }}$을(를)${\displaystyle }$C = A e ${\displaystyle {i\mathit{}}^{}}$ ${\displaystyle {\phi }^{}}$ ${\$ $\}\}\}\}\}\}$로 하면 복잡한 진폭으로 흡수될 수 있다.

${\displaystyle U({\vec{x},t)=C\exp[{\boldsymbol{i}}(2\pi {x}}\cdot {\v}\v}-\omega t)]}}$

복잡한 형태는 상상의 구성요소를 가지고 있지만, 필요한 계산이 복잡한 평면에서 수행된 후, 실제 평면파를 나타내는 실제 값진 방정식을 통해 그 실제 값을 추출할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Re} [U({\vec {x},t)]=F({\vec{x},t)=A\cos(2\pi \nu {\vec{n}}\cdot {\vec}-\omega t+\varphi )}$

복잡한 지수 형태의 평면파로 작업하는 것을 선택할 수 있는 주된 이유는 복잡한 지수들이 삼각측량 사인이나 코사인보다 대수적으로 다루기 쉽기 때문이다.특히, 각도 추가 규칙은 지수에게 매우 간단하다.

또한 손실 매체에서 파동에 대해 푸리에 분석 기법을 사용할 경우, 그 결과로 발생하는 감쇠는 복잡한 푸리에 계수를 사용하여 다루기가 더 쉽다.파동이 손실된 매체를 통해 이동한다면 파동의 진폭은 더 이상 일정하지 않으며, 따라서 파동은 더 이상 엄밀히 말하면 진정한 평면파가 아니다.

양자역학에서 슈뢰딩거 파동 방정식의 해법은 그 본질에 의해 복합적으로 평가되며, 가장 단순한 경우 위의 복잡한 평면 파동 표현과 동일한 형태를 취한다.그러나 그 경우에 상상적 요소는 수학적인 편의의 목적으로 도입된 것이 아니라 사실 "파동"의 본질적인 부분이다.

특수상대성이론에서는 4-벡터를 사용하면 훨씬 더 콤팩트한 표현을 활용할 수 있다.

4위치 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle c\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle t}$, x${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\vec{x}=(ct,{\vec {x}})}$

4파장 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ν ${\displaystyle n\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{\Omega }{}}$ c${\displaystyle }$, ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\$

스칼라 제품 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle n\stackrel{}{}}$ → ${\displaystyle \cdot }$ x${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega }$ t${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ n${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ → { x${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ $\\$2\$pi \no{\bec}\cdot{\x}=\omega t-2\pi-{n}\vec$}}\$cdot {\\\\\vec}}}}}}}$

그러므로,

${\displaystyle U({\vec{x},t)=C\exp[{\boldsymbol{i}}(2\pi \no}}\cdot{\x}-\vec}-gomega t)]}}$

된다

${\displaystyle U({\vec{x}})=C\exp[-{\boldsymbol{i}}(2\pi \nu {\vec}\cdot{\vec{x})]}$

적용들

균질 유전체 매체의 전자기 방사선을 설명하는 방정식은 정현상 평면파인 특수 용액으로 인정한다.전자기학에서 $필드{\displaystyle }$ F ${\$$displaystyle$ $F$$}$는 일반적으로 전기장, 자기장 또는 벡터 전위로서, 등방성 매체에서는 전파 $방향$과 $수직$이다$.$진폭 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 최대 강도 필드와 동일한 동일한 성질의 벡터가 된다$$.전파 속도 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은(는) 매체에서 빛의 속도가 될 것이다$$.

동질 탄성 고체의 진동을 설명하는 방정식은 또한 가로 및 세로 방향의 정현상 평면파인 용액도 허용한다.이 두 가지 유형은 다른 전파 속도를 가지며, 이는 매질의 밀도와 라메 파라미터에 따라 달라진다.

매체가 전파 속도를 부과한다는 것은 매개 변수 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$과 k ${\displaystyle k}$이(가) 매체의 분산 관계 특성을 만족해야$$ 함을 의미한다.분산 관계는 함수 $\Omega {\displaystyle }$ (${\displaystyle k}$) ${\displaystyle \omega (k)}$로 표현되는 경우가 많다$.$비율 $\Omega {\displaystyle }$/ ${\displaystyle k}${\$displaystyle \omega$/ k$}$은 위상 속도의 크기를 나타내며$$, 파생 모델 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Omega }$/ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \partial \omega /\partial k}$은 그룹 속도를 나타낸다$$.$굴절률{\displaystyle }$ r$${\$displaystyle r}$을(를$)$ 갖는 등방성 매체의 전자성의 경우 위상 $속도$는$/$r {\$displaystyle$c$/$$r}$이며, 이는 지수가 주파수에 의존하지 않을 경우 그룹 속도와 동일하다.

선형 균일 매체에서 파동 방정식에 대한 일반적인 해법은 사인면파의 중첩으로 표현할 수 있다.이 접근방식은 각도 스펙트럼 방법으로 알려져 있다.평면파 용액의 형태는 사실 변환 대칭의 일반적인 결과물이다.보다 일반적으로, 이산형 변환 대칭을 갖는 주기적 구조의 경우, 용액은 결정 원자 물질에서 가장 유명한 Bloch 파형의 형태를 취하지만 광학적 결정과 다른 주기적 파동 방정식에서도 나타난다.또 다른 일반화로서, 한 방향 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}($$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$ 방향을$$ 따라 도파관처럼)을 따라 균일한 구조물의 경우, 솔루션(파형관모드)은 $e{\displaystyle }$ x ${\displaystyle p}$ [${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (k}$ -${\displaystyle \Omega }$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaysty exp[$${\displaystyle \mathrm{kx-}}$$\omega t]$에 진폭 $함수$를 곱한$$ 형식이다${\displaystyle .}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle a(y,z$ 분리 가능한 부분 미분 방정식의 특별한 경우다.

극성 전자파

오른쪽을 향한 첫 번째 그림에는 선형 편광 전자파가 표시된다.이것은 평면파이기 때문에 축의 한 지점에서 사인파로 수직 변위를 나타내는 각 파란색 벡터는 축에 수직인 전체 평면에 대한 전기장의 크기와 방향을 나타낸다.

두 번째 그림에는 원형으로 편광된 전자기 평면파가 표시된다.축의 한 지점에서 나선까지의 수직 변위를 나타내는 각 파란색 벡터는 축에 수직인 전체 평면에 대한 전기장의 크기와 방향을 나타낸다.

두 그림에서 축을 따라 긴 파란색 벡터의 크기를 줄인 일련의 짧은 파란색 벡터가 있다.이 짧은 파란색 벡터는 공간을 채우는 검은색 벡터 블록으로 외삽된다.주어진 평면의 경우, 검은색 벡터는 동일하며, 이는 전기장의 크기와 방향이 해당 평면을 따라 일정하다는 것을 나타낸다.

선형 편극광의 경우, 평면에서 평면으로의 자기장 강도는 한 방향의 최대치에서 0까지 변화한 다음 반대 방향의 최대치까지 거슬러 올라간다.

원형 편극광의 경우, 자기장 강도는 평면에서 평면으로 일정하게 유지되지만 회전형 방식으로 방향이 꾸준히 변화한다.

어느 그림에도 나와 있지 않은 것은 공간의 각 지점에서 전기장에 비례하지만 전기장과 직각인 전기장의 해당 자기장이다.자기장 벡터의 그림은 모든 벡터가 전파 방향과 전기장 벡터에 모두 수직이 되도록 전파 축을 중심으로 90도 회전한다는 점을 제외하고 사실상 이것과 동일할 것이다.

자유 공간에서 평면 파형의 전기장과 자기장 구성 요소의 진폭 비율은 자유 공간 파동 임피던스라고 알려져 있으며, 376.730313옴과 동일하다.

참고 항목

무료 사전인 위키트리노리에서 사인파 평면파를 찾아봐.

• 각도 스펙트럼법
• 시준 빔
• 비행기가 진공에서 파동
• 평면파 팽창
• 직선 전파
• 파동 방정식

참조

• J. D. 잭슨, 고전 전기역학 (Wiley: New York, 1998)
• L. M. Brekhovskikh, "Layered Media, Series:응용수학과 역학, 제16권 (Academic Press, 1980).