행렬 계수

수학에서 매트릭스 계수(또는 매트릭스 요소)는 그룹의 선형 표현과 추가 데이터에 따라 달라지는 특수 형태의 그룹에 대한 함수다.정확히는 V의 내형성으로부터 V의 기초 영역으로 선형 지도로 벡터 공간 V에 G의 표현을 합성하여 얻은 콤팩트 위상학 그룹 G의 함수다.대표함수라고도 한다.^[1] 그것들은 해당 매트릭스 표현들의 매트릭스-엔트리 함수로서 G의 유한 차원 표현에서 자연적으로 발생한다.피터-와일 정리는 G에 대한 행렬 계수가 G에 대한 제곱합성 함수의 힐버트 공간에 밀도 있다고 말한다.

리 집단 표현 매트릭스 계수는 특수 함수 이론과 밀접하게 연관되어 이 이론의 큰 부분에 통일적인 접근법을 제공하는 것으로 밝혀졌다.매트릭스 계수의 성장 특성은 국소적 소형 그룹, 특히 환원성 실제 그룹과 p-adic 그룹의 되돌릴 수 없는 표현을 분류하는 데 핵심적인 역할을 한다.매트릭스 계수의 형식주의는 모듈형식의 개념의 일반화로 이어진다.다른 방향에서 특정 동적 시스템의 혼합 특성은 적절한 매트릭스 계수의 특성에 의해 제어된다.

정의

벡터 공간 V에서 그룹 G의 선형 표현 계수 ρ의 매트릭스 계수(또는 매트릭스 요소)는 그룹의 함수 f이다_v,η.

${\displaystyle f_{v,\eta }(g)=\eta(\rho(g)v)}$

여기서 v는 V에서 벡터, η은 V에서 연속적인 선형 함수, g는 G의 요소다.이 함수는 G에서 스칼라 값을 취한다.V가 Hilbert 공간이라면, Riesz 표현 정리에 의해 모든 매트릭스 계수는 형태를 가진다.

${\displaystyle f_{v,w}(g)=\langle \rho(g)v,w\angle }$

V의 일부 벡터 v 및 w.

유한 치수의 V에 대해, 그리고 표준 기준으로부터 얻은 v와 w의 경우, 이것은 실제로 고정된 장소에서 매트릭스 엔트리에 의해 주어진 함수다.

적용들

유한군

번사이드, 프로베니우스, 슈르가 개발한 유한집단의 불가역적 표현에 대한 매트릭스 계수는 이러한 집단의 표현 이론에서 두드러진 역할을 한다.그들은 Schur Orthogonality 관계를 만족시킨다.표현 ρ의 문자는 행렬 계수 f의_vi,ηi 합으로 여기서 {v_i}은(는) ρ의 표현 공간에서 기초를 이루고, { {}은_i(는) 이중 기준을 형성한다.

유한차원 거짓말군 및 특수함수

Elie Cartan은 Lie 그룹의 표현에 대한 행렬 계수를 처음 고려했다.이스라엘 겔판드는 많은 고전적인 특수함수와 직교 다항식이 리 그룹 G의 표현 행렬 계수로 표현 가능하다는 것을 깨달았다.^{[2][citation needed]}이 설명은 차등 연산자에 대한 추가 공식, 특정 반복 관계, 직교 관계, 적분 표현 및 고유값 속성 등 특수 기능의 지금까지 많은 상이한 속성을 증명하기 위한 통일된 프레임워크를 제공한다.^[3]삼각함수, 초기하함수 및 그 일반화, 레전드르 및 자코비 직교 다항식, 베셀함수와 같은 수학물리학의 특수함수는 모두 리군 표현의 행렬계수로 나타난다.대수 기하학과 숫자 이론에서 중요한 세타 기능과 실제 분석 아이젠슈타인 시리즈도 그러한 실현을 인정하고 있다.

자동형식

Gelfand, Graev, Piatetski-Shapiro에 의해 시작된 고전적인 모듈형 형태 이론에 대한 강력한 접근법은 그들을 특정 무한 차원 단일적 표현, 아델릭 집단의 자동적 표현에 대한 행렬 계수로 본다.이 접근방식은 랭글랜드가 글로벌 분야에 걸친 일반 환원 대수학 그룹을 위해 추가로 개발했다.

참고 항목

• 피터-와일 정리
• 구면함수

메모들

참조

• 빌렌킨, 엔자특수기능과 집단표현 이론.V. N. Singh에 의해 러시아어로 번역되었다.Mathematical Monographs의 번역, 제22권 미국수학협회, Providence, R. I. 1968
• Vilenkin, N. Ja, Klimyk, A. U. Lie 그룹 및 특수 기능. 최근의 발전.V. A. Groza와 A가 쓴 러시아 원고를 번역했다.A. 그로자.수학 및 응용, 316. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995.16+497 페이지ISBN 0-7923-3210-5
• Vilenkin, N. Ja, Klimyk, A. U. Lie 그룹 및 특수 기능. 제3권. 고전적, 양자적 집단과 특수 기능.V. A. Groza와 A가 러시아어로 번역했다.A. 그로자.수학 및 응용 프로그램(소비에트 시리즈), 75. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1992.xx+634 pp.ISBN 0-7923-1493-X
• Vilenkin, N. Ja, Klimyk, A. U. Lie 그룹 및 특수 기능. 제2권. 클래스 I 표현, 특수 기능 및 적분 변환V. A. Groza와 A가 러시아어로 번역했다.A. 그로자.수학 및 응용 프로그램(소비에트 시리즈), 74. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993.16세 이상 607 페이지ISBN 0-7923-1492-1
• Vilenkin, N. Ja, Klimyk, A. U. Lie 그룹 및 특수 기능. 제1권. 가장 단순한 거짓말 집단, 특수 기능 및 적분 변환.V. A. Groza와 A가 러시아어로 번역했다.A. 그로자.수학 및 응용 프로그램(소비에트 시리즈), 72. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991.xxiv+608 페이지ISBN 0-7923-1466-2