잔차교차

대수 기하학에서 잔차 교차로 문제는 다음과 같이 묻는다.

교차로에 있는 부분 집합 Z${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$given$$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{r}}}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\$이(가) 있으면 교차로에 있는 Z의 보완을 이해하십시오. 즉, 잔차가 Z로 설정됨.

교차점은 주변 공간의 차우 ${\displaystyle {그룹}_{}}$에서 교차로 제품인 클래스$($${\displaystyle {}_{}{}_{}}$⋯ X r${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (X_{1}\cdots X_{r}})$를 결정하며, 이 상황에서 문제는 Z:에 대한 클래스, 잔류 클래스를 이해하는 것이다.

${\displaystyle (X_{1}\cdots X_{r}-(X_{1}\cdots X_{r})^{Z}}}$

여기서${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle Z^{}}$ ${\$는 Z에서 지지되는 부분을 의미하며$$, 고전적으로 Z에서 지지되는 부품의 정도를 Z의 동등성이라고 한다.

두 가지 주요한 응용은 열거형 기하학(예: Steiner의 원뿔형 문제)의 문제에 대한 해결책이며, 다점 공식의 파생으로, 극소수적으로 가까운 경우에도 섬유로 점을 계수하거나 열거할 수 있는 공식이다.

잔류 교차로 문제는 19세기로 거슬러 올라간다.^{[citation needed]}문제들과 해결책들의 현대적인 공식화는 Fulton과 MacPherson 때문이다.정확히 말하면, 그들은 잔존 교차로 문제를 해결하는 방법으로 교차로 이론을 발전시킨다(이름대로, 일반 원뿔의 세그렐 계급을 교차로에 사용함으로써).정기적 임베딩에 대한 가정이 약화되는 상황에 대한 일반화는 클레이만(1981년) 때문이다.

포뮬라과

퀼렌의 초과간격식

위상학적 설정의 공식은 퀼렌(1971년) 때문이다.

자, 우리에게 Y″ → Y'가 주어진다고 가정하고 i':X' = X ×_Y Y' → Y'는 이전과 같이 ^!I를 정의할 수 있도록 codimension d'의 규칙적인 것이라고 가정해보자.F는 I와 i의^' 초과 묶음이 되게 하라. 즉, I'의 정상 묶음으로 N의 몫의 X″에 대한 후퇴다.e(F)를 F의 오일러급(상위 체르누스급)으로 하자, 우리는 A_k−d'(X)에서 A_k−d(X)까지의 동형성으로 본다.그러면

여기서 나는^! 형태론 Y″ → Y' → Y에 의해 결정된다.

마지막으로, 교차로 형태론을 완성하기 위해 위의 구조와 공식을 일반화할 수 있다. 이 확장은 § 6.6과 로크 시트의 17장에서 논의된다.

증명: 다소 노골적인 형태의 기신 동형성으로부터 교차로 공식을 추론할 수 있다.E를 r과 q의 X에 벡터다발이 되게 하라: P(E 1 1) → X 투사다발(여기서 1은 사소한 선다발을 의미한다).평소와 같이 우리는 P(E)와 E의 분리 결합으로 P(E ⊕ 1)를 식별한다.그리고 tautological의 정확한 순서가 있다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}(-1)\to q^{*}E\oplus 1\to \xi \to 0}$

P(E ⊕ 1)에.우리는 기신 동형성이 다음과 같이 주어진다고 주장한다.

${\displaystyle A_{k}(E)\to A_{k-r}(X),\,x\mapsto q_}(e(\xi ){\overline {x}}}}$

여기서 e(ξ) = c_r(ξ)는 ξ의 오일러 등급이고$,$ $x$의 $displaystyle{\x}}$는 x로 제한되는 A_k(P)의 요소다. 주사$$ q^*_k−r: A(X) → A_k(P(E) 1)가 갈라지기 때문에 우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\overline{x}=q^{*}y+z}$

여기서 z는 P(E)에서 지원되는 사이클의 클래스다.Whitney sum 공식에 따르면, c(qE^*) = (1₁ - c(O(1))c(c) 등

${\displaystyle e(\xi )=\sum _{0}^{r}c_{1}({\mathcal {O}(1))^{i}c_{r-i}(q^{*}E).}$

그 후 다음과 같은 결과를 얻으십시오.

${\displaystyle q_{*}(e(\xi )q^{*}y)=\sum _{i=0}^{rs_{i-r}(E\oplus 1)c_{r-i}(E)y}$

여기서 s_I(E ⊕ 1)는 i번째 세그리 클래스다.세그르 계급의 제로트 용어는 정체성이고 부정적인 용어는 0이므로 위의 표현은 y와 같다.다음으로, ξ에서 P(E)까지의 제한은 무반복 구간이 있고, z는 P(E)에서 지원되는 사이클의 등급이므로, e(()z = 0을 따른다.따라서 E와 j의 투영 지도에 E에서 P(E⊕1)까지의 포함에 대해 π을 작성하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \pi ^{*}q_{*}(e(\xi ){\overline{x}}=\pi^{*}y=j^{*}y=j^{\overline {x}-z)=j^{\overline {x}}}}=x}}=x}}}}x}x}$

이전과 같은 지지 이유 때문에 두 번째에서 마지막 평등이 이루어지는 경우.이로써 기신 동형주의라는 명시적 형태의 증거가 완성된다.

나머지는 형식적이고 직설적이다.우리는 정확한 순서를 사용한다.

$\displaystyle 0\to \xi '\to \xi \to r^{*}F\to 0}$

여기서 r은 의 투영 지도 입니다. Whitney sum 공식과 투영 공식에 의해, V의 전문화를 마무리하기 위해 P를 작성하고, 우리는 다음과 같다.

${\displaystyle i^{!}}(V)=r_{*}(e(\xi )P)=r_{*}(e)(r^{*}F)(\xi ')e(f)r_{*(e(xi ')P)=e(f){i'){i'^{!}(V)}}$

$\displaystyle \square }$

공식의 한 가지 특별한 경우는 자기 절개 공식으로, 다음과 같다: 규칙적인 내장 i: X → Y를 일반 묶음 N과 함께 부여한다.

${\displaystyle i^{*}i_{*}=e(N)}$

(이것을 얻으려면 Y' = Y' = X를 취한다.)예를 들어 이것과 투영 공식에서 X, Y가 매끄러울 때 다음과 같은 공식을 추론할 수 있다.

${\displaystyle i_{*}(x)i_{*(y)=i_{*}(e(N)xy).}$

Y의 차우 링에서 말이야

$Let{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle Y\stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$→ Y ${\displaystyle$ f$:{\widetilde{Y}\to Y}$은(는) 닫힌 하위 체임 X, $X{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$을(를) 따라 블로우업되고$$ 예외적인 디비소더 및 ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle G\stackrel{}{}}$ ~${\displaystyle X\stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$→ X ${\displaystyleg}: {g}:$ {g}:f의 제한은$${\$widetilde{X}\to$ X$}$이다.f는 부드러운 형태론(예: Y는 준프로젝티브)이 뒤따르는 폐쇄적 몰입으로 쓰여질 수 있다고 가정한다.그러면 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$! ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ f$^{*}i_{*=i^{!$$}}g$ 다음 중 하나를 얻는다.

예

예시 섹션 전체에 걸쳐 베이스 필드는 대수적으로 닫히고 특성 0을 갖는다.아래의 모든 예(첫 번째 예 제외)는 풀턴(1998년)에서 나온 것이다.

예제: 동일한 성분을 포함하는 두 평면 곡선의 교차점

Let ${\displaystyle C_{1}=Z(x_{0}x_{1})}$ and ${\displaystyle C_{2}=Z(x_{0}x_{2})}$ be two plane curves in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$. Set theoretically, their intersection

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}\cap C_{2}&=Z(x_{1},x_{2})\cup Z(x_{0})\\&=[1:0:0]\cup \{[0:a:b]\in \mathbb {P} ^{2}\}\\&=Z_{1}\cup Z_{2}\end{aligned}}}$

포인트와 내장된 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$의 조합이다${\$Bézout의 정리로는 이 교차점이 두 원뿔의 교차점이기 때문에 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 4$}$을(를) 포함할 것으로 예상되므로 이 교차점을 해석하려면 잔류 교차점이 필요하다.그러면

${\displaystyle (C_{1}\cap C_{2})^{Z_{1}}=\left\{{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{1}/\mathbb {P} ^{2}})}}\right\}_{0}\in A_{0}(Z_{1})}$ ${\displaystyle (C_{1}\cap C_{2})^{Z_{2}}=\left\{{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}}\right\}_{1}\in A_{1}(Z_{2})}$

$C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 모두 $도$ 2 ${\displaystyle 2}$ 과급기이므로$$, 이들의 정상적인 번들은 $O{\displaystyle \mathcal{}}$( 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(2$의 풀백이므로 두 개의 잔류 성분의 분자는

${\displaystyle {\begin}c({\mathcal {O}(2)c({\mathcal {O}(2))&=(1+2[H])(1+2[H])))\\&=1+4[H]+4[H]^{2}\end{aigned}}}}$

$Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}은$($는) 소멸 위치 $Z{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ $){\displaystyle$ Z$(x_{1},x_{2})$에 의해 주어지기$$ 때문에, 정상$$ 번들은 ${\displaystyle O\mathcal{}}$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \oplus }$ O${\displaystyle }$( $){\displaystystyle {O}(1)\oplus {O}(1$)}(1$)\\\$mathcal}(1)}(1)}(1)}(1)}(1)}(1)}}(1)}(1)}(1$)},${$mathc$.

${\displaystyle {\begin}c(N_{Z_{1}/\mathb {P}^{{2}})&=c({\mathcal{O}(1)\oplus {\O}(1)\&=(1+[H])(1+[H]))\\&=1+2[H]+[H]^{2}\\&=1\end{aigned}}}$

$Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는 $치수{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle 0}$이므로$,$ 마찬가지로 $분자$도 1$${\$displaystyle 1$$}$이므로, $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는$$ 소멸 $위치{\displaystyle }$ Z${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)에 의해 주어진 완전한 교차점이기 때문에 잔류 교차점은 $예상$대로 1$${\$displaystystyle$1}이다$.$${\displaystyle {}_{},}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\$$displaystyle$ Z$(x_{1},x_{2$ 또한$,$ 사라져가는 $로커스{\displaystyle }$ Z$(x0$)에 의해 주어졌기 때문에$$ $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $Z_{$$2$}}의 정상적인 번들은 $O{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystystyle {\mathcal${$O$$}(1)}($1)이므로$,$

${\displaystyle c(N_{Z_{2}}/X)=1+[H]}$

$c{\displaystyle (N}$ ${\displaystyle {Z{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$/ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle c(N_{Z_{2}}/X)}$을(를) 뒤집으면 영상 시리즈가 제공됨$$

${\displaystyle {\frac {1}{1+[H]}}}}=1-[H]+[H]^{2}}$

이 때문에

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}}=&(1+4[H]+4[H]^{2})(1-[H]+[H]^{2})\\=&(1-[H]+[H]^{2})\\&+(4[H]-4[H]^{2})\\&+4[H]^{2}\\=&1+3[H]+[H]^{2}\=&1+3[H]\end{aigned}}}$

$Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}에$$ 대해 $3{\displaystyle \mathrm{}}$[${\displaystyle H}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle 3[H]}$의 잔여 교차점 부여$.$ 이 두 클래스를 앞으로 누르면 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$ $){\displaystyle A^{*}(\mathb {P} ^{2})$의$4{\displaystyle \mathrm{}}$[${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 4$]{$2}}가 주어진다$.$

예제: 세 표면의 곡선 정도

$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$X ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$을 세 개의 표면으로$$ 한다.계획-이론적 교차점 $\bigcap {\displaystyle }$ ${\displaystyle X_{}}$ i ${\$이(가) 매끄러운 곡선 C와 0차원 스키마 S의 분리된 결합이라고$$ 가정한다.S의 정도가 얼마인가?이것은 #포뮬라로 대답할 수 있다.

예제: 주어진 5개의 선에 접하는 원뿔

The plane conics are parametrized by ${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\binom {2+2}{2}}-1}=\mathbb {P} ^{5}}$. Given five general lines ${\displaystyle \ell _{1},\ldots ,\ell _{5}\subset \mathbb {P} ^{2}}$, let ${\displaystyle H$$_{\ell _{i}\subset \mathb{P} ^5}}}$는 }} i ${\$ _${i$에 접하는 원뿔의 하이퍼서페이스로, 이 하이퍼서페이서는 2도가 있음을 알 수 있다.

교차로 $\bigcap {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle {{\ell }_{}}_{}}$ i ${\$$H_{\ell _{i}}$에는 이중 선으로 구성된$$ 베론 표면 Z ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ Z$\simeq \mathb{P} ^2}}$개가 들어$$ 있으며, $\bigcap {\displaystyle \underset{}{}}$ i ${\displaystyle {\ell {}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\$의 계획-이론적 연결 성분이다.$H\_{\displaystyle }$${\ell _{i$ h${\displaystyle }$= c $($ ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 1}$ ) $displaystyle h=c_{1}({\mathcal{O}_{Z}($1)}은$($는) 하이퍼플레인 클래스 = Z의 차우 링에서 O(1)의 첫 번째 체르누 클래스다.Now, ${\displaystyle Z=\mathbb {P} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{5}}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(1)}$ pulls-back to ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(2)}$ and so the normal bundle to ${\displaystyle H_{{\ell }_i}}$${\displaystyle }$Z로 제한되는$$ ${\displaystyle H_{\ell _{i}}$은(는)

${\displaystyle N_{H_{\ell _{i}}/\mathbb {P} ^{5}} _{Z}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(H_{\ell _{i}}) _{Z}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(2) _{Z}={\mathcal {O}}_{Z}(4).}$

그래서 체르누스 수업의 총계급이다.

${\displaystyle c(N_{H_{\ell _{i}/\mathb {P}^{5} ^{Z}=1+4h.}$

Similarly, using that the normal bundle to a regular ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$ is ${\displaystyle T_{Y} _{X}/T_{X}}$ as well as the Euler sequence, we get that the total Chern class of the normal bundle to ${\displaystyle Z\hookrightarrow \mathbb {P} ^{5}}$ is

${\displaystyle c(N_{Z/\mathbb {P} ^{5}})=c(T_{\mathbb {P} ^{5}} _{Z})/c(T_{Z})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(1)^{\oplus 6} _{Z})/c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(1)^{\oplus 3})=(1+2h)^{6}/(1+h)^{3}.}$

따라서 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 세그르 등급은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle s(Z,\mathb {P}^{5})=c(N_{Z/\mathb {P}^{5}})^{-1}=1-9h+51h^{2}.}$

따라서 Z의 등가성은 다음과 같다.

${\displaystyle \cH((1+4h)^{5}(1-9h+51h^{2})=160-180+51=31.}$

베주트의 정리로는 $\bigcap {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle {{\ell }_{}}_{}}$ i ${\$의 정도.$H_{\ell _{i}}$은(는) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 5${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle$ 2$^{5}=32}$이므로 잔차 집합은 주어진 5개 라인에 모두 접하는 고유 원뿔에 해당하는 단일 점으로 구성된다.

또는 Z의 등가성은 #공식을 통해 계산할 수 있는가?; ${\displaystyle \mathrm{deg}}$since (${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {T{\mathbb{}}^{}}_{}}$ P${\displaystyle {{}^{}}_{}{{\mathrm{}}^{}}_{}}$) = ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ $⁡$(${\displaystyle {{\mathrm{}}^{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {T{\mathbb{}}^{}}_{}}$P${\displaystyle 2}$ )${\displaystyle }$=$$3 {\$displaystyle \deg(c_{$1})($T_{\mathb {P} ^{2$}}) 이후$)$$=\deg(c_{2}(T_{\mathb {P} ^{2}})=3}$과(와) ${\displaystyle \mathrm{deg}(Z}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \deg(Z)=4$ 다음과 같다.

${\displaystyle 3+4(3)+(40-10(6)+21)\deg(Z)=31.}$

예제: 주어진 5개의 원뿔에 접하는 원뿔

이 구간은 확장이 필요하다.덧대면 도움이 된다.(2019년 3월)

일반적인 위치에$$ 5개의 평면 원뿔 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,{}_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$}}개가 주어진다고 가정합시다.하나는 앞의 예와 같이 정확하게 진행할 수 있다.따라서 H ${\displaystyle {C{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$을(를) ${\displaystyle C_{}}$ i$${\$displaystyle C_{i}}$에 접하는 원뿔의 과외면이 되도록$$ 한다$.$ 6도가 있음을 나타낼 수 있다.교차로 $\bigcap {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle {C_{}}_{}}$ i ${\$$H_{C_{i}}}$에는 이중 선의 베로네즈 표면 Z가 포함되어$$ 있다.

예: 정제된 기신 동형성 구축의 functorality

이 구간은 확장이 필요하다.덧대면 도움이 된다.(2019년 3월)

기능성은 섹션 제목을 가리킨다: 두 개의 정기 $내장{\displaystyle }$ X ${\displaystyle \hookrightarrow \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \hookrightarrow \stackrel{}{}}$ J ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X{\overset {i}{\hookrightarrow }}}Y{{j}{\hookrightarrow }}Z$

$(j\displaystyle (j\j\light i)^{!}}=j^{!}\miss i^{!}}$

평등이 다음과 같은 의미를 갖는 경우:

메모들

참조

• Fulton, William (1998). "Chapter 9 as well as Section 17.6". Intersection theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Vol. 2 (2nd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-62046-4. MR 1644323.
• Kleiman, Steven L. (1981). "Multiple-point formulas I: Iteration". Acta Mathematica. 147 (1): 13–49. doi:10.1007/BF02392866. ISSN 0001-5962. OCLC 5655914077.
• Quillen, Daniel (1971). "Elementary proofs of some results of cobordism theory using Steenrod operations". Advances in Mathematics. 7 (1): 29–56. doi:10.1016/0001-8708(71)90041-7. ISSN 0001-8708. OCLC 4922300265.
• 지브 란, 1983년 시카고 대학교 프리프린트의 "커비린어 열거 기하학"

추가 읽기

• 그로모프-위튼 불변제 적용에 따른 교차로 이론