대수적 다양성

대수적 다양성은 수학의 하위 분야인 대수 기하학에서 핵심적인 연구 대상이다.고전적으로, 대수적 다양성은 실수 또는 복소수에 걸친 다항 방정식 시스템의 해 집합으로 정의된다.현대적 정의는 ^{[1]: 58} 원래의 정의 뒤에 있는 기하학적 직관을 보존하려고 시도하는 동안 이 개념을 몇 가지 다른 방법으로 일반화한다.

대수적 다양성의 정의에 관한 관습은 약간 다르다.예를 들어, 일부 정의에서는 대수적 다양성을 축소할 수 없도록 요구하는데, 이는 Zariski 토폴로지에서 닫힌 두 개의 작은 집합의 결합이 아님을 의미한다.이 정의에 따르면, 환원 불가능한 대수적 변종은 대수적 집합이라고 불린다.다른 규약에서는 축소할 수 없습니다.

대수의 기본 정리는 복소수 계수를 가진 변수에서 단수 다항식(대수 객체)이 복소 평면에서의 그 근(기하학적 객체)의 집합에 의해 결정된다는 것을 보여줌으로써 대수와 기하학 사이의 연결을 확립한다.이 결과를 일반화하면, 힐베르트의 늘스텔렌사츠는 다항환의 이상과 대수 집합 사이의 기본적인 대응 관계를 제공한다.Nullstellensatz와 관련 결과를 사용하여 수학자들은 대수 집합에 대한 질문과 고리 이론의 질문 사이에 강력한 대응 관계를 확립했습니다.이 대응은 대수기하학의 결정적인 특징이다.

많은 대수적 변종이 다양체이지만, 대수적 변종은 다양체가 가질 수 없는 단수점을 가질 수 있다.대수적 다양성은 그 차원으로 특징지을 수 있다.1차원의 대수적 다양성은 대수적 곡선이라고 불리며 2차원의 대수적 다양성은 대수적 표면이라고 한다.

현대 체계 이론의 맥락에서, 한 분야에 걸친 대수적 다양성은 구조 형태론이 분리되고 유한형인 그 분야에 걸친 적분(축소 불가능하고 축소된 체계이다.

개요 및 정의

대수적으로 닫힌 필드에 걸친 아핀 다양성은 개념적으로 정의하기 가장 쉬운 다양성 유형으로, 이 섹션에서 설명합니다.다음으로 사영변종과 준사영변종을 비슷한 방법으로 정의할 수 있다.품종의 가장 일반적인 정의는 더 작은 준투영 품종을 패치하여 얻습니다.이러한 방법으로 진정으로 새로운 품종의 예를 만들 수 있을지는 분명치 않지만, 나가타씨는 1950년대에 그러한 새로운 품종의 예를 들었다.

아핀 품종

대수적으로 닫힌 필드 K와 자연수 n의 경우, A를 K 위의 아핀 n공간으로 하고, 아핀 좌표계의 선택을 통해 ${\displaystyle K^{}}$ n$(\$ K$^{n})$으로 $식별$한다ⁿ.링 K[x₁, ..., x_n]의 다항식 f는 A의 지점에서ⁿ f를 평가함으로써, 즉 각_i x에 대한 K의 값을 선택함으로써 A의ⁿ K 값 함수로 볼 수 있다. K[x₁, ..., x_n]의 각 다항식 집합 S에 대해, A의 점들에ⁿ 설정될 0 로커스 Z(S)를 정의한다.

${\style Z(S)=\left\{x\in\mathbf {A}^{n}\mid f(x)=0'text{{displaystyle Z(S)=\left\in S\right\}.}$

A의 부분ⁿ 집합 V는 V ^{[1]: 2} = 일부 S에 대해 Z(S)이면 아핀 대수 집합이라고 한다.비어 있지 않은 아핀 대수 집합 V는 두 개의 적절한 대수적 ^{[1]: 3} 부분 집합의 결합으로 쓸 수 없다면 환원 불가능이라고 불린다.환원 불가능한 아핀 대수 집합은 아핀 ^{[1]: 3} 다양체라고도 불린다(많은 저자는 아핀 다양체라는 어구를 사용하여 아핀 대수 집합을 참조한다^{[note 1]}).

아핀 다양성은 닫힌 집합이 아핀 대수 집합임을 정확하게 선언함으로써 자연 위상을 제공할 수 있다.이 토폴로지를 Zariski ^{[1]: 2} 토폴로지라고 부릅니다.

A의 부분ⁿ 집합 V가 주어지면, I(V)가 V에서 사라지는 모든 다항식 함수 중 이상이라고 정의한다.

$\displaystyle I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots,x_{n}\mid f(x)=0'text{모든 }x\in V\right\}에 대해}$

임의의 아핀 대수 집합 V에 대하여, V의 좌표 고리 또는 구조 고리는 ^{[1]: 4} 이 이상에 의한 다항식 고리의 몫이다.

사영품종 및 준사영품종

k를 대수적으로 닫힌 장, P를 k 위의ⁿ 투영 n-공간이라고 하자.f in₀ k[x, ..., x_n]를 차수 d의 균질 다항식이라고 하자.균질 좌표에서 P에 있는ⁿ 점에 대해 f를 평가하는 것은 잘 정의되지 않습니다.그러나 f는 균질하기 때문에 f(θx₀, ..., θx_n) = θ^d f₀(x_n, ..., x)임을₀ 의미하므로 [x_n : ...: x] 지점에서 f가 사라졌는지 묻는 것이 타당합니다.동종 다항식의 각 집합 S에 대해 S의 영점 위치를 S의 함수가 사라지는 P의ⁿ 점 집합으로 정의합니다.

$\displaystyle Z(S)=\{x\in \mathbf {P}^{n}\mid f(x)=0(텍스트{}f\in S\}).}$

일부 S에ⁿ 대해 V = Z(S)^{[1]: 9} 이면 P의 부분 집합 V를 투영 대수 집합이라고 한다.축소할 수 없는 사영 대수 집합을 사영 ^{[1]: 10} 품종이라고 한다.

모든 대수 집합이 닫힘을 선언함으로써 사영 변종도 자리스키 토폴로지를 갖추고 있다.

P의 부분ⁿ 집합 V가 주어지면, I(V)가 V에서 사라지는 모든 균질 다항식들에 의해 생성된 이상이라고 하자.임의의 투영 대수 집합 V에 대하여, V의 좌표 고리는 이 ^{[1]: 10} 이상에 의한 다항식 고리의 몫이다.

준투영 품종은 사영 품종의 자리스키 오픈 서브셋이다.모든 아핀 품종은 ^[2]준투영적이라는 점에 유의하십시오.또한 아핀 품종의 대수 집합의 보완은 준사영적 다양성이라는 점에 유의하십시오. 아핀 품종의 맥락에서 이러한 준사영적 다양성은 보통 품종이 아니라 구성 가능한 집합이라고 불립니다.

추상적 다양성

고전 대수기하학에서, 모든 변종들은 정의상 준투영 변종이었고, 이는 그것들이 사영공간의 닫힌 부분변종의 열린 부분변종이었다는 것을 의미한다.예를 들어, 하트숀. 미국의 제1장 다양한 대수적으로 닫혀 들판에quasi-projective variety,[1]시 15분지만 2장에서 이후 이 용어는 다양한(또한 추상적인 다양한 전화)은 국내는quasi-projective 다양한 보다 일반적인 개체, 하지만, 때 전체적으로 바라볼 때 반드시 quasi-pro지 않고 언급하기 정의된다.jective즉, 투영 ^{[1]: 105} 공간에 삽입되어 있지 않을 수 있습니다.그래서 고전적으로 대수적 다양성의 정의는 사영공간에 임베딩을 필요로 했고, 이 임베딩은 다양성에 대한 토폴로지와 다양성에 대한 규칙적인 함수를 정의하는데 사용되었습니다.이러한 정의의 단점은 모든 종류가 투영 공간에 자연 매립되어 있는 것은 아니라는 것입니다.예를 들어, 이 정의에 따르면, 제품¹¹ P × P는 투영 공간에 삽입될 때까지 다양하지 않다. 이것은 보통 세그먼트 매립에 의해 이루어진다.그러나 투영 공간에 하나의 임베딩을 허용하는 모든 종류는 임베딩을 Veronese 임베딩으로 구성함으로써 다른 많은 임베딩을 허용합니다.결과적으로, 정규 함수의 개념과 같이 본질적이어야 하는 많은 개념들은 명백하게 그렇지 않다.

임베디드 없이 추상적으로 대수적 다양성을 정의하려는 최초의 시도는 Andre Weil에 의해 이루어졌다.그의 대수기하학 기초에서, 베일은 평가를 이용하여 추상적인 대수다양성을 정의했다.Claude Chevalley는 비슷한 목적을 가졌지만 더 일반적인 계획을 정의했다.그러나 알렉산더 그로텐디크의 계획에 대한 정의는 여전히 일반적이며 가장 널리 받아들여지고 있다.그로텐디크의 언어에서 추상 대수 다양성은 보통 대수적으로 닫힌 ^{[1]: 104–105} 필드 위에 유한형의 정수적이고 분리된 체계로 정의되지만, 일부 저자들은 축소 가능성, 축소성 또는 분리성 조건을 떨어트리거나 기초 필드가 대수적으로 ^{[note 2]}닫히지 않도록 한다.고전적인 대수적 다양성은 대수적으로 닫힌 필드에 걸친 준주사적분분리 유한형 체계이다.

비사분사 추상 대수 변종의 존재

비사분사적 대수적 다양성의 가장 초기의 예 중 하나는 나가타에 ^[3]의해 제시되었다.나가타의 예는 완전하지 않았지만, 곧 그는 완전하고 ^{[4][1]: Remark 4.10.2 p.105} 투사적이지 않은 대수적 표면을 발견했다.그 후 다른 예들이 발견되었는데, 예를 들어, 준투영적이 아니라 완전한 ^[5]토릭 품종을 구성하는 것은 간단하다.

예

하위 변종

하위변수는 (주변변종에서 유도되는 구조와 관련하여) 그 자체가 변종인 변종의 하위 집합이다.예를 들어, 다양성의 모든 열린 부분 집합은 다양합니다.'닫힌 몰입'도 참조하십시오.

힐베르트의 늘스텔렌사츠는 아핀 또는 사영 다양성의 닫힌 하위 다양성은 다양성의 좌표 고리의 원시 이상 또는 균질한 원시 이상과 일대일 대응한다고 말한다.

아핀 품종

예 1

k = C, 그리고² A를 C 위의 2차원 아핀 공간이라고 하자.링 C[x, y]의 다항식은 A의 지점에서² 평가함으로써 A에서² 복소수 값 함수로 볼 수 있다.C[x, y]의 부분 집합 S에 단일 요소 f(x, y)가 포함되도록 합니다.

${\displaystyle f(x,y)=x+y-1.}$

f(x, y)의 영점 위치는 이 함수가 사라지는 A의² 점 집합이다. 즉, y = 1 - x인 복소수(x, y)의 모든 쌍의 집합이다.이것은 아핀 평면에서 선이라고 불립니다.(복소수 위상에서 나오는 고전적인 위상에서는 복소선은 차원 2의 실다양체입니다.)이것은 세트 Z(f )입니다.

$\displaystyle Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C}^{2}\}.}$

따라서 A의 부분² 집합 V = Z( f )는 대수 집합이다.세트 V가 비어 있지 않습니다.그것은 두 개의 적절한 대수적 부분 집합의 결합으로 쓸 수 없기 때문에 축소할 수 없다.그래서 그것은 아핀 대수적 다양성이다.

예 2

k = C, 그리고² A를 C 위의 2차원 아핀 공간이라고 하자.링 C[x, y]의 다항식은 A의 지점에서² 평가함으로써 A에서² 복소수 값 함수로 볼 수 있다.C[x, y]의 부분 집합 S에 단일 요소 g(x, y)가 포함되도록 합니다.

$\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.}$

g(x, y)의 0-locus는 이 함수가 사라지는² A의 점 집합이다. 즉, x² + y = 1과² 같은 점 집합이다. g(x, y)는 절대적으로 환원 불가능한 다항식이기 때문에, 이것은 대수적 다양성이다.실점 집합(즉, x와 y가 실수인 점)은 단위 원으로 알려져 있습니다. 이 이름은 종종 전체 품종에 대해서도 지정됩니다.

예 3

다음 예는 초면도 선형 공간도 단일점도 아닙니다.A를 C 위의 3차원 아핀 공간이라고 하자³.C의 x에 대한 점 집합(x, x², x³)은 대수적 다양성이며, 더 정확히는 어떤 ^{[note 3]}평면에도 포함되지 않는 대수적 곡선이다.위 그림과 같이 꼬인 입방체입니다.그것은 다음 식에 의해 정의될 수 있다.

${\displaystyle {\displaystyle} y-x^{2}&=0\z-x^{3}&=0\end{aligned}}$

이 대수 집합의 환원 불가능성은 증거가 필요하다.이 경우 한 가지 방법은 투영법(x, y, z) → (x, y)이 용액 세트에 주입되는지 그리고 그 이미지가 축소 불가능한 평면 곡선인지 확인하는 것입니다.

좀 더 어려운 예에 대해서는 항상 유사한 증거가 제시될 수 있지만 어려운 계산을 암시할 수 있다. 먼저 치수를 계산하기 위한 그로브너 기저 계산, 이어서 변수의 무작위 선형 변경(항상 필요하지 않음), 그 다음 투영을 계산하고 그것이 일반적이라는 것을 증명하기 위한 또 다른 단항 순서에 대한 그로브너 기저 계산.그리고 그 이미지가 하이퍼서페이스이고 마지막으로 이미지의 축소 불가능성을 증명하기 위한 다항식 인수분해이다.

일반선형군

기준 필드 k 위의 n-by-n 행렬 세트는 ${\displaystyle {\mathrm{xij}}_{}}$$A)\$displaystyle $x_{ij}}$$좌표$를 ${\displaystyle {갖는}_{}}$ 아핀 n² $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{n\mathrm{}}^{}}^{}}$ 2$(\$로 식별할 수 $있습니다{\displaystyle {}_{}}$(xij)\$displaystyle x_{$ij$}).$${\displaystyle 행렬식}$det {\$displaystyle$\$det}$은 $xij의$다항식이므로 A ${\displaystyle {{n\mathrm{}}^{}}^{}}$ 2$(\$^{$n^{$2$\}\})$에서 $하이퍼페이스{\displaystyle }$ H $=$를 정의합니다.H$(\displaystyle$ H$)$의 보수는 ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ n $(\$$$^{$n^{$2$}})$의 열린 부분집합이며, 이는 모든 가역 n-by-n 행렬, 일반 선형$$군 ${\displaystyle {GL}_{}}$n${\displaystyle }$δ ($k)로 구성$됩니다.아핀 품종의 표면은 아핀이다.명시적으로 A ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$× ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$1(\$displaystyle \mathbb {A}$^{n$^{2}}\times$ \$mathbb$ {A$}$^{$1})$을 아핀 라인에 좌표 t가 주어지는 것으로 $간주$한다.${\displaystyle {GL}_{}}$ n ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle k}$) { $displaystyle \operatorname {GL }$_${n$} ($k)$ }은(는${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n$$2 × ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1 ({$displaystyle \mathbb {A}$$$^{$n^2}}$ \$times \mathbbb$ {A$} ^{1}의$ 0 로커스에 $해당$한다$.$

$\displaystyle t\cdot \det[x_{ij}]-1,}$

${\displaystyle 즉}$, t${\displaystyle }$det (${\displaystyle A)}$ $=$ {$displaystyle$ t$\det(A$)=$1}$이(가) 해를 갖는 행렬 A의 집합이다.이는 대수적으로 가장 잘 알 수 있습니다.${\displaystyle {GL}_{}}$ n ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle k}$) \ $displaystyle \operatorname {GL } _$ {$n}$ ($k)$ _ {${\displaystyle n_{}}$}의$$ ${\displaystyle {\mathrm{좌표}}_{}}$ 링은 $현지화{\displaystyle }$k [ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}0}$ 0${\displaystyle i}$i , ${\displaystyle jn}$ n${\displaystyle }$][${\displaystyle {}^{det}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$] { $display$ k$_$ x$_$ { $ij }\$ 、 $mid$0 \ $q$, mid 0 \ q - }입니다$.$$(\displaystyle$ k$[x_{ij},t\mid$ 0$\leq$ i$,j\leq$ n$]/(t\det$ -1$)\}).$

베이스 필드 k의 곱셈군^* k는 ${\displaystyle {GL\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle k}$ $)\displaystyle \operatorname {GL}_{1}(k)}$과 같으므로 아핀 품종이다.

일반 선형군은 선형 대수군의 한 예이며, 아핀 품종은 군 연산이 품종의 형태론인 방식으로 그룹의 구조를 가진다.

사영 다양성

투영 다양성은 투영 공간의 닫힌 하위 변수입니다.즉, 원시 이상을 생성하는 균질 다항식 집합의 0 궤적입니다.

예 1

평면 투영 곡선은 3개의 불확정에서의 환원 불가능한 균질 다항식의 0 궤적이다.투영 선¹ P는 투영 곡선의 한 예입니다. x = 0으로 정의된 투영 평면 P² = {[x, y, z]}의 곡선으로 볼 수 있습니다.다른 예로, 먼저 아핀 입방곡선을 고려합니다.

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$

2차원 아핀 공간에서 (2가 아닌 특성 영역에 걸쳐).여기에는 다음과 같은 입방체 균질 다항식 방정식이 있습니다.

${\displaystyle y^{2}z=x^{3}-xz^{2}$

P에서² 타원 곡선이라고 하는 곡선을 정의합니다.곡선은 1속(속칭 공식)을 가지고 있으며, 특히 0속인 투영선¹ P와 동형이 아니다.곡선을 구별하기 위해 속(속)을 사용하는 것은 매우 기본적인 것입니다. 사실, 속은 곡선을 분류하기 위해 사용하는 첫 번째 불변량입니다(대수 곡선의 모듈리 구성 참조).

예 2: Grassmanian

V를 유한 차원 벡터 공간이라고 하자.그래스만 다양성_n G(V)는 V의 모든 n차원 부분 공간의 집합이다.이는 투영적 다양성입니다. Plücker 임베딩을 통해 투영적 공간에 내장됩니다.

${\displaystyle\case\case}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\wedge ^{n}V\right)\\langle b_{1},\ldots,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \wedge \wedge b_n}\endge b_{cases}}\case}$

여기서_i b는 V의 선형 독립 벡터 집합이고,${\displaystyle {}^{}}$ V$(\displaystyle \wedge$^{$n}V)$는 V의 n번째 외부 검정력이며, 괄호 [w]는 0이 아닌 벡터 w에 의해 확장된 선을 의미합니다.

그래스만 다양성은 체른 클래스와 같은 특징적인 클래스의 연구에 중요한 tautological bundle이라고 불리는 자연 벡터 다발(또는 다른 용어로 국소적으로 자유로운 다발)과 함께 온다.

자코비안 품종

C를 매끄러운 완전한 곡선으로 ${\displaystyle \mathrm{하고}}$, Pic${\displaystyle \theta }$ (${\displaystyle }$C$$) {$displaystyle$ \$operatorname${Pic$}(C$)}을$$ 그 Picard 그룹, 즉 C 위의 선다발의 동형 클래스 그룹이라고 하자.${\displaystyle C}$는 매끄럽기 때문에 Pic${\displaystyle \theta }$ ($$C ) \$displaystyle$ \$operatorname${Pic} ($C)$를 C의 제수로 식별할 수 있으므로, 도 ${\displaystyle \mathrm{동형성}}$ deg ${\displaystyle :}$ $:$ (${\displaystyle C}$ ) ${\displaystyle \to }$ \$displaystyle \operatorname {pic} :\toC$가 있다.C의 {$Jac}(C)}$은(는) 이 정도 맵의 커널, 즉 C의 제수 클래스 그룹입니다$.$야코비안 다양성은 아벨 다양성의 한 예이며, 호환 가능한 아벨 군 구조를 가진 완전한 다양성이다. (그러나 "아벨리안"이라는 이름은 아벨 군이기 때문이 아니다.)아벨 변종이 투영성이 있는 것으로 판명되었다(대수 설정에서의 세타 함수는 삽입성을 부여한다). 따라서 Jac ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle C}$) \$displaystyle \operatorname {Jac$} ( $C$)는 투영성 변종이다.Jac ⁡(C){\displaystyle \operatorname{Jac}(C)기 위해서 신분 요소에서의 접선 공간}자연스럽게 H1⁡(C, OC);{\displaystyle \operatorname{H}^ᆱ(C,{\mathcal{O}}_{C}).},}Jac ⁡(C){\displaystyle \operatorname{Jac}(C)의 치수[6]은 C의 이 속{\dis 동형이다.복수$aystyle$ C$\}$ 입니다.

${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$$${\$displaystyle$ C$\}$의 점 P$$0 {\$displaystyle$ $P_{0}$을(를) 고정합니다.각 n> {\$displaystyle$ n > $0$에 대해 자연스러운 모피즘이^[7] 존재합니다.

${\displaystyle C^{n}\to \operatorname {Jac}(C),\dots,P_{r}\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n}-nP_{0}}}}$

${\displaystyle {여기}^{}}$서 Cn$(\$ C$^{n})$은 C의 n개 복사본의 곱입니다.g ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$ g$=1}($즉, C는 타원곡선)에 대해 위의 n ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ n$=1}$에 $대한{\displaystyle }$ 형태론은 동형사상으로 ^{[1]: Ch. IV, Example 1.3.7.} 판명되었으며, 특히 타원곡선은 아벨의 다양성이다.

모듈리 품종

$정수{\displaystyle }$ g${\displaystyle 0}$0 { $display style$g \ $geq$ 0$$}이 주어졌을 때$,$ 매끄러운 완전 곡선의 동형 클래스 g { $displaystyle$$$g}의 집합을 m$${ $displaystyle$ g$}$의 곡선의 모듈리라고 하며, M$$ { $displaystyle {M}_{g$로 표시되며, 이 모듈리가 구조임을 나타내는 방법은 몇 가지 있다.가능한 환원 가능한 대수적 다양성; 예를 들어, 한 가지 방법은 기하학적 불변성 이론을 사용하여 일련의 동형학 클래스가 준사영적 다양성 ^[8]구조를 갖도록 하는 것이다.고정속 곡선의 모듈리와 같은 모듈리는 전형적으로 투영적인 종류가 아니다. 대략적인 이유는 부드러운 곡선의 변성(한계)이 매끄럽지 않거나 환원 가능한 경향이 있기 때문이다.이로 인해 g$≤$ ${\displaystyle 2}$(\$displaystyle$ g$\geq$2)$속$안정곡선의 개념이 생겨나며, 이는 그다지 나쁘지 않은 특이점이나 그다지 크지 않은 자기동형군이다.$안정곡선{\displaystyle {\stackrel{}{\mathfrak{}}}_{}}$ M${\displaystyle {\stackrel{}{}g}_{}}$ g \ $displaystyle$\ $displaystyle$ \$mathfrak${$M }$_ { g } _ { g ${\displaystyle \}}$$g$ 2$속{\displaystyle }$ 안정곡선의 동형 클래스 집합인 M g$$g \ $displaystyle$\ $mathfrak${$M}$_ { } } _ {$g}$ 은$$ M$$ g \ displaystyle \ $displaystyle$ 을 오픈 서브셋으로 $하는{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ 투영 품종이 된다.${\displaystyle M_{}}$ $（$ $display$ style ） _ $mathfrak${ $M$}$$$_${ $g$ m$$ {\ 、 M$$（ $display$ style $）$에 경계점을 더하여 얻을 ${\displaystyle {수}_{}}$ $있으므로{\displaystyle {\stackrel{}{\mathfrak{}}}_{}}$, $（$ $display$$style$ ） （ $mathfrak$ { M$}$_ { $g$$$） since$$ since since since （ $mathfrak$） ） $since{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ since since {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ $since$ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ （ mathfrak$$${$ M ）의 콤팩트화라고 합니다.$\}.$ 역사적으로 Mumford와^[9] Deligne의 논문은 안정적인 곡선의 개념을 도입하여 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$$$ $2일$ 때 $g(\$$displaystyle${$M}}_{$$g$})는 $축소$할 수 없음을 보여 주었다$.$

곡선의 모듈리는 전형적인 상황을 나타냅니다.좋은 오브젝트의 모듈리는 투영적이지 않고 준투영적인 경향이 있습니다.또 다른 경우는 곡선상의 벡터 다발의 모듈리입니다.여기에서는 매끄러운 완전 $곡선{\displaystyle }$ C$(\displaystyle$ C$)$에 안정적이고 반안정적인 벡터 번들의 개념이 있습니다.특정 $등급{\displaystyle }$n(\$displaystyle$ n$)$ 및$$ $특정{\displaystyle }$ $등급$ d$($번들 결정식의 정도)의 반안정 벡터 번들의 모듈리는 S ${\displaystyle U_{}}$ C$,$$displaystyle$ $SU_{C$$n, d$$)$로 표시되는 투영 변종이며, ${\displaystyle {여기}_{}}$에는 U C$display_c)$가 포함됩니다.$등급{\displaystyle }$n(\^[10]$displaystyle$ n$)$ 및$$ $등급{\displaystyle }$d(\$displaystyle$ d$)$의 안정적인 벡터 번들의 동형성 클래스.라인 번들은 안정적이기 때문에 이러한 모듈리는 야코비안 품종의 C$(\displaystyle$ C$)$를 일반화한 것입니다.

일반적으로 곡선의 모듈리의 경우와는 대조적으로 모듈리의 콤팩트화는 고유할 필요가 없으며, 경우에 따라서는 다른 방법 및 다른 저자에 의해 다른 비등가 콤팩트화가 구축된다.D/Γ{D/\Gamma\displaystyle}, 한정적 대칭 도메인 D{D\displaystyle}의 산술이 분리된 그룹의 Γ D의 기본적인 예/Γ{D/\Gamma\displaystyle}은 .[11]{\displaystyle \Gamma}는 행위로 몫 compactifying의 C{\displaystyle \mathbb{C}에 대한 예}은 문제입니다.wh$en{\displaystyle }$ D ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle H_{}}$g (\$displaystyle$ D =$harpmathfrak {H}}_{g$ Siegel의 위쪽 반공간 및 Sp${\displaystyle }$δ ($2g$, Z) (\$displaystyle$ \$operatorname {Sp}$ ($2g,\mathbb {Z})$와 ${\displaystyle \mathrm{동등}}$한${\displaystyle }$$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ (\displaystyle \Gamma$})$이다$.$$주요{\displaystyle }$ 편광 복소 아벨 다양체 $g$의 $tyle {mathfrak {A}}_{$g$$$}($$주편광$은 이중으로 아벨 품종을 식별함).토릭 품종 이론(또는 토러스 임베딩)은 D${\displaystyle }$/$$(\^[12][13]$display$D/\$Gamma$을 트로이덜 컴팩트화하는 방법을 제공합니다.그러나 D${\displaystyle }$/$$ ( \ $displaystyle$ D / \ $Gamma$ $)$를 $컴팩트화$하는 다른 방법이 있습니다.예를 들어 Baily 및 Borel에 의해 D${\displaystyle }$/$$ ( \ $displaystyle$ D / \ $Gamma )$가 $최소{\displaystyle }$ 컴팩트화되어 있습니다.이것은 모듈러 형태^[14](Siegel, Siegel)에 의해 형성된 등급화된 링과 관련된 투영 품종입니다.콤팩트화의 비고유성은 콤팩트화의 모듈리 해석의 결여에 기인한다.즉, (범주가론적으로) 자연스러운 모듈리 문제를 나타내지 않거나, 정확한 언어로 말하면 안정된 곡선의 모듈리 스택과 유사할 수 있는 자연 모듈리 스택이 존재하지 않는다.

비연인 및 비투영적 예

대수적 다양성은 아핀도 투영도 할 수 없다.예를 들어 X = P¹ × A¹ 및 p: X → A¹ 투영을 예로 들 수 있습니다.그것은 다양성의 산물이기 때문에 대수적인 다양성이다.P는¹ X의 닫힌 하위 변수(p의 0 궤적)이므로 아핀은 아니지만 아핀 품종은 닫힌 하위 변수로서 양의 차원을 투영적으로 다양하게 포함할 수 없습니다.X에 일정하지 않은 정규 함수, 즉 p가 존재하기 때문에 투영적이지도 않다.

비아핀 비투사적 다양성의 또 다른 예는 X = A² - (0, 0)(cf)입니다.품종의 형태론 examples 예)

비예시

C$(\$ $위$에 있는 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$1$(\displaystyle$ \$mathbb${A$}$$^{$$1$})을$$ 고려합니다.${\displaystyle }$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1 $C(\$$displaystyle \mathbb {C} z^{2$}=$1\})$의 ${\displaystyle 원}$의 보완입니다.짝수 대수 집합).${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- $({displaystyle$ z $^{2}-1})$은 z$({$$displaystyle$$$z})$$의 다항식이 $($실제 변수 x${\displaystyle ,}$ $y$의 다항식이긴 하지만).$$ 반면 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 1\mathbb{}}$ $=$ C \$displaystyle \mathbb {A}$= \$mathbb {AFF}$의 원점의 보완은 대수식입니다$($대수).nce $원점$은 z$\displaystyle$z의 제로 로커스입니다.이것은 다음과 같이 설명할 수 있습니다.아핀 라인은 치수 1을 가지기 때문에, 그 이외의 서브 변수에는, 차원이 엄밀하게 작은 것, 즉, 0을 가질 필요가 있습니다.

유사한 이유로 (복소수 위에 있는) 유니터리 그룹은 대수적 다양성이 아닌 반면, 특수 선형 ${\displaystyle {그룹}_{}}$ SL n ${\displaystyle (}$ ($$C ) _ { $display$style \$operatorname {SL}$ _ {$n$$}(\$$mathbb {C}$ )은 ${\displaystyle {GL}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle C\mathbb{}}$) $displaystyle \operatorname {GL}$_ {GL} _ mathbbbb} {GL $}$의 닫힌 하위 변수이다.$playstyle \det$ -1$}$. (단, 다른 베이스 필드에서는 유니터리 그룹에 다양한 구조를 지정할 수 있습니다.)

기본 결과

• 아핀 대수 집합 V는 I(V)가 소수 아이디얼인 경우에만 변종이며, 동등하게 V는 좌표 고리가 적분 ^{[15]: 52 [1]: 4} 영역인 경우에만 변종이다.
• 모든 빈 아핀 대수 집합은 대수적 다양성의 유한 결합으로 독특하게 쓰여질 수 있다(여기서 분해의 어떤 다양성도 다른 ^{[1]: 5} 어떤 하위 다양성도 아니다).
• 다양성의 치수는 다양한 동등한 방법으로 정의할 수 있다.자세한 내용은 대수적 다양성의 차원을 참조하십시오.
• (대수적으로 닫힌 장에 걸쳐) 완전히 많은 대수 변종들의 곱은 대수 변종이다.

대수적 변종의 동형사상

V, V를₂ 대수 변종이라고 하자₁.V와₂ V는 동형이라고 하고₁, 만약 규칙 맵이 있으면 V₂ → V₂, : : V₁₂ → V라고 쓰고₁, 구성 ψ and and and 、 v v v v₁ v maps maps₂ maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps₁ maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps maps : V

토론과 일반화

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위의 기본적인 정의와 사실들은 고전적인 대수기하학을 할 수 있게 해준다.예를 들어 대수적으로 닫히지 않은 필드의 다양성을 다루기 위해서는 몇 가지 근본적인 변경이 필요합니다.다양성에 대한 현대적 개념은 위의 개념보다 훨씬 더 추상적이지만 대수적으로 닫힌 영역에 걸친 다양성의 경우에는 동등하다.추상 대수적 다양성은 특정한 종류의 체계이다; 기하학적 측면에서 체계에 대한 일반화는 위에서 설명한 대응관계를 더 넓은 등급의 링으로 확장할 수 있게 한다.스킴은 모든 점이 로컬 링된 공간으로서 링의 스펙트럼과 동형인 근방을 가지도록 국소 링된 공간이다.기본적으로, k에 대한 다양성은 구조 단층이 k-대수의 다발이며, 위에서 발생한 고리 R은 모두 적분 도메인이며, 모두 최종적으로 생성된 k-대수이다. 즉, 이들은 소수 이상에 의한 다항식 대수의 몫이다.

이 정의는 모든 필드 k에 적용됩니다.이렇게 하면 결과 객체를 투영 공간에 넣을 수 있는지 걱정 없이 일반적인 개방형 집합과 함께 아핀 품종을 접착할 수 있습니다.이는 또한 0이 두 배인 아핀 라인과 같은 다소 병적인 객체를 도입할 수 있기 때문에 어려움으로 이어진다.이러한 오브젝트는 보통 변종으로 간주되지 않고, 다양한 기반이 되는 스킴을 분리하도록 요구함으로써 배제된다(엄밀히 말하면, 상기의 정의에서 아핀 패치가 극히 많이 필요하다는 세 번째 조건도 있다).

일부 현대 연구자들은 또한 통합 영역 아핀 차트를 가진 다양성에 대한 제한을 없애고, 다양성에 대해 언급할 때 아핀 차트에 사소한 0-라디칼만 있으면 된다.

완전한 다양성은 비싱글 곡선의 열린 부분 집합에서 전체 곡선으로 고유하게 확장될 수 있는 다양성입니다.모든 투영된 다양성은 완벽하지만 그 반대도 아닙니다.

이러한 변종들은 Serre의 기초 논문^[16] FAC가 그것들을 위해 쓰여졌기 때문에 "Serre의 의미에서의 다양성"이라고 불려왔다.비록 더 일반적인 오브젝트가 보조적인 방법으로 사용되더라도, 그것들은 대수기하학에서 공부를 시작하기 위한 전형적인 오브젝트로 남아 있다.

일반화로 이어지는 한 가지 방법은 환 R이 적분 도메인이 아닐 수 있도록 축소 가능한 대수 집합(및 대수적으로 닫히지 않은 필드 k)을 허용하는 것입니다.더 중요한 수정은 링 다발, 즉 환원되지 않은 링에 0의 효소를 허용하는 것입니다.이것은 그로텐디크의 체계 이론에 내장된 고전 대수기하학의 몇 가지 일반화 중 하나이다.

링에 0의 소자를 허용하는 것은 대수기하학에서 "승수"를 추적하는 것과 관련이 있습니다.예를 들어, x = 0으로 정의된² 아핀 선의 닫힌 서브헴은 x = 0(원점)으로 정의된 서브헴과 다릅니다.보다 일반적으로는 X 및 Y가 환원되어도 스킴 X → Y의 모피즘 섬유는 비섬유일 수 있다.기하학적으로, 이것은 양호한 매핑의 파이버들이 중요하지 않은 "최소한" 구조를 가질 수 있다는 것을 나타냅니다.

대수적 공간과 스택이라고 불리는 추가적인 일반화가 있다.

대수다양체

대수 다양체는 m차원 다양체이기도 한 대수 다양체이며, 따라서 모든 충분히 작은 국소 패치는 k와^m 동형이다.마찬가지로 품종이 부드럽다(단수점 없음).k가 실수일 때, R, 대수다양체는 내쉬 다양체라고 불린다.대수다양체는 해석적 대수함수의 유한 집합의 영집합으로 정의될 수 있다.사영 대수 다양체는 사영 변종에 대한 동등한 정의이다.리만 구는 하나의 예이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 다양성(동음이의) - 몇 가지 수학적 의미도 나열합니다.
• 대수적 다양성의 함수장
• 이원 기하학
• 아벨 변종
• 동기(대칭 형상)
• 분석적 다양성
• 자리스키-리만 공간
• 반대칭 집합

메모들

레퍼런스

원천

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