형식주의를 해소하다

수학에서 분해된 형식주의는 복잡한 분석에서부터 바나흐 공간과 더 많은 일반 공간에 대한 연산자의 스펙트럼 연구에 개념을 적용하는 기법이다.조작에 대한 형식적 정당성은 홀로모르픽 기능적 미적분학의 틀에서 찾을 수 있다.

분해능은 기능 분석 구조에서 연산자의 스펙트럼 특성을 포착한다.연산자 A가 주어지면 분해자는 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle R(z;A)=(A-zI)^{-11}~.}$

다른 용도들 중에서, 분해자는 비균형 프레드홀름 적분 방정식을 해결하기 위해 사용될 수 있다; 일반적으로 사용되는 접근법은 시리즈 솔루션인 Louville-Neuman 시리즈이다.

A의 분해능은 A의 스펙트럼 분해에 관한 정보를 직접 얻기 위해 사용할 수 있다.예를 들어, λ이 A의 스펙트럼에서 분리된 고유값이라고 가정하자.즉, A의 나머지 스펙트럼에서 λ을 분리하는 복잡한 평면에 단순$$ 폐쇄 곡선 C ${\$이 존재한다고 가정한다.그 다음 잔여물

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}\point _{C_{\lambda }}}(A-zI)^{-1}~dz}$

A의 λeigenspace에 투영 연산자를 규정한다.

힐-요시다 정리는 라플라스 변환을 통한 분해자와 A에 의해 생성된 단일 매개변수 변환 그룹에 대한 적분으로 관련된다.^[1]따라서 예를 들어 A가 은둔자인 경우 U(t) = exp(itA)는 단일 매개변수 연산자의 그룹이다.iA의 분해능은 라플라스 변환으로 표현될 수 있다.

$(\displaystyle R(z;iA)=\int _{0}^{\inful }e^{-zt}U(t)~dt.}$

역사

분해능 연산자를 A(cf)에서 시리즈로 처음 사용한 주요 용도.Liouville-Neumann 시리즈)는 액타 매티매티카에 실린 획기적인 1903년 논문에서 현대 운영자 이론을 확립하는 데 도움을 준 이바르 프레드홀름에 의해 만들어졌다.

그 이름은 데이비드 힐버트에 의해 지어졌다.

디솔루션 아이덴티티

연산자 A의 분해자 집합인 ρ(A)에 있는 모든 z에 대해, 첫 번째 분해자 ID(Hilbert의 ID라고도 함)는 다음을 보유한다.^[2]

$(\displaystyle R(z;A)-R(w;A)=(z-w)R(z;A)R(w;A)\,}$

(Dunford와 Schwartz가 인용한 바와 같이 분해자를 (zI -A)⁻¹로 정의하여 위의 공식은 그들의 공식과 다르게 한다.)

두 번째 분해능 아이덴티티는 위의 첫 번째 분해능 아이덴티티를 일반화하는 것으로, 두 개의 구별되는 연산자의 분해능 비교에 유용하다.동일한 선형 공간에 정의된 연산자 A와 B와 ρ(A) ∩(B)에서 z가 모두 다음과 같은 정체성을 가지고 있다.^[3]

$[\displaystyle R(z;A)-R(z;B)=R(z;A)R(z;B)\,}$

콤팩트 분해능

Hilbert 공간 H에서 폐쇄된 무제한 연산자 A${\displaystyle :}$ H → ${\displaystyle H}$를 연구할 $때{\displaystyle }$,${\displaystyle }$R (${\displaystyle }$${\displaystyle z}$$$; $A$)$$${\$$displaystyle$ $z\in \rho (A)}$이($)$콤팩트 연산자일 때, $우리$는 A가 콤팩트한 분해능을 가지고 있다고 말한다.The spectrum ${\displaystyle \sigma (A)}$ of such A is a discrete subset of ${\displaystyle \mathbb {C} }$. If furthermore A is self-adjoint, then ${\displaystyle \sigma (A)\subset \mathbb {R} }$ and there exists an orthonormal basis ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in \mathbb$고유값이${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$인 A의 고유 벡터 중$$ {${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$$}$${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$\{\$lambda _{i}_{i\in \mathb{N}}}}}}}}}.$또한 {${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$}${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}}$에는 유한축적점이$$ 없다.^[4]

참고 항목

• 분해능 집합
• 스톤이 단변수 단일 집단에 대한 정리
• 홀로모르픽 함수 미적분학
• 스펙트럼 이론
• 콤팩트 연산자
• 라플라스 변환
• 프레드홀름 이론
• 류빌-뉴만 시리즈
• 스펙트럼 분해(기능분석)
• 흡수원리 제한

참조

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1988), Linear Operators, Part I General Theory, Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-60848-3
• Fredholm, Erik I. (1903), "Sur une classe d'equations fonctionnelles" (PDF), Acta Mathematica, 27: 365–390, doi:10.1007/bf02421317
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Functional Analysis and Semi-groups, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1031-6.
• Kato, Tosio (1980), Perturbation Theory for Linear Operators (2nd ed.), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07558-5.
• Taylor, Michael E. (1996), Partial Differential Equations I, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 7-5062-4252-4