스펙트럼 분해(기능분석)

Banach $공간{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$ X$}($기능 분석의 기본 개념)에서$$ 작동하는 선형 $연산자{\displaystyle }$ T {\$displaystyle T}$의 스펙트럼은 $연산자{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ -${\displaystyle }${$$${\$$displaystyle T-\lambda$$$$}$이(가) X ${\displaystystystyle$에 반비례하지 않도록$$$$ $모든{\displaystyle }$ 스칼로 구성된다.$X$ 스펙트럼은 세 부분으로 표준 분해된다.

• $T{\displaystyle }$ ${\$displaystyle T}의$고유값$으로 구성된 점 스펙트럼$;$
• 고유값은 아니지만 $T{\displaystyle }$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda }$의 범위를 공간의 적절한 밀도 하위 집합으로$$ 만드는 스칼라로 구성된 연속 스펙트럼
• 스펙트럼 내 다른 모든 스칼라로 구성된 잔류 스펙트럼

이 분해는 미분방정식의 연구와 관련이 있으며, 이공학의 많은 분야에 응용된다.양자역학에서 잘 알려진 예는 수소 흥분 원자가 방출하는 빛의 이산 스펙트럼 라인과 연속 대역에 대한 설명이다.

점 스펙트럼, 연속 스펙트럼 및 잔류 스펙트럼으로 분해

경계 Banach 공간 연산자의 경우

X를 바나흐 공간으로 하고, B(X)를 경계 연산자로 하고, T를 B(X)로 한다.정의상 복합수 λ은 B(X)에서 역수를 가지지 않으면 T의 스펙트럼으로 is(T)는 T - λ(T)로 표시된다.

T - λ이 일대일 및 그 이상일 경우, 즉, 비주사적이라면, 그 역행은 경계된다. 이는 함수 분석의 개방된 매핑 정리로부터 직접 따른다.따라서, T - λ이 일대일 또는 위에 있지 않은 경우에만 T의 스펙트럼에 is이 있다.하나는 다음과 같은 세 가지 경우를 구분한다.

1. T - λ은 주입이 아니다.즉, X에는 (T - λ)(x) = (T - λ)(y)와 같이 두 개의 고유한 원소가 존재한다.그러면 z = x - y는 T(z) = =z와 같은 0이 아닌 벡터다.즉 λ은 선형대수라는 의미에서 T의 고유값이다.이 경우 λ은 T의 점 스펙트럼에 있다고 하며, ((T_p)로 표시된다.
2. T - λ은 주입식이며 그 범위는 X의 밀집 부분집합 R이지만 X의 전체는 아니다.즉, X에는 (T - λ)(y)가 원하는 만큼 x에 가까울 수 있지만, X에는 y와 같을 수는 없다.이 경우 T - λ은 아래(즉, X의 멀리 떨어져 있는 요소를 너무 가깝게 함께 보내는 것)에 경계가 없다는 것을 증명할 수 있다.동등하게 밀집 부분 집합 R에 정의된 역선형 연산자(T - -)⁻¹는 경계 연산자가 아니므로 X 전체로 확장할 수 없다.그 다음 λ은 T의 연속 스펙트럼인 σ_c(T)에 있다고 한다.
3. T - λ은 주입형이지만 밀도 범위가 없다.즉, X에는 어떤 원소 x가 있고 x의 근린 N이 있어서 (T - λ)(y)는 결코 N에 있지 않다.이 경우 지도(T - λ)⁻¹ x → x는 경계가 있거나 경계가 없는 경우도 있지만, 어떤 경우에도 X의 모든 경계가 있는 선형 지도에 대한 고유한 확장을 인정하지 않는다.그 다음 λ은 T, spectrum(T_r)의 잔류 스펙트럼에 있다고 한다.

그래서 σ(T)은 이 세 세트의 분리합집합이다.

$\displaystyle \sigma(T)=\sigma _{p}(T)\c(T)\c}\c컵 \sigma _{r}(T)}$

바인딩되지 않은 연산자의 경우

무제한 연산자의 스펙트럼은 경계 사례와 같은 방법으로 세 부분으로 나눌 수 있지만, 연산자가 어디에서나 정의되지 않기 때문에 도메인, 역행 등의 정의가 더 많이 관여한다.

예

곱셈 연산자

최종 측정 공간(S, σ, μ)을 지정하면 바나흐 공간 L^p(μ)을 고려한다.함수 h: S → C는 h가 거의 모든 곳에서 μ-alm으로 경계되는 경우 본질적으로 경계라고 불린다.본질적으로 경계 h는 경계 곱셈 연산자 T를_h L(μ)에^p 유도한다.

${\displaystyle(T_{h}f)=h(s)\cdot f(s)}$

T의 연산자 규범은 h의 필수적 우월성이다.h의 필수범위는 다음과 같이 정의된다: 복합수 λ이 h의 필수범위에 있는 경우, 모든 ε > 0에 대해, h 아래의 오픈볼_ε B(λ)의 프리이미지가 엄격히 양의 측정치를 갖는 경우.우선 ((T_h)이 h의 본질적인 범위와 일치한다는 것을 보여준 후 그 다양한 부분을 검토한다.

λ이 h의 필수 범위가 아닌 경우 h⁻¹(B_ε)가 0이 되도록 ε > 0을 취한다.함수 g(s) = 1/(h) - λ)는 거의 모든 곳에서 1/3로 경계된다.곱셈 연산자 T는_g T_g · (T_h - λ) = (T_h - λ) · T_g = I를 만족하므로 spectrum은_h T의 스펙트럼에 있지 않다.한편, λ이 h의 필수 범위에 있는 경우, 세트_n {S⁻¹ = h(B_1/n)}의 순서를 고려한다.각각의_n S는 양수치를 가지고 있다.f를_n S의_n 특성 함수가 되게 한다.우리는 직접 계산할 수 있다.

${\displaystyle \ (T_{h}-\lambda )f_{n}\ _{p}^{p}=\ (h-\lambda )f_{n}\ _{p}^{p}=\int _{S_{n}} h-\lambda \; ^{p}d\mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}\;\mu (S_{n})={\frac {1}{n^{p}}}\ f_{n}\ _{p}^{p}.}$

이것은_h T - λ이 아래 경계로 되어 있지 않음을 보여준다. 따라서 변위가 불가능하지 않음을 보여준다.

만일 μ(h⁻¹({λ})가 0보다 큰 경우, then은 다음과 같이 T의_h 점 스펙트럼에 위치한다.f를 측정 가능한 set h⁻¹(λ)의 특성 함수로 하고, 그 다음, 두 가지 경우를 고려함으로써, 우리는 발견한다.

${\displaystyle \forall s,\;(T_{h}f)=\lambda f,}$

그래서 λ은 T의_h 고유값이다.

양성 측정 프리이미지를 가지지 않은 h의 필수 범위에서 λ은 T의_h 연속 스펙트럼에 있다.이를 보여주기 위해서는 T_h - λ의 범위가 촘촘하다는 것을 보여줘야 한다.f ∈ L^p(μ)을 주어진 경우, 다시 세트 {S_n = h⁻¹(B_1/n)}의 순서를 고려한다.g를_n S - S의_n 특성 함수로 한다. 정의

${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{h-\cdda }}\cdot g_{n}s.}$

직접 계산에 따르면 f_n ∈ L^p(μ)이 $\Vert {\displaystyle }$ f ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n}$ ≤ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ n\$f\ _{p}}$인 것으로 나타난다$.$그리고 지배적인 수렴청정에 의해

${\displaystyle(T_{h}-\lambda )f_{n}\오른쪽 화살표 f}$

L^p(μ)의 표준으로

따라서 곱셈 연산자는 잔류 스펙트럼이 없다.특히 스펙트럼 정리에 의해 힐버트 공간의 정상 연산자는 잔류 스펙트럼이 없다.

교대조

S가 자연수의 집합이고 μ가 계수 측정값인 특별한 경우, 해당 L^p(μ)은 l로^p 표시된다.이 공간은 다음과 같은 복잡한 값진 시퀀스 {x_n}로 구성된다.

${\displaystyle \sum _{n\geq 0} x_{n} ^{p}<\infuly .}$

1 < p < ∞에 대하여, l은 반사적이다.좌측 시프트 T : l → l by

${\displaystyle T(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\dots )=(x_{dots )=(x_{3},x_{4},\dots).}$

T는 연산자 규범 1을 갖는 부분 등사계법이다.그래서 σ(T)은 복합평면의 닫힌 단위 원반에 놓여 있다.

T*는 오른쪽 시프트(또는 일방적인 시프트)로, 여기서 1/p + 1/q = 1:

${\displaystyle T^{*}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots).}$

λ < 1이 있는 λ C의 경우,

${\displaystyle x=(1,\displaystyle x=1,\boda ,\bodda ^{2},\body )\in l^{p}}$

그리고 T x = λ x. 따라서 T의 포인트 스펙트럼은 오픈 유닛 디스크를 포함한다.현재 T*에는 고유값이 없다. 즉, σ_p(T*)은 비어 있다.따라서 반사율과 위에 주어진 정리(저 σ_pr(T) ⊂(T*) ∪(T*) ∪(T*) ∪(T*) ∪(T*)를 호출하면 오픈 유닛_p 디스크가 T*의 잔류 스펙트럼에 있다고 추론할 수 있다.

경계 연산자의 스펙트럼은 닫히는데, 이는 단위 원 { 1 = 1 ⊂ } C가 ((T)에 있음을 의미한다.다시 l의 반사성과 위에 주어진 정리(이번에, 저_r ((T_p) ((T*)에 의해 우리는 σ_r(T)도 비어 있다는 것을 알게 된다.따라서 단위 규범이 있는 복합수 λ의 경우 λ σ_p(T) 또는 λ σ_c(T)가 있어야 한다.이제 λ = 1이면

${\displaystyle Tx=\lambda x,\qquad i.\(x_{2},x_{3},x_{4},\dots )=\lambda(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ),}$

그때

${\displaystyle x=x_{1}(1,\data ,\data ^{2},\data.),}$

그것은 모순일 수 없다.이는 단위 원이 T의 연속 스펙트럼 안에 있어야 함을 의미한다.

따라서 좌회전 T의 경우 σ_p(T)은 오픈 유닛 디스크, σ_c(T)는 유닛 서클인 반면, 우측 변속 T*의 경우 σ_r(T*)은 오픈 유닛 디스크, σ_c(T*)은 유닛 서클이다.

p = 1의 경우 유사한 분석을 수행할 수 있다.반사율이 더 이상 유지되지 않기 때문에 결과는 정확히 동일하지 않을 것이다.

힐베르트 공간의 자칭 연산자

힐버트 공간은 바나흐 공간이기 때문에 위의 논의는 힐버트 공간의 경계 운영자들에게도 적용된다.미묘한 점은 T*의 스펙트럼에 관한 것이다.바나흐 공간의 경우 T*는 전치 및 σ(T*) = σ(T)를 나타낸다.Hilbert 공간의 경우, T*는 일반적으로 교환원 T ( B(H)의 부선을 나타내며, 전치물이 아니며, σ(T*)은 복잡한 결합 하에서 그 이미지다.

자가 승인 T ∈ B(H)의 경우, 보렐 기능 미적분은 스펙트럼을 자연 분해할 수 있는 추가적인 방법을 제공한다.

보렐 함수 미적분학

이 항은 이 미적분학의 발전을 간략히 요약한다.아이디어는 우선 연속 기능 미적분학을 확립한 후 리에츠-마코프 표현 정리를 통해 측정 가능한 함수로 전달하는 것이다.연속 기능성 미적분학의 주요 성분은 다음과 같다.

1. T가 자가합격인 경우, 모든 다항식 P에 대해 연산자 규범을 만족한다.

$\displaystyle \ P(T)\\sup _{\lambda \in \sigma(T)}P(\lambda ) .}$

2. (복잡한 계수를 가진) 다항식 계열이 ((T)에 밀집되어 있음을 암시하는 스톤-바이어스트라스 정리(Stone-Weierstrass organism)는 σ(T)에 대한 연속 함수인 C(()에 밀도가 있다.

가족 C(C)는 균일한 규범이 부여된 경우 바나흐 대수다.그래서 그 지도는

$P(T)}$

C(σ)의 밀집된 부분 집합에서 B(H)까지의 등축 동형성이다.연속성에 의해 매핑을 확장하면 f ∈ C(t)에 대해 f(T)가 제공된다_nn. P → f가 균일하게 되도록 P를 다항식으로 하고 f(T) = im P_n(T)를 정의한다.이것은 연속적인 기능적 미적분학이다.

고정 h ∈ H의 경우, 우리는 다음과 같은 것을 알아차린다.

$\displaystyle f\rightarrow \langle h,f(T)h\rangle }$

C(continu(T)에 대한 양의 선형 함수.z(T)에 다음과 같은 독특한 측정 μ가_h 존재한다는 리에츠-마코프 표현 정리에 따르면,

$\displaystyle \int _{\sigma (T)}f\,d\mu _{h}=\langle h,f(T)h\angle .}$

이 측정치를 h와 연관된 스펙트럼 측정이라고 부르기도 한다.스펙트럼 측정은 연속 기능 미적분을 경계 보렐 함수로 확장하는 데 사용할 수 있다.보렐을 측정할 수 있는 경계 함수 g의 경우, 제안된 g(T)에 대해 정의하십시오.

$\displaystyle \int _{\sigma (T)}g\,d\mu _{h}=\langle h,g(T)h\rangle .}$

양극화 정체성을 통해 회복할 수 있다(H가 복잡하다고 가정되기 때문에)

$\displaystyle \langle k,g(T)h\angle .}$

따라서 임의 h의 경우 g(T) h.

현재의 맥락에서 스펙트럼 측정은 측정 이론의 결과와 결합하여 σ(T)의 분해 결과를 제공한다.

절대 연속형, 단수 연속형, 순수 점으로 분해

h ( H와 μ를_h on(T) ⊂ R에 해당하는 스펙트럼 측정으로 한다. 르베그 분해 정리의 미세화에 따르면 μ는_h 다음과 같이 서로 단수인 세 부분으로 분해될 수 있다.

${\displaystyle \,\mu_{h}=\mu_{\mathrm {ac}+\mu_{\mathrm {sc}+\mu_{\mathrm {pp}}}}}}}}$

여기서 μ는_ac 르베그 측정에 대해 절대적으로 연속적이며, μ는_sc 르베그 측정에 대해 단수이며, μ는_pp 순수 포인트 측정에 해당한다.^[1]

세 가지 유형의 측정은 모두 선형 연산 하에서 불변한다.H는_ac Lebesgue 측정과 관련하여 스펙트럼 측정이 절대적으로 연속적인 벡터로 구성된 하위 공간이 되도록 한다.유사한_pp 방식으로 H와_sc H를 정의하십시오.이 서브 스페이스들은 T에 따라 불변한다.예를 들어 h h H와_ac k = T h. χ(T)에 설정된 일부 보렐의 특성 함수가 되도록 한다.

${\displaystyle \langle k,\chi (T)k\rangle =\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\cdot \lambda ^{2}d\mu _{h}(\lambda )=\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\;d\mu _{k}(\lambda ).}$

그렇게

${\displaystyle \lambda ^{2}d\mu _{h}=d\mu _{k}\,}$

그리고 k ∈ H_ac. 나아가 스펙트럼 정리를 적용하면

${\displaystyle H=H_{\mathrm {ac} }\oplus H_{\mathrm {sc} }\oplus H_{\mathrm {pp}}}$

이를 통해 다음과 같은 정의가 도출된다.

1. H로_ac 제한된 T의 스펙트럼을 T, continuous(T_ac)의 절대 연속 스펙트럼이라고 한다.
2. H로_sc 제한된 T의 스펙트럼을 그 단수 스펙트럼인 σ_sc(T)이라고 한다.
3. T의 고유값 집합을 T의 순수점 스펙트럼이라고 한다_pp.

고유값의 폐쇄는 H로_pp 제한된 T의 스펙트럼이다. 그래서

${\displaystyle \sigma(T)=\sigma _{\mathrm {ac}}(T)\cup \\mathrm {sc}}}(T)\cup{\bar {\sigma }}{\mathrmatrm {pp}}}}}}}}}}}}}}$

비교

힐베르트 공간의 경계된 자기 적응 연산자는 Fortiori, Banach 공간의 경계 연산자다.따라서 Banach 공간의 경계 연산자에 대해 위에서 달성한 스펙트럼의 분해도 T에 적용할 수 있다.바나흐 공간 제형과 달리 ^{[clarification needed]}유니언은

${\displaystyle \sigma(T)={{\bar {\sigma}}}{\mathrm {pp}}}\cup \sigma _{\mathrm {ac}\c}}컵 \cup \sigma _{\mathrmathrmatma}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

분리할 필요가 없다연산자 T가 균일한 다중성, 즉 m, 즉 T가 λ에 의한 곱셈과 단위적으로 동등한 경우, 직계합이다.

${\displaystyle \oplus _{i=1}^{m}L^{2}(\mathb {R},\mu _{i})}$

일부 보렐 측정 ${\$ 위의 식에 둘 이상의 측정치가 나타나면 세 가지 유형의 스펙트럼의 결합이 분리되지 않는 것이 가능하다는 것을 알 수 있다.만약 λ ∈ σ_ac(T) ∩ σ_pp(T)이 ∩인 경우 (은 절대 연속 스펙트럼에 내재된 고유값이라고 부르기도 한다.

T가 λ에 의한 곱셈과 단위가 같을 때

${\displaystyle L^{2}(\mathb {R},\mu )}$

보렐 함수 미적분학에서 ((T)의 분해는 바나흐 우주 케이스를 정교하게 한 것이다.

물리학

리에츠-마코프가 지역적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간을 보유하고 있기 때문에 앞의 코멘트는 한이 없는 자체 승인 연산자로 확장될 수 있다.

양자역학에서 관측 가능성은 종종 경계가 없는 자가 적응 연산자이며, 이들의 스펙트럼은 측정의 가능한 결과물이다.관측 가능한 물리적 연속 스펙트럼은 시스템의 자유 상태에 해당하는 반면 순수 지점 스펙트럼은 한계 상태에 해당한다.단수 스펙트럼은 물리적으로 불가능한 결과에 해당한다.순수하게 연속 스펙트럼을 갖는 양자역학적 관측 가능성의 예는 선상에서 움직이는 자유 입자의 위치 연산자다.그것의 스펙트럼은 전체 실선이다.또한 모멘텀 오퍼레이터는 위치 오퍼레이터와 단위적으로 동일하므로 푸리에 변환을 통해 동일한 스펙트럼을 갖는다.

직관은 스펙트럼의 불완전성이 해당 상태가 "지역화"되는 것과 밀접하게 관련이 있다고 말하도록 유도할 수 있다.그러나 신중한 수학적 분석은 이것이 사실이 아님을 보여준다.다음 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ L$^{2}(\mathb {R})}$의 요소로서 $x{\displaystyle }$ →${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle x\to \infty }($으)로 증가한다$.$

${\displaystyle f(x)={\displaystyle f(x)={\case}n&{\text{}}{{n+{\frac {1}{1}{n^{4}\right]\0&{\text{\text{property}.}}}\end{case}}$

그러나 앤더슨 국산화 및 역동적인 국산화 현상은 고유 기능이 물리적 의미에서 국산화되는 경우를 설명한다.앤더슨 로컬리제이션(Anderson Localization)은 고유 $기능$이 x ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}${\$displaystyle x$\to $\infit }$에 따라 기하급수적으로 쇠퇴한다는 것을 의미한다$.$ 역동적인 로컬리제이션은 정의하기 더 미묘하다.

때로는 물리 양자역학 계산을 수행할 때 L²(R)에 있지 않은 '유전 벡터', 즉 국부적이지 않은 파동 함수와 마주치게 된다.이것들은 그 시스템의 자유로운 상태들이다.위에서 설명한 바와 같이 수학적 공식에서 자유 상태는 절대 연속 스펙트럼에 해당한다.또는 고유 벡터와 고유값의 개념이 엄격한 힐버트 공간에 대한 통로를 살아남는다고 주장할 경우, 조작한 힐버트 공간에 대한 운영자를 고려할 수 있다.

한동안 단수 스펙트럼은 인위적인 것이라고 믿어졌다.그러나 거의 마티외 연산자와 무작위 슈뢰딩거 연산자가 보여주었듯이 모든 유형의 스펙트럼은 물리학에서 자연적으로 발생한다는 것을 예시한다.

필수 스펙트럼 및 이산 스펙트럼으로의 분해

$A{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle$ A$:\,X\to$ X$}$을(를) X로 조밀한$$ $D{\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(A)\subset X}$ 도메인에서 정의된 폐쇄 연산자로 한다$$.그리고 나서 A의 스펙트럼이 분리된 결합으로 분해되고,

${\displaystyle \sigma (A)=\sigma _{\mathrm {ess},5}(A)\sq컵 \sigma _{\mathrm {d}}(A),}$

어디에

1. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$ is the fifth type of the essential spectrum of A (if A is a self-adjoint operator, then ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A)=\sigma _{\mathrm {ess} }(A)}$ for all ${\displaystyle 1\leq k\leq 5}$);
2. ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A$)}}}}(A$)$은 A의 이산 스펙트럼으로$$, 해당 Riesz 프로젝터의 등급이 유한한$$ $\sigma {\displaystyle }$ (${\displaystyle A}$)${\displaysty \sigma (A)}$의 고립된 지점에 대한 정상 고유값 또는 동등하게 구성된다.

참고 항목

• 고유값 집합인 점 스펙트럼.
• 필수 스펙트럼, 연산자 모듈로 콤팩트한 섭동의 스펙트럼.
• 정상 고유값 집합인 이산 스펙트럼(수학)
• 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
• 스펙트럼(기능분석)

참조

• N. 던포드 앤 J.T.슈워츠, 선형 연산자, 제1부: 일반 이론, 1958년.
• M. 리드와 B.사이먼, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1972.