흡수원리 제한

수학에서 제한 흡수 원리(LAP)는 연산자 이론과 산란 이론의 개념으로, 필수 스펙트럼에 가까운 분해자의 행동에 기초하여 필수 스펙트럼에서 선형 연산자의 "정확한" 분해자를 선택하는 것으로 구성된다.이 용어는 원래 공간($일반적$으로 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 공간$$)이 아닌 특정 가중 공간(일반적으로 $L{\displaystyle {}_{}^{}}$ s ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 이하 참조)에서 분해능이 필수 스펙트럼에 근접함에 따라 한계가 있음을 나타내기 위해 자주 사용된다.이 개념은 특정 솔루션 선택을 위한$$ 헬름홀츠 방정식$({\displaystyle \Delta }$+ k ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle u}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- F${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle (\Delta +k^{2}u(x)=-F(x)})$에 복잡한 파라미터를 도입하자는 발상에서 발전되었다.이러한 생각은 전선에 있는 전자파의 전파와 흡수를 고려하고 있던 블라디미르 이그나토프스키에게 기인한다.^[1]소머펠트 방사선 조건 및 제한 진폭 원리(1948)와 밀접한 관련이 있다.용어 - 제한 흡수 원리와 제한 진폭 원리는 모두 알렉세이 스브슈니코프가 도입했다.^[2]

공식화

우측이 0이 아닌 Helmholz 방정식에 대한 솔루션을 찾는 방법

${\displaystyle \Delta v(x)+k^{2}v(x)=-F(x),\quad x\in \mathb {R}^{3}}}$

된 k> ${\displaystyle k>0}$이가) 나가는 파동에 해당하며, 한도를^[2][3] 고려한다.

${\displaystyle v(x)=-\lim _{\epsilon \to +0}(\Delta +k^{2}-i\epsilon )^{-1}F(x)}$

흡수와의 관계는 $E{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$, x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= A ${\displaystyle e^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$+ ${\displaystyle {\varkappa }^{}}$ $){\$라는 표현으로 추적할 수 있다.$Ae^{i(\omega t+\varkappa x)}}$ for the electric field used by Ignatowsky: the absorption corresponds to nonzero imaginary part of ${\displaystyle \varkappa }$, and the equation satisfied by ${\displaystyle E(t,x)}$ is given by the Helmholtz equation (or reduced wave equation) ${\displaystyle (\mathrm{\Delta }+{\varkappa }^2/{\omega }^2)E(t,x)=}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle(\Delta +\varkappa ^{2}/\omega ^{2}E(t,x)=0$

${\displaystyle \varkappa ^{2}={\frac {\mu \varepsilon \omega ^{c^{2}}-i4\pi \ma \mu \omega}}$

음의 가상 부분($따라서{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {thus\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle \Omega {}^{}}$ 2 ${\$ 더 이상$$${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle -\Delta }$의 스펙트럼에 속하지$$ 않음).위의 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$}은$($는) 자기 투과성, $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$은(는) 전기 전도성, , ${\displaysty \varepsilon$ }은$($는) 유전 상수, c ${\displaysty$ c$}$은 진공 광속이다.^[1]

제한 진폭 원리에 대한 예 및 관계

One can consider the Laplace operator in one dimension, which is an unbounded operator ${\displaystyle A=-\partial _{x}^{2},}$ acting in ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ and defined on the domain ${\displaystyle D(A)=$$H^{2}(\mathb {R} ),$ Sobollev 공간$.$$그{\displaystyle }$ 분해능 R${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$- ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle I{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ R$(z)=(A-zI)^{-1$ 방정식을 보면.

${\displaystyle (-\partial _{x}^{2}-z)u(x)=F(x),\quad x\in \mathbb {R} ,\quad F\in L^{2}(\mathbb {R} )}$,

then, for the spectral parameter ${\displaystyle z}$ from the resolvent set ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus [0,+\infty )}$, the solution ${\displaystyle u\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ is given by ${\displaystyle u(x)=(R(z)F)($$x)=(G(\cdot ,z)*F)(x),}$${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 G${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \cdot }$,${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle \ast }$ F ${\displaystyle$ G$(\cdot ,z)**$$F}$은(는) 기본 해법 G:와(와)의 F의 경합이다.

${\displaystyle (G(\cdot ,z)*F)=\int _{\mathb {R}}G(x-y;z)F(y)\,dy,}$

에 의해 근본적인 해결책이 제시되는 곳

${\displaystyle G(x;z)={\frac {1}{2{\\sqrt{-z}e^{- x {\sqrt{-z}}},\quad z\in \mathb {C} \setminus [0,+\flothy].}$

To obtain an operator bounded in ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$, one needs to use the branch of the square root which has positive real part (which decays for large absolute value of x), so that the convolution of G with ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ makes sense.

One can also consider the limit of the fundamental solution ${\displaystyle G(x;z)}$ as ${\displaystyle z}$ approaches the spectrum of ${\displaystyle -\partial _{x}^{2}}$, given by ${\displaystyle \sigma (-\partial _{x}^{2})=[0,+\infty )}$. Assume that ${\$Displaystyle z}, 몇몇 k>,. z{z\displaystyle}접근 방식}은 복잡한 평면의(ℑ(z)을 위에서 2{\displaystyle k^{2}k에 따라;0{\displaystyle \Im(z)>0})또는(ℑ(z)<아래에서;0{\displays k2{\displaystyle k^{2}}0{\displaystyle k>0}를 찾아갑니다.tyle \Im(z)<0}) of the real axis, there will be two different limiting expressions: ${\displaystyle G_{+}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}+i\varepsilon )=-{\frac {1}{2ik}}e^{i x k}}$ when ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ approaches ${\displaystyle k^{2}\in (0,+\infty )}$ from above and ${\displaystyle G_{-}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}-i\varepsilon )={\frac {1}{2ik}}e^{-i x k}}$ when ${\displaystyle z}$ appr${\displaystyle \mathrm{오아시스}}$ $k{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( 0${\displaystyle }$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle$ k$^{2}\in (0,+\fty )}.$The resolvent ${\displaystyle R_{+}(k^{2})}$ (convolution with ${\displaystyle G_{+}(x;k^{2})}$) corresponds to outgoing waves of the inhomogeneous Helmholtz equation ${\displaystyle (-\partial _{x}^{2}-k^{2})u(x)=F(x)}$, while ${\displaystyle R_{-}(}$${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle R_{-}(k^{2})}$은(는) 들어오는 파동에 해당한다$$.이는 제한 진폭 원리와 직결된다: 나가는 파동에 해당하는 솔루션을 찾기 위해 이질파 방정식을 고려한다.

${\displaystyle(\partial _{t}^-\partial _{2}-{x}^{2})\psi(t,x)=F(x)e^{-ikt},\quad t\geq 0,\quad x\in \mathb {R},}}}$

with zero initial data ${\displaystyle \psi (0,x)=0,\,\partial _{t}\psi (t,x) _{t=0}=0}$. A particular solution to the inhomogeneous Helmholtz equation corresponding to outgoing waves is obtained as the limit of ${\displaystyle \psi (t,x)e^{ikt}}$ for large시기의^[3]

가중 공간에서의 추정치

Let ${\displaystyle A:\,X\to X}$ be a linear operator in a Banach space ${\displaystyle X}$, defined on the domain ${\displaystyle D(A)\subset X}$. For the values of the spectral parameter from the resolvent set of the operator, ${\displaystyle z\in \rho (A)\subset \mathbb {C} }$, the resolvent ${\displaystyle R(z)=(A-zI)^{-1}}$ is bounded when considered as a linear operator acting from ${\displaystyle X}$ to itself, ${\displaystyle R(z):\,X\to X}$, but its bound depends on the spectral parameter ${\displaystyle z}$ and tends to infinity as ${\$$displaystyle z}$이(가) 연산자의$$ 스펙트럼에 접근한다${\displaystyle .}$$\sigma {\displaystyle (가)}$ = C${\displaystyle \mathrm{display}}$(${\displaystyle 가}$) = $\displaystyle \sigma(가)=\mathb {C} \setminus \rho(가)}$ 더 정확히 말하면 관계가 있다.

${\displaystyle \Vert R(z)\vert \geq {\frac {1}{\operatorname {dist}(z,\sigma(A)}}}}}},\qquad z\in \rho(A).}$

많은 과학자들은 특정 측정 시스템 A의 분해체 ${\displaystyle R}$( z$){\displaystyle R(z)}$이(가) 특정 가중 공간에서 작용한다고 간주될 때 스펙트럼 파라미터 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$이(가) 필수 spe에 근접함에$$ 따라 한계(및/또는 균일하게 경계)를 가지고 있다고 말하고 싶을 때 "제한 흡수 원리"를 언급한다.ctrum, ${\displaystyle \sigma _{ess}(A)}$. For instance, in the above example of the Laplace operator in one dimension, ${\displaystyle A=-\partial _{x}^{2}:\,L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )}$, defined on the domain ${\dis$$플레이 스타일 D(A)=$로 L2{\displaystyle L^{2}에서 사업자}그것에 H^ᆭ(\mathbb{R})}, z>;0{\displaystyle z>0}, 운영자}G()−는 y, z){\displaystyle G_{\pm}(x-y, z)도±를 건전한 알맹이들이}나는 2{\displaystyle L^{2}에}경계를(즉(z){\displaystyle R_{\pm}(z)도±R.자아),그러나 연산자로 간주될 경우 둘 다 균일하게 경계될 것이다.

${\displaystyle R_{\pm }(z):\;L_{s}^{2}(\mathb {R} )\to L_{-s}^{2}(\mathb {R}),\quad s>1/2,\quad z\in \c}\mathb {C} \setminus [0,+\fort ]),\quad zgeq \delta ,}$

> 0 ${\displaystyle \cHB >0}$을(를) 사용하여공간 $L{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle L_{s}^{2}(\mathb {R}$)는$$ L ${\displaystyle s_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}}$$-norm$$,

${\displaystyle \Vert \{L_{s}^{2}(\mathb {R})^{2}=\int_{\mathb {R}{{}}}}{\mathb {R}{}}}{}}}}^{s} u(x) ^{2}\,dx,}$

유한하다.^[4][5]

참고 항목

• 소머펠트 방사선 조건
• 진폭 제한 원리

참조