a b a 1 )의 투영 및 a b a 2 )의 거부.90° < θ 180° 일 때 a 1 b 벡터 a 벡터 b 투영 은 때때로 proj b a displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}}}}( b 벡터 성분 또는 벡터 분해능이라고도 함)를 b에 평행한 직선상 에 직교 투영 이다. b
a 1 = a 1 b ^ {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat{b}}}} 여기서 1 {\ displaystyle a_{1 b 대한 스칼라 투영 이라고 하는 스칼라이고, b̂ 방향 단위 벡터 다.
차례로 스칼라 투영법은 다음과 같이 정의된다.[1]
a 1 = ‖ a ‖ cas θ = a ⋅ b ^ {\displaystyle a_{1}=\left\\mathbf {a} \right\\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\b}}}} 여기서 연산자 ⋅ 는 도트 제품 을 나타내며, aa ‖은 a의 길이 , θ a 각도 를 나타낸다.
결국 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.
a 1 = ( a ⋅ b ^ ) b ^ = a ⋅ b ‖ b ‖ b ‖ b ‖ = a ⋅ b ‖ b ‖ 2 b = a ⋅ b b ⋅ b b . {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\ \mathbf {b} \right\ }}{\frac {\mathbf {b} }{\left\ \mathbf {b} \right\ }}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\ \mathbf {b} \right\ ^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} } {\mathbf {b} \cdot \mathbf {b}}}}{\mathbf {b}~}
스칼라 투영은 벡터 투영의 길이와 같으며 투영의 방향이 b b 수직 b a 벡터 거부 (표시된 오프로이 \ displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} mathbf {a} 하며 [2] a 가 b에서 직교하는 직교 투영이다. 벡터 a a 1 기각 a 2 모두 벡터로서, 그 합은 a 2 a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} \mathbf { } _{ }
표기법 일반적으로 벡터 투영은 굵은 글꼴(예: a 1 예 1 : a)로 표시된다. 특히 필체에서는 문자 위나 아래에 있는 분음 부호를 사용하여 벡터 투영법을 나타내는 경우도 있다(예: a 1 {\ displaystyle {\vec{a}_{ 또는 1 a). a b 각각 ∥b a ⊥b a로 나타내기도 한다.
각도 θ 에 근거한 정의 스칼라 투영법 a
a 1 = ‖ a ‖ cas θ , {\displaystyle a_{1}=\left\\mathbf {a} \right\ \cos \theta ,} 여기서 θ 은 a b
스칼라 투영은 해당 벡터 투영을 계산하는 스케일 계수로 사용할 수 있다.
벡터 투영법 a b b on b 즉, 다음과 같이 정의된다.
a 1 = a 1 b ^ = ( ‖ a ‖ cas θ ) b ^ {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\b} =(\좌측\\mathbf {a}\cos \theta )\mathbf {\b}}}}}}} 여기서 1 {\ displaystyle a_{1 b^ {\ displaystyle \mathbf {\hat{b}}}}} 와 단위 벡터 다 b ^ = b ‖ b ‖ {\displaystyle \mathbf {\b} ={\frac {\mathbf {b}{\\왼쪽\\\mathbf {b} \right\}}}}}}
벡터 거부 정의상 a on b
a 2 = a − a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}
그러므로,
a 2 = a − ( ‖ a ‖ cas θ ) b ^ {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\좌측(\왼쪽\\\mathbf {a}\우측\cos \theta \우측)\mathbf {\hat{b}}}}}}}}}
a 및 b에 대한 정의 θ 을 알 수 없을 때, θ 의 코사인(cosine)은 a b 관점 에서 도트 제품 a b
a ⋅ b ‖ a ‖ ‖ b ‖ = cas θ {\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}{}}{\\reft\ \mathbf {a} \rift\\ \mathbf {b} \right\}}=\cos \tta }
스칼라 투영법 위에서 언급한 도트 제품의 속성에 의해 스칼라 투영의 정의는 다음과 같이 된다.[1]
a 1 = ‖ a ‖ cas θ = ‖ a ‖ a ⋅ b ‖ a ‖ ‖ b ‖ = a ⋅ b ‖ b ‖ . {\displaystyle a_{1}=\left\ \mathbf {a} \right\ \cos \theta =\left\ \mathbf {a} \right\ {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\ \mathbf {a} \right\ \left\ \mathbf {b} \right\ }}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\ \mathbf {b} \right\ }}. }
2차원에서 이것은
a 1 = a x b x + a y b y ‖ b ‖ . {\displaystyle a_{1}={\frac {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}}\mathbf {b} _{y}}}{y}}}{\ref}\mathbf {b} \오른쪽\}}}}}}}}}}}}}}}}}}. }
벡터 투영법 마찬가지로 b
a 1 = a 1 b ^ = a ⋅ b ‖ b ‖ b ‖ b ‖ , {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\ \mathbf {b} \right\ }}{\frac {\mathbf {b} }{\left\ \mathbf {b} \right\ }},} [1] a 1 = ( a ⋅ b ^ ) b ^ , {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a}\cdot \mathbf {\b}\오른쪽)\mathbf {\hat{b},} 또는[3] a 1 = a ⋅ b ‖ b ‖ 2 b = a ⋅ b b ⋅ b b . {\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\ \mathbf {b} \right\ ^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}
스칼라 거부 2차원, 스칼라 반응은 onto b⊥의 돌출부)(− b는 yb)){\displaystyle \mathbf{b}^{\perp}={\begin{pmatrix}-\mathbf{b}_{y}&, \mathbf{b}_{)}\end{pmatrix}}}은 b)(b)by){\displaystyle \mathbf{b}={\begin{pmatrix}\ 해당합니다.수학 bf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}} 그러므로,
a 2 = ‖ a ‖ 죄를 짓다 θ = a ⋅ b ⊥ ‖ b ‖ = a y b x − a x b y ‖ b ‖ . {\displaystyle a_{2}=\left\ \mathbf {a} \right\ \sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\ \mathbf {b} \right\ }}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\ \mathbf {b} \right\ }}. }
이런 도트 제품을 '퍼프 도트 제품'[4]
벡터 거부 정의상,
a 2 = a − a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}
그러므로,
a 2 = a − a ⋅ b b ⋅ b b . {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {b} \cdot \mathbf {b}{}{\mathbf {b}{}}{\mathbf {b}}}}}}}}}}}}}}}}
특성. 이 θ ° 90°인 경우, a b의 스칼라 투영은 벡터 투영 의 길이와 일치한다.스칼라 투영법 스칼라 투영 a b 90도 < θ 180도 >일 경우 음의 기호가 있는 스칼라이다. 각도가 90°보다 작을 경우 벡터 투영의 길이 ‖c ‖ 과 일치한다. 더 정확히 말하자면:
a 1 ‖a 1 ‖ 0° ≤ θ 90° 인 경우,a1 = 90° < θ 180 °일 경우 - ° a 1 ‖.벡터 투영법 a b b a 1 . 더 정확히 말하자면:
a 1 0 θ 90° 일 경우),a 1 b 0° ≤ θ < 90° 인 경우 방향이 같다.a 1 b 90° < θ 180° 인 경우 반대 방향을 가지고 있다.벡터 거부 a b b a 2 . 더 정확히 말하자면:
a 2 0 if 0° 또는 θ 180° 인 경우),a 2 0 < θ 180° 인 경우 b 행렬 표현 직교 투영은 투영 행렬로 나타낼 수 있다. 벡터를 단위 벡터 a =ax , ay , az )
P a = a a T = [ a x a y a z ] [ a x a y a z ] = [ a x 2 a x a y a x a z a x a y a y 2 a y a z a x a z a y a z a z 2 ] {\displaystyle P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}}
사용하다 벡터 투영은 벡터 공간 베이스 의 Gram-Schmidt 정형화 에서 중요한 연산이다. 분리축 정리 에서도 두 개의 볼록한 모양이 교차하는지를 감지하는 데 사용된다.
일반화 벡터 길이 와 벡터 사이의 각도 에 대한 개념은 어떤 n차원 내부 제품 공간 에 일반화될 수 있기 때문에, 이는 벡터의 직교 투영, 다른 벡터 투영, 그리고 다른 벡터로부터의 벡터 거부 개념에도 적용된다.
내부 제품이 도트 제품과 일치하는 경우도 있다. 서로 일치하지 않을 때마다 투영과 거부의 형식적 정의에서 도트 제품 대신 내부 제품을 사용한다. 3차원 내부 제품 공간 의 경우, 벡터를 다른 것으로 투영하는 개념과 다른 것으로부터의 벡터 거부 개념은 벡터를 평면 으로 투영하는 개념으로 일반화할 수 있다.[5] 평면에 벡터의 투영은 그 평면에 대한 직교 투영 이다. 평면으로부터 벡터의 거부는 그 평면에 직교하는 직선의 직교 투영이다. 둘 다 벡터다. 첫 번째는 평면에 평행하고, 두 번째는 직교다.
주어진 벡터와 평면의 경우 투영과 기각의 합은 원래 벡터와 같다. 마찬가지로 3차원이 넘는 내부 제품 공간의 경우 벡터에 투영하는 개념과 벡터에 대한 거부 개념은 하이퍼플레인 투영 개념으로 일반화할 수 있다. 기하 대수학 에서, 그것들은 어떤 반전 가능한 k-blade에 대한 일반적인 다중 지시자의 투영과 거부 의 개념에 더 일반화될 수 있다.
참고 항목 참조 외부 링크
1 a). 
. 
