그람-슈미트 공정

Gram-Schmidt 프로세스의 처음 두 단계

수학, 특히 선형대수학 및 수치해석학에서 Gram-Schmidt 프로세스는 내부 제품 공간에서 벡터 세트를 정형화하는 방법이며, 가장 일반적으로 표준 내부 제품을 장착한 유클리드 공간 Rⁿ. Gram-Schmidt 프로세스는 k ≤n에 대해 벡터 S = {v₁, ..., v_k}의 유한하고 선형적으로 독립된 집합을 취하며, R과ⁿ 동일한 k-차원 하위 공간을 차지하는 직교 집합 S′ = {u₁, ...u_k}을 생성한다.

이 방법은 요르겐 페데르센 그람과 에르하르트 슈미트의 이름을 따 붙여진 것이지만 피에르 시몬 라플레이스는 그람과 슈미트 이전에 이 방법을 잘 알고 있었다.^[1] 리 집단 분해설에서는 이와사와 분해에 의해 일반화된다.

Gram-Schmidt 공정을 전체 열 순위 매트릭스의 열 벡터에 적용하면 QR 분해(직교 및 삼각 행렬로 분해됨)가 발생한다.

그람-슈미트 과정

수정된 Gram-Schmidt 프로세스는 R에³ 대한 기초의 세 개의 직교 벡터에 대해 수행된다. 자세한 내용을 보려면 이미지를 클릭하십시오. 수정은 이 글의 수치 안정성 섹션에서 설명된다.

우리는 투영 연산자를 정의한다.

$${\displaystyle \mathbname {proj} _{\mathbf {u}(\mathbf {v} )={\frac {\langle \mathbf {u},\mathbf {v}{\langle \mathbf {u}}}}{\mathbf {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$$

여기서 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle u\mathbf{}}$, ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle$\langle \$mathbf {u} ,\mathbf {v} \angle }$은 벡터 u와 v의 내부 제품을 의미한다. 이 연산자는 벡터 u에 의해 확장된 선 위에 직교적으로 벡터 v를 투영한다. If u = 0, we define ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {0} }(\mathbf {v} ):=\mathbf {0} }$, i.e., the projection map ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {0} }}$ is the zero map, sending every vector to the zero vector.

그램-슈미트 프로세스는 다음과 같이 작동한다.

$${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{u}_{1}&,=\mathbf{v}_{1},&,\mathbf{e}_{1}&, ={\frac{\mathbf{너}_{1}}{)\mathbf{너}_{1}\}}\\\mathbf{u}_{2}&, =\mathbf{v}_{2}-\operatorname{proj}_{\mathbf{너}_{1}}(\mathbf{v}_{2}),&,\mathbf{e}_{2}&, ={\frac{\mathbf{너}_{2}}{)\mathbf{너}_{2}\}}\\\mathbf{u}_{3}&, =\mathb.f{v}_{3}-\operatorname{prOj};\mathbf{e}_{3}&, ={\frac{\mathbf{너}_{3}}{)\mathbf{너}_{3}\}}\\\mathbf{u}_{4}&, =\mathbf{v}_{4}-\operatorname{proj}_{\mathbf{너}_{1}}(\mathbf{v}_{4})-\operatorname{proj}_{\mathbf{너}_{2}}(\mathbf{v}_{4})-\operatorname{_{1}}(\mathbf{v}_{3})-\operatorname{proj}_{\mathbf{너}_{2}}(\mathbf{v}_{3}),& _{\mathbf{너}.proj}_{\mathbf {u} _{3}}(\mathbf {v} _{4}),&\mathbf {e} _{4}&={\mathbf {u} _{4} \over \ \mathbf {u} _{4}\ }\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{j}}(\mathbf {v} _{k}),&\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}}{\ \mathbf {u} _{k}\ }}.\end{정렬}}}$$

시퀀스 u₁, ..., u는_k 직교 벡터의 필수 시스템이며, 정규화된 벡터 e₁, ...e는_k 직교 세트를 형성한다. 시퀀스 u₁, ..., u의_k 계산은 Gram-Schmidt 직교라고 하며, 시퀀스₁ e, ..., e의_k 계산은 벡터가 정규화되면서 Gram-Schmidt 직교라고 한다.

이러한 공식이 직교 시퀀스를 생성하는지 확인하려면 먼저${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1, ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$get${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \langle$\langle \$langle \langle$ {$u} _{1},\mathbf {u} _${2}\rangele $}$을(를) u₂: 0으로 대체하십시오$$. 그런 다음 공식을${\displaystyle }$u₃ 1,${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle \langle$ \langle $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{3}\rangele }$을(를) 다시$$ 계산하는 데 이 공식을 사용하여 0을 얻으십시오. 일반적인 증거는 수학적 유도에 의해 진행된다.

Geometrically, 이 방법은 수익금으로:예, 계산하기 위해 뒤따라 직각으로 Uu1에 의해 생성된 어느 쪽이 부분 공간 v1,..., vi−1에 의해 생성된로 같은 부분 공간,..., ui−1에 vi를 발산한다.그 벡터 예, 그때 vi과 이 영상 사이의 차이, 모든 매개 곤충의 부분 공간에 미국 직교되는 정의된다

Gram-Schmidt 프로세스는 또한 선형 독립적으로 무한 시퀀스 {v_i}_i에도 적용된다. 결과는 직교(또는 직교) 시퀀스 {u_i}_i이며, 자연수 n: v₁, ...의 대수적 스팬, v는_n u₁, ..., u의_n 그것과 동일하다.

만약 Gram–Schmidt 과정은 일차 종속 시퀀스에 적용됩니다, v1의 비아이는 일차 결합,..., vi−1이ith 단계에서 0벡터 출력합니다.만약 정규직 교기 생산될 것이다, 다음 알고리즘 0벡터에 대한 출력과 0벡터의 배수 1의 길이를 가질 수 있는 사람들이 버린 것을 시험해야 한다. 알고리즘에 의한 벡터 출력 수는 원래 입력에 의해 확장된 공간의 치수가 될 것이다.

그 Gram–Schmidt 과정 transfinite 회귀을 사용할 때는 변형 벡터의(아마 셀 수 없이)무한 수열에;λ{\displaystyle(v_{\alpha})_{\alpha<>\lambda}}임의의 벡터(uα)α의κ ≤ λ와 함께 한벌, κ{\displaystyle(u_{\alpha})_{\alpha<>\kappa}}를 산출할 수(vα)α<>신청했다.{\displayparticu에서 스타일 \kappa(\lambda}어떤α ≤ λ{\displaystyle \alpha \leq \lambda},{uβ:β<>분(α, κ)}{\displaystyle\와 같이{{u_ \beta}의 일생의 완성:\beta<>\min(\alpha ,\kappa)\}}그{vβ:β<>α}{\displaystyle\와 같이{{\betav_}성과 같다:\beta<>에 대한은 \alpha\와 같이}}..필라 간, 나힐버트 공간의 (알지브라틱) 기초(또는 보다 일반적으로, 밀도가 높은 하위 공간의 기초)에 맞춰, (기능 분석적) 정관 기초가 된다. 는 일반적인 경우에 자주는 엄격한 불평등 κ<>더라도 시동 세트 선형적으로 독립한 것은 λ{\displaystyle \kappa<>\lambda},(uα)α의 경간, κ{\displaystyle(u_{\alpha})_{\alpha<>\kappa}}필요가 없(vα)α의 아름다운 곳이 아닌 부분 공간;λ{\displaysty을 보유하고 있습니다.는(v_{\alpha$}}}_{\cHB <\lambda }}}($ (, 완성의 하위 공간이다.

예

유클리드 공간

R에² 있는 다음 벡터 세트를 고려하십시오(기존 내부 제품 사용).

$${\displaystyle S=\left\{\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={bematrix}2\end{bmatrix}}\rigin}\rigin}\rigin}.}$$

이제 Gram-Schmidt를 수행하여 직교 벡터 세트를 얻으십시오.

$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}={\matrix}3\\1\end{bmatrix}}}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{2})={\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}-\operatorname {proj} _{\left[{\begin{smallmatrix}3\\1\end{smallmatrix}}\right]}{\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}-{\frac {8}{10}}{\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2/5\\6/5\end{bmatrix}.}$$

벡터 u와₁ u가₂ 실제로 직교하는지 확인한다.

$${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle {\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-2/5\\6/5\end{bmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0,}$$

0이 아닌 벡터의 경우 벡터의 크기를 위와 같이 나누어 벡터를 정규화할 수 있다.

$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {1}{\sqrt{10}}{\\nd{bmatrix}3\1\nd{bmatrix}}}}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\sqrt{40\over 25}{\bmatrix}-2/5\6/5\end{bmatrix}={\frac {1}{\sqrt{10}}}{\nd{bmatrix}}}.}$$

특성.

Denote by ${\displaystyle \operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})}$ the result of applying the Gram–Schmidt process to a collection of vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$. 지도 ${\displaystyle \mathrm{GS}}$: (${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ ${\$$^{k}\to(\mathb {R} ^{n})$$^{k}}$.

다음과 같은 속성을 가지고 있다.

• 연속이다.
• It is orientation preserving in the sense that ${\displaystyle \operatorname {or} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})=\operatorname {or} (\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}))}$.
• 직교 지도와 통근한다.

$g{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ ^$n}}$ \mathb {R} ^n}}} \mathb {n}} ^{n}}}}}}}}}}이 직교되도록$$ 한다. 그러면 우리는

$${\displaystyle \operatorname {GS} (g(\mathbf {v} _{1}),\dots ,g(\mathbf {v} _{k}))=\left(g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{1}),\dots ,g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{k})\right)}$$

또한 Gram-Schmidt 프로세스의 매개 변수화된 버전은 일반 선형 그룹 $G{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \mathrmat {GL}(\mathb {$${\displaystyle {}^{}}$$} ^{n})$에 대해 직교 그룹 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystysty O(\mathb {R} ^{n}}}}}}})$에 대해 (강) 변형 철회를 산출한다$.$

수치안정성

이 프로세스를 컴퓨터에 구현할 때 벡터 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ {u$} _{k}$는 반올림 오류로 인해 직교하지 않는$$ 경우가 많다. 위에서 설명한 Gram-Schmidt 공정("일반적인 Gram-Schmidt"라고도 함)의 경우, 직교성의 손실은 특히 나쁘므로 (일반적인) Gram-Schmidt 공정은 수적으로 불안정하다고 한다.

Gram-Schmidt 프로세스는 작은 개조에 의해 안정화될 수 있다. 이 버전은 수정된 Gram-Schmidt 또는 MGS라고도 한다. 이 접근방식은 정확한 산술에서 원래 공식과 동일한 결과를 제공하며 유한정밀 산술에서는 더 작은 오차를 도입한다. 벡터 u를_k as로 계산하는 대신

$${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{k})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{k})-\cdots -\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}(\mathbf {v} _{k}),}$$

$${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{u}_{k}^{ᆨ}&, =\mathbf{v}_{k}-\operatorname{proj}_{\mathbf{너}_{1}};=\mathbf{u}_{k}^{ᆫ}-\operatorname{proj}_{\mathbf{너}_{2}}\left(\mathbf{너}_{k}^{(1)}\right),\\&.\와 같이^;\vdots{u}_{k}^{ᆭ}& \\\mathbf, =\mathbf{u}_{k}^{ᆮ}-\operatorna{u}_{k}^{ᆪ}&(\mathbf{v}_{k}),\\\mathbf.나{proj}_{\mathbf {u} _{k-2}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-3)}\right),\\\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}&=\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}\right),\\\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}}{\left\ \mathbf {u} _{k}^{(k-1)}\right\ }}\end{aligned}}}$$

이 방법은 블루 벡터 v를₃ 직교할 때 중간 v'₃ 벡터를 사용할 때 이전 애니메이션에서 사용된다.

여기 수정된 알고리즘에 대한 또 다른 설명이 있다. Given the vectors ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$, in our first step we produce vectors ${\displaystyle v_{1},v_{2}^{(1)},\dots ,v_{n}^{(1)}}$by removing components along the direction of ${\displaystyle v_{1}}$. In formulas, ${\displaystyle v_{}^{}}$${\displaystyle v_{k}^{(1)}:=v_{k}-{\frac {\langle v_{k},v_{1}\rangle }{\langle v_{1},v_{1}\rangle }}v_{1}}$. After this step we already have two of our desired orthogonal vectors ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}}$, namely ${\displaystyle u_{}}$${\displaystyle u_{1}=v_{1},u_{2}=v_{2}^{(1)}}$, but we also made ${\displaystyle v_{3}^{(1)},\dots ,v_{n}^{(1)}}$ already orthogonal to ${\displaystyle u_{1}}$. Next, we orthogonalize those remaining vectors against ${\displaystyle u_2=v_2^{(1)}}$${\displaystyle u_{2}=v_{2}^{(1)}}$. This means we compute ${\displaystyle v_{3}^{(2)},v_{4}^{(2)},\dots ,v_{n}^{(2)}}$ by subtraction ${\displaystyle v_{k}^{(2)}:=v_{k}^{(1)}-{$$\frac {\langle v_{k}^{(1)},u_{2}\rangle }{\langle u_{2},u_{2}\rangle }}u_{2}}$. Now we have stored the vectors ${\displaystyle v_{1},v_{2}^{(1)},v_{3}^{(2)},v_{4}^{(2)},\dots ,v_{n}^{(2)}}$ where the first three vectors are already ${\displaystyle u_1,u_2,u_{}}$${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}$ and the remaining vectors are already orthogonal to ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$. As should be clear now, the next step orthogonalizes ${\displaystyle v_{4}^{(2)},\dots ,v_{n}^{(2)}}$ against ${\displaystyle$$u_{3}=v_{3}^{(2$ 이런 식으로 진행하면서 우리는 직교 벡터의 전체 집합을 발견하게 되는데${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1, …${\displaystyle u_{}}$n {\$displaystyle u_{1},\dots, u_{n$ 직교 벡터가 필요하다면, 우리는 가는 대로 정상화하여 감산 공식의 분모가 하나로 변하게 된다.

알고리즘.

다음의 MATLAB 알고리즘은 유클리드 벡터에 대해 Gram-Schmidt 맞춤법을 구현한다. 벡터 v₁, ..., v_k(매트릭스 컬럼) V하도록 V(:,j) j번째 벡터)는 직교 벡터(의 역학)로 대체된다. U동일한 하위 공간에 걸쳐 있는 )

함수 [U]=그램슈미트(V) [n,k] = 사이즈를 맞추다(V); U = 0(n,k); U(:,1) = V(:,1)/규범을 정하다(V(:,1)); 을 위해 i = 2:k     U(:,i)=V(:,i);     을 위해 j=1:i-1         U(:,i)=U(:,i)-(U(:,j)'*U(:,i))   /(norm(U(:,j))^2 * U(:,j);     종지부를 찍다     U(:,i) = U(:,i)/규범을 정하다(U(:,i)); 종지부를 찍다 종지부를 찍다 

이 알고리즘의 비용은 점증적으로 O(nk²) 부동소수점 운영이며 여기서 n은 벡터의 치수성이다(Golub & Van Loss 1996, §5.2.8).

가우스 제거를 통해

{v₁, ..., v_k} 행이 매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$로 기록되면 가우스 제거를 증강 매트릭스${\displaystyle }$[${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {T\mathsf{}}^{}}$ ${\displaystyle A{}^{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$에 적용하십시오.$AA^{\mathsf{T}}A\right]}$은$($는$)$ $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ A} 대신 직교 벡터를 생성하지만$,$ 한 행의 스칼라 배수를 다른 행에 추가하는 행 ${\displaystyle {}^{}}$만 ${\displaystyle {사용}^{}}$하여$$A T {\$displaystystyle AA$^{\mathsf${T}$ 행렬 에셀론 형태로 가져와야$$ 한다.^[2] 를 들어 v =[ , v =[ ${\$end${bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}$을(으)로 가정해 봅시다.

$$왼쪽[왼쪽]AA^{\mathsf{T}}A\right]=\왼쪽[{\begin{array}{rrr}10&8&3&1\\\8&8&2\end{array}}}}$$

그리고 이것을 행 에셀론 양식으로 줄이면

$${\displaystyle \left[{\put{array}{rrrr}1&.8&.3&.1\\\0&1&-.25&.75\end{array}\오른쪽]}$$

정규화된 벡터는

$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {1}{\sqrt {}3^{2}+.1^{2}}:{\matrix}.3.1\end{bmatrix}={\frac {1}{\prt{10}}{\nd{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\sqrt {.25^{2}+.75^{2}}}}{\begin{bmatrix}-.25&.75\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}-1&3\end{bmatrix}},}$$

결정 공식

Gram-Schmidt 공정의 결과는 결정 인자를 사용하여 비재발성 공식으로 표현할 수 있다.

$${\displaystyle \mathbf{e}_{j}={\frac{1}{\sqrt{D_{j-1}D_{j}}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{1}\rangle&\langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{1}\rangle, \cdots &, 및 \langle \mathbf{v}_{j},\mathbf{v}_{1}\rangle \\\langle \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\rangle, \langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{2}\ra.ngle&\cdots &, \l앵글 \mathbf & _{j},\mathbf{v}_{2}\rangle \\\vdots{v}, \vdots, \ddots &, \vdots{v}_{j-1}\rangle 및 _{1},\mathbf\mathbf{v}\\\langle &, \langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{j-1}\rangle&\cdots &, \langle \mathbf{v}_{j},\mathbf{v}_{j-1}\rangle \\\mathbf{v}_{1}&,\mathbf{v}_{2}&, \cdots &, \mathbf{v}_{j}\end{vmat.rix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf{너}_{j}={\frac{1}{D_{j-1}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{1}\rangle&\langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{1}\rangle&\cdots &, \langle \mathbf{v}_{j},\mathbf{v}_{1}\rangle \\\langle \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\rangle&\langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{2}\rangle&\cd.ots&\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}}$$

여기서 D₀=1 및 j ≥ 1의 경우 D는_j Gram 결정 요인이다.

$${\displaystyle D_{j}={\begin{vmatrix}\langle \mathbf, \langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{1}\rangle&\cdots &, \langle \mathbf{v}_{j},\mathbf{v}_{1}\rangle \\\langle \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\rangle&\langle \mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{2}\rangle&\cdots &, \mathbf{v}\langle_{_{1},\mathbf{v}_{1}\rangle 및{v}.j}{v},\mathbf _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j}\rangle \end{vmatrix}}.}$$

u에_k 대한 식이 "형식" 결정 요인이라는 점에 유의하십시오. 즉, 행렬은 스칼라와 벡터를 모두 포함하고 있다. 이 식의 의미는 벡터 열을 따라 공 인자 확장의 결과로 정의된다.

Gram-Schmidt에 대한 결정 공식은 위에서 설명한 재귀 알고리즘보다 계산적으로 느리다(확실히 느림). 주로 이론적 관심사다.

대안

다른 직교 알고리즘은 Householder transformation 또는 Givens roturations를 사용한다. 안정화된 그램-슈미트 공정보다 하우스홀더 변환을 사용한 알고리즘이 더 안정적이다. 반면에 Gram-Schmidt 공정은 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$번열$$$$ 후 j {\displaystyle j$}$ th $직교$ 벡터를 생성하는 반면, Householder 반사를 사용한 직교화는 끝에만 모든 벡터를 생성한다. 이것은 Gram-Schmidt 프로세스만 아놀디 반복과 같은 반복적 방법에 적용할 수 있게 만든다.

그러나 또 다른 대안은 선형 최소 제곱에서 정규 방정식의 행렬을 뒤집기 위해 숄스키 분해의 사용에 의해 동기가 부여된다. $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) 열 직교해야 하는 전체 열 순위 행렬로 설정하십시오$$. 행렬 V${\displaystyle {}^{}}v{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle V^{*}V}$은(는) 에르미트인이며 양정확정이므로 V ${\displaystyle {\ast }^{}}$ V${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle V^{*}V=$로 쓸 수 있다.슐레스키 분해를 사용하는$$ $LL^{*}}.$ 엄격히 양의 대각선 입력이 있는$$ 하단 삼각 $행렬{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$은(는) 변환할 수 없다. 그런 다음 $행렬{\displaystyle }$U = ${\displaystyle V{}^{}}$( ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ - ${\displaystyle {1^{}}^{}}$) ${\$1}\$오른쪽)의$열$^{*}}}$은(는) 정형이며 원래 매트릭스 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 열과 동일한 하위 공간에 걸쳐 있다$.$ 제품 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ V ${\displaystyle V^{*}V}$를 명시적으로 사용하면 특히 제품의 상태 번호가 큰 경우 알고리즘이 불안정해진다$$. 그럼에도 불구하고, 이 알고리즘은 높은 효율성과 단순성 때문에 실제로 사용되고 일부 소프트웨어 패키지에 구현된다.

양자역학에서는 원래의 Gram-Schmidt보다 특정 용도에 더 적합한 특성을 가진 여러 직교 체계가 있다. 그럼에도 불구하고, 그것은 가장 큰 전자 구조 계산에도 인기 있고 효과적인 알고리즘으로 남아 있다.^[3]

참조

원천

• Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Numerical linear algebra, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9.
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• Greub, Werner (1975), Linear Algebra (4th ed.), Springer.
• Soliverez, C. E.; Gagliano, E. (1985), "Orthonormalization on the plane: a geometric approach" (PDF), Mex. J. Phys., 31 (4): 743–758.

외부 링크

• "Orthogonalization", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 그램-슈미트 알고리즘에 관한 하비 머드 대학 수학 자습서
• 수학의 일부 단어의 초기 알려진 용법: G "Gram-Schmidt 직교" 항목에는 방법의 기원에 대한 정보와 참조가 있다.
• 데모스: 비행기의 그램 슈미트 공정과 우주에서의 그램 슈미트 공정
• 그램-슈미트 직교 애플릿
• NAG Gram-Schmidt 직교 순서 m 루틴의 n 벡터
• 증거: 레이먼드 푸지오, 키넌 키드웰. "Gram-Schmidt 직교 알고리즘 증명"(버전 8). PlanetMath.org.