슈베르트 미적분학

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수학에서 슈베르트 미적분은 허만 슈베르트가 투영 기하학의 여러 가지 계산 문제(열람 기하학의 일부)를 해결하기 위해 19세기에 도입한 대수 기하학의 한 분야다.그것은 예를 들어 특성계급과 같은 몇 가지 더 현대적인 이론의 선구자였으며, 특히 그 알고리즘적인 측면은 여전히 현재 관심의 대상이다."슈베르트 미적분학"이라는 구절은 때로는 선형 서브스페이스의 열거적 기하학을 의미하는데, 이는 그라스만인의 코호몰로지 링을 설명하는 것과 거의 동일하며, 때로는 비선형 변종의 보다 일반적인 열거적 기하학을 의미하는데 사용된다.더 일반적으로, "슈베르트 미적분학"은 일반화된 동족학 이론에서 유사한 질문의 연구를 포괄하는 것으로 이해되는 경우가 많다.

슈베르트가 소개한 물체는 슈베르트의 세포로, 주어진 깃발을 가진 투사 공간에서 선형 아공간 발생 조건에 의해 정의된 그라스만어로 국소적으로 폐쇄된 집합이다.자세한 내용은 슈베르트 품종을 참조하십시오.

관련 코호몰로지 클래스의 그라스만어 공호몰로지 링의 제품 구조로 볼 수 있는 이들 셀의 교차 이론은 원칙적으로 셀의 교차점이 유한한 집합으로 귀결되는 경우의 예측을 허용하는데, 이는 열거형 질문에 대한 잠재적으로 구체적인 해답이다.뒷받침되는 이론적 결과는 슈베르트 세포(또는 그 종류)가 전체 코호몰로지 링에 걸쳐 있다는 것이다.

자세한 계산에서 조합 측면은 셀을 색인화해야 하는 즉시 입력된다.균질 공간인 그라스만에서 그 공간에 작용하는 일반 선형 그룹으로 들어 올려져 브루하트 분해와 포물선 부분군 분류(블록 매트릭스별)에도 유사한 질문이 관여한다.

슈베르트의 시스템을 엄격한 기반 위에 놓는 것은 힐베르트의 15번째 문제다.

건설

슈베르트 미적분은 생성 주기가 기하학적으로 의미 있는 데이터로 표현되는 그래스만인의 차우 링을 사용하여 구성할 수 있다.^[1]Denote ${\displaystyle G(k,V)}$ as the Grassmannian of ${\displaystyle k}$-planes in a fixed ${\displaystyle n}$-dimensional vector space ${\displaystyle V}$, and ${\displaystyle A^{*}(G(k,V))}$ its Chow ring; note that sometimes the Grassmannian is denoted as ${\displaystyle G(k,n)}$$$벡터 공간이 명시적으로 지정되지 않은 경우$$ $[\displaystyle G(k,n)}$임의 완료 플래그 $V{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 연결됨

${\displaystyle 0\subset V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V}$

및 $정수{\displaystyle \mathbf{}}$a${\displaystyle }$= (${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle k_{}}$)$${\$displaystyle \mathbf {a}$ =($a_{1},\ldots ,a_{k}}$의 $감소{\displaystyle }$ k$${\$displaysty$}

${\displaystyle n-k\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0}$

슈베르트 사이클(${\displaystyle 차우\mathcal{}}$ 링 대신 세포 호몰로지 고려시 슈베르트 세포라고 함) ) a ${\displaystyle {(}_{}{V\mathbf{}}_{}}$) )${\displaystyle }$G (${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ,V}$ $){\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a}}{\mathcal$ {$V})\subset G(k,V)}$로 정의되어$$ 있다.

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a}}{\mathbf {V}=\\\\\lambda \in G(k,V)):\dim(V_{n-k+i-a_{i}\cap \lambda )\geq i{\text{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}텍스트림$

클래스${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {a\mathbb{}}_{}}$ (${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle K}$, ${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$} ${\displaystyle [\Sigma _{\mathb {a}({\mathcal {V})]\in A^{*(G(k,V)})}}}$에 클래스가 완료된 플래그에 종속되지 않으므로$$ 클래스는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \sigma _{\mathb {a} }:=[\Sigma _{\mathb {a}}]\in A^{*(K,V)}}$

슈베르트계급이라고 불린다.이러한 계급들이 차우 링을 생성한다는 것을 알 수 있으며, 관련 교차로 이론은 슈베르트 미적분학이라고 불린다.Note given a sequence ${\displaystyle \mathbb {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$ the Schubert class ${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}}$ is typically denoted as just ${\displaystyle$$\sigma _{(a_{1},\ldots,a_{j$또 하나의 ${\displaystyle {정수}_{}}$인 ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$에 의해 주어지는 슈베르트 클래스를 특수 클래스라고 한다$.$아래의 지암벨리 공식을 이용하여 슈베르트의 모든 클래스는 이러한 특수 클래스에서 생성될 수 있다.

설명

In order to explain the definition, consider a generic ${\displaystyle k}$-plane ${\displaystyle \Lambda \subset V}$: it will have only a zero intersection with ${\displaystyle V_{j}}$ for ${\displaystyle j\leq n-k}$, whereas ${\displaystyle \dim(V_{j}\cap \Lambda )=i}$$$ $j{\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle k}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle n}$ -${\displaystyle }$k ${\displaystyle j=n-k+i\geq n-k$ 예를 들어 $G{\displaystyle }$( ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle }$9${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ G$(4,9$)에서$$$4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 4}$ - 평면$$ $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Lambda }$은 5개의 독립된 시스템 솔루션 공간이다$$.These equations will generically span when restricted to a subspace ${\displaystyle V_{j}}$ with ${\displaystyle j=\dim V_{j}\leq 5=9-4}$, in which case the solution space (the intersection of ${\displaystyle V_{j}}$ with ${\displaystyle \Lambda }$) will consist only of the영점 벡터그러나 일단 dim (j)+ ( ) > n= ${\displaystyle \dim(V_{j}}+\dim(\Lambda )>n=9$ $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$과 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyleda }$은 반드시 0이 아닌 교차점을 갖는다$$.${\displaystyle {예}_{}}$를 들어 $V{\displaystyle {}_{}}$ 6 ${\$과 $and$ ${\displaystyle \$$Lambda$ $}$의 예상 교차 치수는 $1$ ${\$displaystyle $1}$이고,$$V ${\displaystyle {7\mathrm{}}_{}}$ ${\$과 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystytype$ $\}$의 교차$$ 치수는 ${\daysty}$이다$.$

The definition of a Schubert cycle states that the first value of ${\displaystyle j}$ with ${\displaystyle \dim(V_{j}\cap \Lambda )\geq i}$ is generically smaller than the expected value ${\displaystyle n-k+i}$ by the parameter ${\displaystyle a_{i}}$.$k{\displaystyle }$ {\$displaystyle k}$ -plane$$ ${\displaystyle \subset }$ $V{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Lambda \subset V}$은(는) $이러한{\displaystyle }$ 제약조건에 의해$$ 부여된 후 G${\displaystyle }$( k${\displaystyle }$, n$){\displaystystyle G(k,n)}$의 특별한 하위변수를 정의한다$.$^[1]

특성.

포함

$모든{\displaystyle }$ k ${\displaystyle$ $k$$}$ -tuple에서$$ i {\$displaystyle \mathb {a} \geq \mathb {b$$},$ i$$ ${\displaystyle$$i}에 대해$ 부분$$ $순서$가 있다.이것은 슈베르트 사이클을 포함한다.

$\displaystyle \Sigma _{\mathb {a}}\subset \Sigma _{\mathb {b}\iff a\geq b}$

지수의 증가를 보여주는 것은 하위 분리의 훨씬 더 큰 전문화에 해당한다.

코디네이션 공식

슈베르트 사이클 ${\displaystyle {\sigma \mathbb{}}_{}}$ ${\$에 코디네이션이 있음

${\displaystyle \sum a_{i}}$

그래스만인들을 포함하면 안정적이야즉, 포함은

${\displaystyle i:G(k,n)\hookrightarrow G(k+1,n+1)}$

${\displaystyle {\mathrm{각}}_{}}$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -plane에$$ e$$ n + 1 ${\$을 추가함으로써 부여되며$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle k}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (k+1)$-plane에$$ 속성을 부여한다.

${\displaystyle i^{*}(\displaystyle i^})({\mathb {a}}}=\mathma _{\mathb {a}}}}}}).$

또한, 포함

${\displaystyle j:G(k,n)\hookrightarrow G(k,n+1)}$

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 포함$$ - 평면은 동일한 풀백 속성을 가진다.

교차로제품

교차로 제품은 피에리와 지암벨리 공식을 이용해 처음 만들어졌다.

피에리 공식

In the special case ${\displaystyle \mathbb {b} =(b,0,\ldots ,0)}$, there is an explicit formula of the product of ${\displaystyle \sigma _{b}}$ with an arbitrary Schubert class ${\displaystyle \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}}$ given by

${\displaystyle \cdot \cdma _{a_{1},\ldots,a_{k}}=\sum _{\nd{nd}c = +b\\a_{i}\leq a_{i-1}\end{nd}\leq a_{mathb{c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a\mathbb{}}$= ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$이 공식은 피에리 공식이라고 불리며, 지암벨리 공식과 결합했을 때 어떤 두 슈베르트 등급의 교차 제품을 결정하는 데 사용될 수 있다.예를 들어,

${\displaystyle \cdot \cdot \cdma _{4,2,1}=\cdma _{5,2,1}+\cdma _{4,3,1}+\cdma _{4,2,1},1},1}}}{4,2,1,1},1},1},11}, {1}, {1},}$

그리고

${\displaystyle \cdot \cdma _{4,3}=\cdma _{4,3}=\cdma _{4,1}+\cdma _{5,4}+\cdma _{6,3}}}$

지암벨리 공식

길이 2 이상의 튜플을 가진 슈베르트 계급을 하나의 튜플 계급을 사용하는 결정 방정식으로 설명할 수 있다.Giambelli 공식은 방정식으로 읽힌다.

${\displaystyle \sigma_{(a_{1},a_{k},\ldots)}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots, \sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots & &, \sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &, \sigma _{a_{3}+k-.3}\\\vdots, \vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\\si &.gma _{a_{k}-k+1}&\ma _{a_{k}-k+2}&\nma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\nd{a_{k}}\vmatrix}}}}}$

a${\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle (k,k)}$ - messages의$$ 결정 인자에 의해 주어진다.예를 들어,

${\displaystyle \cdot \cdot \cdma _{2,2}={\vmatrix}\{2}\nd{vmatrix}={2}^-\cdma _{3}}}}}}}{{1}\cdot \cdma _{3}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle \productionma _{2,1,1}={\bmatrix}\bma _{3}&\bma _{4}\\\\bma _{0}&\bma _{1}\nowma _{0}\end}\vmatrixma _{vmatr}}}}}$

체르누스 계급과의 관계

풀만 G${\displaystyle (k}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle G(k,n)}$ 위에 두 개의 천연 벡터 번들의 체르 클래스를 이용한 그라스만인의 코호몰로지 링, 즉 차우 링에 대한 쉬운 설명이 있다$.$ 벡터 번들의 순서가 있다.

${\displaystyle 0\to T\to {\underline {V}\to 0}$

where ${\displaystyle {\underline {V}}}$ is the trivial vector bundle of rank ${\displaystyle n}$, the fiber of ${\displaystyle T}$ over ${\displaystyle \Lambda \in G(k,n)}$ is the subspace ${\displaystyle \Lambda \subset V}$, and ${\displaystyle Q}$ is the quotient vector bundle (각 섬유에서 등급이 일정하기 때문에 존재한다.)이 연관된 두 묶음의 체르누스 계급은

${\displaystyle c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1,\ldots,1)}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서${\displaystyle }$( 1 ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (1,\ldots ,$1)은$$i ${\displaystyle i}$ -tuple이고$$

${\displaystyle c_{i}(Q)=\sigma _{i}}$

그러면 tautological sequence는 차우 링을 다음과 같이 표현한다.

${\displaystyle A^{*}(K,n)={\frac {\mathb {Z}[c_{1}(T),\ldots,c_{k}(T),c_{n-k}(Q)]{{c(T)-1}}}}}}}}:{\frac {\mathb {Z}}}$

G(2,4)

${\displaystyle {}^{}}$된 고전적 예로는 P 3 ${\$에서 선을 모수하기 때문에$$ $Grassmann{\displaystyle }$G${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 4)}${\$displaystyle$G(2$,4)}$가 있다$.$ 슈베르트 미적분은 큐빅 표면에서 선의 수를 찾는 데 사용될 수 있다.

차우 링

차우 링이 프리젠테이션을 한다.

${\displaystyle A^{*}(G(2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}}$

그리고 등급이 매겨진 아벨 그룹으로서 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\reasoned}A^{0}(G(2,4)&=\mathb {Z} \cdot 1\\\A^{2}(G(2,4)&=\mathb {Z} \cdot \sigma _{1}\a^{4}(G(2,4)&=\mathb {Z} \cdot \sigma _{2}\n2}\oplus \mathb {Z} \cdot \sigmat _{1,1}\sigmathb\sigmathb\cdigmathb\1}\cdigmathb\\cdmatma\\\\cdata.A^{6}(G(2,4)&=\mathb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(G(2,4)&=\mathb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\ended}}}$^[2]

입방면 선

이 차우 링은 입방 표면의 선 수를 계산하는 데 사용될 수 있다.^[1]Recall a line in ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ gives a dimension two subspace of ${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$, hence ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)\cong G(2,4)}$. Also, the equation of a line can be given as a section of ${\displaysty$$\감마(\$$mathb {G} (1,3)$$T^{*})}$. Since a cubic surface ${\displaystyle X}$ is given as a generic homogeneous cubic polynomial, this is given as a generic section ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))}$.Then, a line ${\displaystyle L\subset \mathbb {P} ^{3}}$ is a subvariety of ${\displaystyle X}$ if and only if the section vanishes on ${\displaystyle [L]\in \mathbb {G} (1,3)}$. Therefore, the Euler class of ${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$ can be integrated over ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$ to get the number of points where the generic section vanishes on ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$. In order to get the Euler class, the total Chern class of ${\displaystyle T^{*}}$ must be computed, which is given as

${\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}$

그 다음, 분할 공식이 공식 방정식으로 읽힌다.

${\displaystyle {\begin}c(T^{*})&=(1+\alpha )\\&#1+\alpha +\alpha \cdot \beta \ended}}}}$

여기서$$ $c{\displaystyle }$( ${\displaystyle L}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$+ $α {\mathcal{L}}=1+\alpha$} 및$$ $c{\displaystyle }$(${\displaystyle M\mathcal{}}$ ${\displaystyle )}$=${\displaystyle 1}$ + ${\displaystyle \beta }$ ${\\displaystyle c({\mathcal{M})=1+\beta$$+\mathcal {L},{\mathcal$분열 방정식은 관계를 제공한다.

${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \alpha }$+ ${\displaystyle \beta }$ $\displaystyle \properma$$_{1$}=\${\displaystyle {displaystyle\mathrm{}}_{}}$ \proper$},$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \cdot }$ β $β$\$displaystyle \1}=\cdot \cdata$$}.$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle {\Sym}^{3}(T^{*})$은 공식 벡터 번들의 직접 합으로 읽을 수 있으므로$$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}}$

체르누스의 총계급은

${\displaystyle c({\text{Sym}}^{3}(T^{*})=(1+3\alpha +\beta )(1+2\alpha +2\beta )(1+3\beta )}$

이 때문에

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\end{aligned}}}$

사실을 이용하여

${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}}$ and ${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}}$

그렇다면 그 본질은.

${\displaystyle \int _{\mathb {G}(1,3)27\sigma _{2,2}=27}$

$\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle 2_{}}$ ${\$개가 최상급이다$$.따라서 입방체 ${\displaystyle \mathrm{표면}}$에는 27개의 선$[\displaystyle 27}$개가$$ 있다.

참고 항목

• 열거형 기하학
• 차우 링
• 교차로이론
• 그라스만어
• 지암벨리의 공식
• 피에리의 공식
• 체르누스급
• 퀸틱 3배
• 거울 대칭 추측

참조

• 여름 학교 노트 http://homepages.math.uic.edu/~코스쿤/1901.201
• 필립 그리피스와 조셉 해리스(1978), 대수 기하학의 원리, 1.5장
• Kleiman, Steven (1976). "Rigorous foundations of Schubert's enumerative calculus". In Felix E. Browder (ed.). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. XXVIII.2. American Mathematical Society. pp. 445–482. ISBN 0-8218-1428-1.
• Steven Kleiman and Dan Laksov (1972). "Schubert calculus" (PDF). American Mathematical Monthly. 79: 1061–1082. doi:10.2307/2317421.
• Sottile, Frank (2001) [1994], "Schubert calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 데이비드 아이젠버드와 조셉 해리스(2016), "3264와 올댓: 제2의 대수 기하학 과정".