힐베르트의 15번째 문제

Hilbert's fifteenth problem

힐버트의 15번째 문제는 데이비드 힐버트가 1900년에 편집한 유명한 목록에 제시된 23개의 힐버트 문제들 중 하나이다.문제는 슈베르트의 열거적 미적분을 엄격한 토대 위에 올려놓는 것이다.

소개

슈베르트 미적분은 기하학을 열거하기 위한 응용과 함께 19세기의 교차 이론이다.이 미적분을 정당화하는 것은 힐베르트의 15번째 문제의 내용이었고, 20세기 대수 기하학의 주요 주제이기도 했다.[1][2]교차로 이론의 기초를 확보하는 과정에서 반데르 바덴과 안드레 바일은[3][4] 이 문제를 국기 다지관 G/P의 코호몰로지 링 H*(G/P)의 결정에 관련시켰다. 여기서 G는 Lie 그룹이고 P는 G의 포물선 부분군이다.

링 H*(G/P)의 첨가 구조는 에흐레스만, 체발리, 번스타인-겔랑-겔랑'팬드'팬드 등으로 인해 슈베르트 미적분학의[5][6][7] 기본 정리에 의해 주어지며, G/P에 대한 고전 슈베르트 클래스가 코호몰로지 링 H*(G/P)의 자유로운 기초를 형성한다고 명시하고 있다.기본 원소의 선형 결합으로 슈베르트 등급의 제품을 확장하는 남은 문제를 슈베르트가 특성 문제라 [8][9][3]부르며 그에 의해 "열람 기하학의 주요 이론적 문제"[10]로 간주하였다.

열거형 기하학이 발달한 1세기 동안 물리학과는 아무런 관련이 없었지만, 이후 끈 이론의 중심 요소로 부상했다.[11]

문제명세서

원래의 문제 진술의 전부는 다음과 같다.

문제는 다음과 같다.슈베르트가 개발한 열거적 미적분을 이용하여 소위 특수직위 또는 수의 보존이라는 원리에 기초하여 특별히 결정한 기하학적 숫자들을 엄격하게 그리고 정확한 유효성의 한계에 대한 결정으로 확립하기 위하여.

비록 오늘날의 대수학은 원칙적으로 제거 과정을 수행할 가능성을 보장하지만, 열거형 기하학의 이론에 대한 입증은 결정적으로 더 필수적이며, 즉 최종의 정도만큼 특수형식의 방정식의 경우 제거 과정의 실제 수행은 필수적이다.방정식과 그 해결책의 다양성이 예측될 수 있다.[1]

슈베르트 미적분학

주요 기사:슈베르트 미적분학

슈베르트 미적분학(Subert miculus)은 투영 기하학의 다양한 계수 문제를 해결하기 위해 헤르만 슈베르트가 19세기에 도입한 대수 기하학의 한 분야다.그것은 예를 들어 특성계급과 같은 몇 가지 더 현대적인 이론의 선구자였으며, 특히 그 알고리즘적인 측면은 여전히 현재 관심의 대상이다.

슈베르트가 소개한 물체는 슈베르트의 세포로, 주어진 깃발을 가진 투사 공간에서 선형 아공간 발생 조건에 의해 정의된 그라스만어로 국소적으로 폐쇄된 집합이다.자세한 내용은 슈베르트 품종을 참조하십시오.

반 데어 웨르덴과[3] 안드레 웨일[4] 힐베르트의 문제 15가 해결되었다고 한다.특히.

a) 슈베르트의 특성 문제는 하이바오 두안(Haibao Duan)과 슈에지 자오(Suezhi Zhao)에 의해 해결되었다.[12]

b) 깃발 다지관의 차우 링에 대한 특별 프레젠테이션은 보렐, 말린, 빌리 하이만 및 뒤안-자오 등이 작성했다.;[12]

c) 슈베르트의[8] 주요 열거 예는 알루피, 해리스, 클레이만, 샴보 외 에 의해 검증되었다.[13][12]

참조

  1. ^ a b 힐버트, 데이비드, "마테마티슈 푸르메" 괴팅거 나흐리히텐, (1900), 페이지 253-297, 아르키브 데르 수티크 und 피식, (3) 1 (1901) (1901), 44-63, 213-237.미국수학학회 8호(1902)의 회보인 Maby Winton Newson 박사의 영문 번역본으로 출판됨, 437-479 [1] [2] doi:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3.
  2. ^ F. 소틸레, 슈베르트 미적분학, 스프링거 수학 백과사전
  3. ^ a b c Waerden, B. L. van der (1930). "Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie". Math. Ann. 102 (1): 337–362. doi:10.1007/BF01782350. MR 1512581. S2CID 177808901.
  4. ^ a b Weil, A. (1962), Foundations of algebraic geometry, Student Mathematical Library, vol. 32, American Mathematical Society, MR 0144898
  5. ^ Ehresmann, C. (1934). "Sur la topologie de certains espaces homogenes" (PDF). Ann. of Math. 35 (2): 396–443. doi:10.2307/1968440. JSTOR 1968440.
  6. ^ Chevalley, C. (1994). "Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B". Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 56. pp. 1–26. doi:10.1090/pspum/056.1. ISBN 9780821815403. {{cite book}}:누락 또는 비어 있음 title=(도움말)
  7. ^ I.N. Bernstein; I.M. Gel’fand; S.I. Gel’fand (1973). "Schubert cells and cohomology of the spaces G/P". Russian Math. Surveys. 28 (3): 1–26. doi:10.1070/RM1973v028n03ABEH001557.
  8. ^ a b H. 슈베르트, 칼퀴 데르 압살렌덴 지오메트리, 1879년 원작의 리프린트.베를린 하이델베르크의 스티븐 L. 클레이먼의 소개로: 스프링거-베를라크, (1979)
  9. ^ H. 슈베르트(H. Schubert), 134-155년 함부르크 1호 (1886년)의 Lösung des Characteristiken-Problems lineare Raume Be-liebiger Dimension, Mitteilungen der Matheaturthe Geselschezelschaft, 134-155년.
  10. ^ S. Kleiman, "W에 의한 절간 이론"에 대한 서평.풀턴, 불.AMS, Vol.12, No.1(1985), 137-143.https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552346
  11. ^ Katz, Sheldon (2006), Enumerative Geometry and String Theory, Student Mathematical Library, vol. 32, American Mathematical Society
  12. ^ a b c H. Duan; X. Zhao (2020). "On Schubert's Problem of Characteristic". In J. Hu; et al. (eds.). Schubert Calculus and Its Applications in Combinatorics and Representation Theory. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 332. pp. 43–71. arXiv:1912.10745. doi:10.1007/978-981-15-7451-1_4. ISBN 978-981-15-7450-4. S2CID 209444479.
  13. ^ S. Kleiman, 교차로 이론과 열거형 기하학: 검토중인 10년, Proc.공감. 순수한 수학, 46:2, 아머.수학. Soc. (학점), 321-162. https://www.ams.org/books/pspum/046.2/ doi:10.1090/pspum/046.2
  • Kleiman, Steven L. (1976), "Problem 15: rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus", Mathematical developments arising from Hilbert problems (Proc. Sympos. Pure Math., Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill., 1974), Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXVIII, Providence, R. I.: American Mathematical Society, pp. 445–482, MR 0429938.
  • Manin, Ju. I. (1969), "On Hilbert's fifteenth problem", Hilbert's problems (Russian), Izdat. “Nauka”, Moscow, pp. 175–181, MR 0254047.
  • Pragacz, Piotr (1997), "The status of Hilbert's Fifteenth Problem in 1993", Hilbert's Problems (Polish) (Międzyzdroje, 1993), Warsaw: Polsk. Akad. Nauk, pp. 175–184, MR 1632447.