셰퍼 수열

수학에서 셰퍼 수열 또는 파워로이드는 다항식 수열, 즉 각 다항식의 지수가 그 정도와 일치하는 다항식 수열(p_n(x) : 0, 1, 2, 3, ...)이다.그들은 Isador M의 이름을 따서 지어졌다. 셰퍼

정의

다항식 시퀀스(p_n)를 수정한다.다항식(x)에 대한 선형 연산자 Q 정의 기준

${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)\,}$

이것은 모든 다항식의 Q를 결정한다.다항식 시퀀스 p는_n 방금 정의한 선형 연산자 Q가 시프트 등가성인 경우 셰퍼 시퀀스로서, 그러한 Q는 델타 연산자가 된다.여기서, f(x) = g(x + a) = T_a g(x) = g(x)의 "shift"일 때마다 (Qf) = (x) = (Qg)(x + a); Q가 모든 교대조 운영자와 통용되는 경우, 다항수에 대한 선형 연산자 Q를 시프트 등가 되도록 정의한다.T_aQ = QT_a.

특성.

모든 셰퍼 시퀀스 세트는 다항식 시퀀스의 탯줄 구성 운영 중인 그룹이며, 다음과 같이 정의된다.(p_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...) 및 (q_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...)이 주어진 다항식 시퀀스라고 가정하자.

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\\\\\\mbox{and}}}\{n(x)=\sum _{k=0}b_{n,k}x^{k}.}$

그러면 탯줄 구성 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\circuleq}$은 n번째 용어가 되는 다항식 순서다.

${\displaystyle (p_{n}\b)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k_{k}}(x)=\sum \leq k\leq n}a_{n, k}b_{k,\ell }x^{\ell }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(첨자 n은 p로_n 나타나는데, 이는 해당 순서의 n항이기 때문이다. 그러나 q는 아니다. 이는 해당 용어 중 하나가 아닌 전체로서 시퀀스를 참조하기 때문이다.)

이 그룹의 ID 요소는 표준 단항 기준이다.

${\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\cHB_{n,k}x^{k}.}$

두 개의 중요한 하위 그룹은 연산자 Q가 단순한 분화 시퀀스인 호칭 시퀀스 그룹과 정체성을 만족시키는 이항식 시퀀스 그룹이다.

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n}{n \선택 k}p_{n-k}(y).}$

셰퍼 순서(p_n(x) : n = 0, 1, 2, ... )는 둘 다인 경우 이항형이다.

${\displaystyle p_{0}(x)=1\,}$

그리고

${\displaystyle p_{n}(0)=0{{\mbox{{}{}}{}n\geq 1.\,}$

호칭 시퀀스 그룹은 아벨리안이며, 이항 유형의 시퀀스 그룹은 그렇지 않다.호칭 시퀀스 그룹은 정규 하위 그룹이며, 이항 유형의 시퀀스 그룹은 그렇지 않다.셰퍼 시퀀스 그룹은 호칭 시퀀스 그룹과 이항식 시퀀스 그룹의 반간접적인 제품이다.따라서 호칭 시퀀스 그룹의 각 코세트는 이항 유형의 시퀀스를 정확히 한 개씩 포함하고 있다.위에서 설명한 연산자 Q(이 시퀀스의 "델타 연산자"라고 하는)가 두 경우 모두 동일한 선형 연산자일 경우에만 두 셰퍼 시퀀스가 동일한 코제트에 있다. (일반적으로 델타 연산자는 다항식 상의 시프트 등가 선형 연산자임).기간은 F 때문이다.힐데브란트)

s_n(x)가 셰퍼 시퀀스이고 p_n(x)가 동일한 델타 연산자를 공유하는 이항 유형의 단일 시퀀스인 경우

${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n}{n \선택 k}p_{k}s_{n-k}(y).}$

때때로 셰퍼 시퀀스라는 용어는 이항체 형식의 일부 시퀀스와 이러한 관계를 갖는 시퀀스를 의미하는 것으로 정의된다.특히 (s_n(x) )가 호칭 시퀀스인 경우

${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n}{n \선택 k}x^{k}s_{n-k}(y).}$

헤르미테 다항식의 순서, 베르누이 다항식의 순서, 단항(xⁿ : n = 0, 1, 2, ...)은 호칭 시퀀스의 예다.

셰퍼 시퀀스 p는_n 지수 생성 함수로 특징지어진다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}}}{n}=A(t)\exp(xB(t)\,}$

여기서 A와 B는 (공식) 파워 시리즈(t)이다.따라서 셰퍼 시퀀스는 일반화된 호칭 다항식의 예로서 관련 재발 관계가 있다.

예

셰퍼 시퀀스인 다항식 시퀀스의 예는 다음과 같다.

• 아벨 다항식;
• 베르누이 다항식;
• 중심 요인 다항식;
• 헤르미트 다항식;
• 라구에르 다항식;
• 말러 다항식;
• 단수(xⁿ : n = 0, 1, 2, ... );
• Mott 다항식;

참조

• Rota, G.-C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A. (June 1973). "On the Foundations of Combinatorial Theory VIII: Finite Operator Calculus". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 42 (3): 684–750. doi:10.1016/0022-247X(73)90172-8. 다음 참고문헌에 다시 인쇄했다.
• Rota, G.-C.; Doubilet, P.; Greene, C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A.; Stanley, R. (1975). Finite Operator Calculus. Academic Press. ISBN 0-12-596650-4.
• Sheffer, I. M. (1939). "Some Properties of Polynomial Sets of Type Zero". Duke Mathematical Journal. 5 (3): 590–622. doi:10.1215/S0012-7094-39-00549-1.
• Roman, Steven (1984). The Umbral Calculus. Pure and Applied Mathematics. Vol. 111. London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers]. ISBN 978-0-12-594380-2. MR 0741185. 2005년 도버에 의해 재인쇄되었다.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Sheffer Sequence". MathWorld.